=(8-1)…(8-Pk1(8-Pk+1)(8-pk+2)…(8-pn-1)(8-Pn) =II(s-P1)II(2+25,01s+2) 共轭复根(复极点)与二阶振荡环节相对应。 KI(s-zi) I(-PI(s2+22,os+o2) c(t)-∑A23×(B120y1-52t+A2m0y-57:) 0有P1<0(=1…n) e)→0有-5,0,<0(7=1…m) 因为Pi为实根,-xjwj为复根实部 所以特征根均具有负实部作为系统恢复到原平衡状态的条件 结论:线性定常系统稳定?特征根均具有负实部 事实上:稳定性判断只须利用特征多项式。 判据 设特征方程1+G(s)H(s)=0 改写为: D(s)=an2S2+a2152+…+a2s+a0=0 [结论1:古尔维茨判据 n阶特征方程的根均具有负实部的充要条件是:特征方程的各项系数为正且下面各阶古尔维茨行列式为 正 Ex-1 ax-3 E a D3-|a.a2a+=a3D2+(-1+12- X-1 a 1,…,Dn-1称为系统的各阶 Dn为系统的主行列式
20 共轭复根（复极点）与二阶振荡环节相对应。 可见： 因为 Pi 为实根，- xjwj 为复根实部 所以特征根均具有负实部作为系统恢复到原平衡状态的条件。 结论：线性定常系统稳定?特征根均具有负实部 事实上：稳定性判断只须利用特征多项式。 二． 判据： 1． 设特征方程 1+G(s)H(s)=0 改写为： [结论 1：古尔维茨判据 n 阶特征方程的根均具有负实部的充要条件是：特征方程的各项系数为正且下面各阶古尔维茨行列式为 正。 Dn>0 D1,…,Dn-1 称为系统的各阶 Dn 为系统的主行列式
例、见书P88,例3-6] 2.结论2:劳斯判据 DY S)=a 劳斯表 S2m1m2-a2201)1a4-a2m(b2)b3 cI b1 b1 an.5-an-1b3 劳斯表中节列所有元素均大于0时系统稳定,反之则不稳定,且第一列元素符号改变的次数为具正实部特 征根的数目 例1 54+253+352+45+5=0 Roty表 6-410 s24 505 所以系统不稳定,符号改变二次,有二正实部根(1,-6,5) 例:已知闭环传递函数 G2(s)= (+6+5+k确定k稳定范围 k 若系统稳定 则30-K>0且k>0 所以0<k<30可使系统稳定 劳斯判据的特殊情况 1.劳斯表中某一行的第一个元素为0,其余不全为0 处理方法:将第一列为0的元素用e代替(e>0) 例: 21
21 例、见书 P88，例 3-6] 2． 结论 2：劳斯判据 设 劳斯表： 劳斯表中节列所有元素均大于 0 时系统稳定，反之则不稳定，且第一列元素符号改变的次数为具正实部特 征根的数目。 例 1： Roty 表： 所以系统不稳定，符号改变二次，有二正实部根（1，-6，5） 例：已知闭环传递函数 若系统稳定 则 30-K>0 且 k>0 所以 0<k<30 可使系统稳定 三． 劳斯判据的特殊情况 1． 劳斯表中某一行的第一个元素为 0，其余不全为 0。 处理方法：将第一列为 0 的元素用 e 代替（e>0） 例：
s0(a)2 有二个正实部特征根 s3-3s+2=(s-1)2(s+2) 2.劳斯表中出现全0行 例 s+s5-2s4-33-7s2-4s-4=0 s012-7-4 s41-3-4构成辅助方程:184-3s2-4= s3(04(0)-6()对$求一阶导数4s32-63=0 s1-167 出现全零行,说明特征方程有大小相等,符号相反的特征根 处理方法 利用全0行上一行系数构成辅助方程 并对S求导,用所得方程的系数替代全0行 并继续用ROTH判据。 可见:不稳定,有一个正实部的特征根 四.应用 如何使系统具有较好的动态性能。稳定性对系统的动态性能有一定影响。一般认为:稳定性好,则对应动 态性能好,而特征方程特征根在S平面上远离虚轴则稳定性好 例:结构图: 系统为单位反馈系统 要求 1.确定K的稳定范围 2.闭环特征根(闭环极点)均位于S=-1垂线之左,求 G(s 1+G(s)s(0.1s+1)(0.255+1)+k
22 有二个正实部特征根 2． 劳斯表中出现全 0 行 例： 出现全零行，说明特征方程有大小相等，符号相反的特征根 处理方法： 利用全 0 行上一行系数构成辅助方程 并对 S 求导，用所得方程的系数替代全 0 行 并继续用 ROTH 判据。 可见：不稳定，有一个正实部的特征根。 四． 应用 如何使系统具有较好的动态性能。稳定性对系统的动态性能有一定影响。一般认为：稳定性好，则对应动 态性能好，而特征方程特征根在 S 平面上远离虚轴则稳定性好。 例：结构图： 系统为单位反馈系统 要求： 1.确定 K 的稳定范围 2．闭环特征根（闭环极点）均位于 S=-1 垂线之左，求 K=？ 解：1
D(s)=s(s+4)(s+10)+40k s3+14s2+40s8+40k 1440k 40k 0<k<14 方法:可令特征方程S=S1-a,代入方程,D(s1)=0利用劳斯判据即可 G2() ()s(01+1)0.255+1)+k 40k (s+4)(+10)+40k ()=s(+4)(s+10)+40k 将 代入方程 S1 S1 为使在S1平面,根在左半部 须 11′15-40k+27>0 40k-27>0 所以0.675<k<4.8 第三节稳态误差 稳态误差是描述控制系统稳态性能的指标,是系统控制精度的一种度量 误差和稳态误差 1.误差的定义 输入端误差信号的定义: E(s)=R(s)-B(s
23 方法：可令特征方程 S=S1-a，代入方程，D(s1)=0 利用劳斯判据即可。 解： 为使在 S1 平面，根在左半部 须 11′15-40k+27>0 40k-27>0 所以 0.675<k<4.8 第三节稳态误差 稳态误差是描述控制系统稳态性能的指标，是系统控制精度的一种度量 一． 误差和稳态误差 1． 误差的定义： 输入端误差信号的定义： E(s)=R(s)-B(s)
可见: E(s)= R(s) 1+G(s)H(s) 对误差信号的另一种定义为输出端定义:E(S)=希望的输出Cr(s)-实际的输出单位反馈系统中,将输入 信号视为希望输出Cr(s)。非单位反馈系统中,等效的单位反馈系统为 R'rsY OGH 希望输出 Cr(s)=R(s)=R(s)/H(s) 可见:E(s)=H(s)E’(s 事实上 E(s)=R(s)-B(s)=HR'(s)-HC(s)=H(s)(R'(s)-C(s))=H(s)E(s) E(s)=H(s)E’(s) 可见:误差信号定义端不同,但存在等效关系 般,采用第一种误差定义(输入端) 2.稳态误差 ess=lim e(t) 若误差函数当时间t?￥时极限存在 e()=L-e()] 利用终值定理(有条件) e,=18()=re() 1+G()H() R(S ess=hm SE(s)=lim SR(s) 301+G(s)H(s) 可见:ess与输入形式R(s),开环传递函数GH有关 设开环传递函数: G(S)H(s) k(1+r15 (1+n5)K =G0()H0(s) s(1+fis)…(+xxs)s r:型别,k:开环增益 SR(s 1+G0(s)H0(s)1+lm k 5+0 57+1+k 5→0s ess与开环增益K、输入形式R(s)系统型别r有关 不同类型系统的稳态误差 24
24 可见： 对误差信号的另一种定义为输出端定义：E'(S)=希望的输出 Cr(s) - 实际的输出单位反馈系统中，将输入 信号视为希望输出 Cr(s)。非单位反馈系统中，等效的单位反馈系统为 希望输出 Cr(s)=R'(s)=R(s)/H(s) 可见：E(s)=H(s)E'(s) 事实上： E(s)=R(s)-B(s)=HR'(s)-HC(s)=H(s)(R'(s)-C(s))=H(s)E'(s) E(s)=H(s)E'(s) 可见：误差信号定义端不同，但存在等效关系 一般，采用第一种误差定义（输入端） 2． 稳态误差 若误差函数当时间 t?￥时极限存在 利用终值定理（有条件） 可见：ess 与输入形式 R(s)，开环传递函数 GH 有关 设开环传递函数： 其中：r:型别，k：开环增益 则： ess 与开环增益 K 、输入形式 R(s)系统型别 r 有关 二． 不同类型系统的稳态误差