湖南大学：《线性代数》第三章习题

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1.把下列矩阵化为行最简形矩阵: 102-1r2+(-2)1(102-1 解(1 00-13 304-3+(=3x(00-20 r2÷(-1)(102-1)r3-r2(102 001-3 001-3 +(20010 0003 r÷3(102 n2 +3r210 2 001-3 0010 0001 r+(-2)2(1000 0010 rtrs 000 0 r2×2+(-3)r1(02-3 (2)03 04-7 +(-2)r 00-1 +/02010)÷2(0105 001 0013 r+3r 0000 0000 1-13-43 r 00-48 2-23-20r1-2r00-36-6 F4-3f1 00-510-10 1-13-43 1-102 F2÷( r1-3r2 00 22 001-22 r3÷(-3 00000 001-22 00000

1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵： 解 (1)           − − 3 0 4 3 2 0 3 1 1 0 2 1 3 1 2 1 ( 3) ( 2) ~ r r r r + − + −           − − − 0 0 2 0 0 0 1 3 1 0 2 1 ( 2) ( 1) 3 2 ~  −  − r r           − − 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 2 1 3 2 ~ r −r           − − 0 0 0 3 0 0 1 3 1 0 2 1 3 3 ~ r            − − 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 2 1 2 3 3 ~ r + r           − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 1 2 ( 2) ~ r r r r + + −           0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (2)           − − − − 0 4 7 1 0 3 4 3 0 2 3 1 3 1 2 1 ( 2) 2 ( 3) ~ r r r r + −  + −           − − − 0 0 1 3 0 0 1 3 0 2 3 1 1 2 3 2 3 ~ r r r r + +           0 0 0 0 0 0 1 3 0 2 0 10 2 1 ~ r            0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 5 (3)               − − − − − − − − − 3 3 4 2 1 2 2 3 2 0 3 3 5 4 1 1 1 3 4 3 4 1 3 1 2 1 3 2 3 ~ r r r r r r − − −               − − − − − − − − 0 0 5 10 10 0 0 3 6 6 0 0 4 8 8 1 1 3 4 3 ( 5) ( 3) ( 4) 4 3 2 ~  −  −  − r r r               − − − − − 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 1 3 4 3 4 2 3 2 1 2 3 ~ r r r r r r − − −               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 2 3

3-7 2132 2 08 2-4 0-8891 3743 -2r2(0 77811 1020-2 r,+2r 1020-2 r分→h0 1-1-1-1 r3-8r1 00014 r2×(-1 00014 r-/1 00 -r3 000 r2+r3 0100 0010 0 2.在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r-1阶子式?有没有等于0的r阶 子式? 解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r-1阶子式也可能存在等 于0的r阶子式 1000 0100 例如,a=0010 0000 R(a)=3同时存在等于0的3阶子式和2阶子式 3.从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样 解R(A)≥R(B) 设R(B)=r,且B的某个r阶子式D≠0矩阵B是由矩阵A划去 行得 到的,所以在A中能找到与D相同的r阶子式D,由于 D,=D≠0 故而R(4)≥R(B 4.求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(,0,10,0),(1,-1,0,0,0) 解设a1,a2,ax3,ax,a3为五维向量且a1=(1,0,1,0,0)

2 (4)               − − − − − − 2 3 7 4 3 3 2 8 3 0 1 2 0 2 4 2 3 1 3 7 4 2 3 2 1 2 2 3 2 ~ r r r r r r − − −               − − − − − 0 7 7 8 11 0 8 8 9 12 1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1 7 8 2 ~ r r r r r r − − +               − − 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 4 3 2 1 2 ( 1) ~ r r r r r −  −                − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 3 ~ r +r               − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 0 3 1 0 2 0 2 2．在秩是 r 的矩阵中,有没有等于 0 的 r −1 阶子式?有没有等于 0 的 r 阶 子式? 解 在秩是 r 的矩阵中,可能存在等于 0 的 r −1 阶子式,也可能存在等 于 0 的 r 阶子式. 例如，                 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0  R() = 3 同时存在等于 0 的 3 阶子式和 2 阶子式. 3．从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ,问 A,B 的秩的关系怎样? 解 R(A)  R(B) 设 R(B) = r ，且 B 的某个 r 阶子式 Dr  0.矩阵 B 是由矩阵 A 划去 一行得 到的，所以在 A 中能找到与 Dr 相同的 r 阶子式 Dr ，由于 Dr = Dr  0， 故而 R(A)  R(B). 4．求作一个秩是 4 的方阵,它的两个行向量是 (1,0,1,0,0) , (1,−1,0,0,0) 解 设 1 2 3 4 5  , , , , 为五维向量,且 (1,0,1,0,0) 1 =

a2=(1,1,0.0,则所求方阵可为A=a3秩为4不妨设 3=(0,0,0,x4,0) a4=(0,0,0,0,x5)取x=x5=1 a5=(0,0,0,0,0) 10100 1-1000 故满足条件的一个方阵为00010 00001 00000 5.求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式 1-12-1 解(1)|1-12-1 02 04-65 04-65秩为 04-65 0000 二阶子式 32-1-3-2)521 4-41 (2)2-131-3 0-7119 705 1\r-1r(0-213327-15 r3-3r20-7119-5秩为 00000 二阶子式

3 (1, 1,0,0,0) 2 = − ,则所求方阵可为 , 5 4 3 2 1                 =      A 秩为 4,不妨设      = = = (0,0,0,0,0) (0,0,0,0, ) (0,0,0, ,0) 5 4 5 3 4    x x 取 x4 = x5 = 1 故满足条件的一个方阵为                 − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 5．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式： 解 (1)           − − − 1 3 4 4 1 1 2 1 3 1 0 2 r 1 r 2 ~            − − − 1 3 4 4 3 1 0 2 1 1 2 1           − − − − − − 0 4 6 5 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 2 1 3 1 3 r r r r 2 0 0 0 0 0 4 6 5 1 1 2 1 ~ 3 2 秩为           − − − r −r 二阶子式 4 1 1 3 1 = − − ． (2)           − − − − − − − 7 0 5 1 8 2 1 3 1 3 3 2 1 3 2           − − − − − − − − − 0 21 33 27 15 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 ~ 2 7 2 1 1 2 3 1 r r r r r r 2 0 0 0 0 0 0 7 11 9 5 1 3 4 4 1 3 ~ 3 2 秩为           − − − − r − r . 二阶子式 7 2 1 3 2 = − − ．

1837 2-17 0-3-63 63) 3-2580 r2 0-2-420 了3-34 rAr2 10320 r2+3r1 r+r 000016 012-17 r2+2 000014 +1400001/楼为3 10320 n÷ -3 07-5 三阶子式580 =70≠0 20 6.求解下列齐次线性方程组: x1+x2+2x3-x4=0 +2x2+x3-x4 2x1+x2+x3-x4 0,(2){3x;+6x2-x3-3x1=0, 2x1+2x2+x3+2x4=0; 5x1+10x2+x3-5x4=0; 2x1+3x2-x3+5x4=0, 3x1+4x2-5x3+7x4=0, (3)14x1+x2-3x3+6x=0,(4)2x1-3x2+3x,-2x4=0, 3x1+x2+2x3-7x4=0, 4x1+1lx2-13x3+16x4=0, x1-2x,+4x3-7x1=0: 7x1-2x2+x3+3x4=0. 解(1)对系数矩阵实施行变换 10-10 即得 2212 00

4 (3)               − − − 1 0 3 2 0 3 2 5 8 0 2 3 0 7 5 2 1 8 3 7 3 4 2 4 1 4 3 2 2 ~ r r r r r r − − −               − − − − − − 1 0 3 2 0 0 2 4 2 0 0 3 6 3 5 0 1 2 1 7 3 1 2 1 2 3 ~ r r r r + +               − 1 0 3 2 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 16 0 1 2 1 7 4 3 4 3 4 1 1 2 16 14 ~ r r r r r r r r −                   − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 7 1 0 3 2 0 秩为 3 三阶子式 70 0 3 2 5 8 5 3 2 0 5 8 0 0 7 5 = − =  − ． 6．求解下列齐次线性方程组: (1)      + + + = + + − = + + − = 2 2 2 0; 2 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (2)      + + − = + − − = + + − = 5 10 5 0; 3 6 3 0, 2 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x (3)        − + − = + − + = + + − = + − + = 2 4 7 0; 4 3 6 0, 3 2 7 0, 2 3 5 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x (4)        − + + = + − + = − + − = + − + = 7 2 3 0. 4 11 13 16 0, 2 3 3 2 0, 3 4 5 7 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:           − − 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1             − − − 3 4 0 0 1 0 1 3 1 1 0 1 0 ~ 即得          = = = − = 4 4 3 4 2 4 1 4 3 4 3 3 4 x x x x x x x x

故方程组的解为 3 (2)对系数矩阵实施行变换: 2x,+x 36-1-3~0010即得 0 5101-5)(0000 x4=x4 故方程组的解为 0/*4,/0 0 0 (3)对系数矩阵实施行变换: x1=0 0100 0 即得 36 0010 000 0 故方程组的解为 0 (4)对系数矩阵实施行变换: 313 1717 2-33 1920 19 20 411-1316 1717 即得 0000 7-21 0000 =x

5 故方程组的解为                 − =               1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换:           − − − − 5 10 1 5 3 6 1 3 1 2 1 1           − 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 1 ~ 即得        = = = = − + 4 4 3 2 2 1 2 4 0 2 x x x x x x x x 故方程组的解为               +               − =               1 0 0 1 0 0 1 2 1 2 4 3 2 1 k k x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换:               − − − − − 1 2 4 7 4 1 3 6 3 1 2 7 2 3 1 5               0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 即得        = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为        = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x (4) 对系数矩阵实施行变换:               − − − − − 7 2 1 3 4 11 13 16 2 3 3 2 3 4 5 7                 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 17 20 17 19 0 1 17 13 17 3 1 0 ~ 即得          = = = − = − 4 4 3 3 2 3 4 1 3 4 17 20 17 19 17 13 17 3 x x x x x x x x x x