工程科学学报，第41卷，第4期：436-446,2019年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.4:436-446,April 2019 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2019.04.003:http://journals.ustb.edu.cn 基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压 裂研究 董卓12》，唐世斌2)区，郎颖娴2》 1)大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连1160242)大连理工大学土木工程学院，大连116024 区通信作者，E-mail:tang shibine@dlut.eu.cn 摘要建立了考虑裂纹尖端非奇异项T应力的最小应变能密度因子断裂准则，研究了不同裂纹类型条件下T应力和泊松 比对起裂角的影响，结果表明裂纹起裂角不仅与奇异项应力强度因子有关，而且还需要考虑非奇异项T应力和泊松比的影响 作用.同时计算了含井筒对称双裂纹水力压裂模型的起裂角和临界水压，表明依据本文断裂准则计算得到理论解与实验结果 吻合良好.在此基础上，利用该准则从理论上分析了临界裂纹区尺寸、T应力、比奥系数、侧压系数、泊松比等因素对水力压裂 裂纹起裂特性的影响。参数分析表明：临界裂纹区尺寸、T应力和侧压系数对临界水压和临界起裂角有显著影响.临界水压随 着泊松比增大而减小，而临界起裂角呈现相反变化趋势.比奥系数对临界起裂角没有影响，但是在高水压条件下对起裂角具 有显著影响 关键词应变能密度因子：T应力：水力压裂：泊松比：比奥系数：起裂角：临界水压 分类号TG142.71 Hydraulic fracture prediction theory based on the minimumstrain energy density criterion DONG Zhuo),TANG Shi-bin,LANG Ying-xian!2) 1)State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China 2)School of Civil Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China Corresponding author,E-mail:tang_shibin@dlut.edu.cn ABSTRACT Hydraulic fracturing is a promising technique used in oil and gas reservoirs,enhanced geothermal systems,and coal gas production.Although its use is widespread,many aspects of hydraulic fracturing are still not well understood and need to be further in- vestigated to achieve increases in oil and gas production while mitigating the adverse aspects of hydraulic fracturing.Understanding how hydraulic pressure extends preexisting fractures and forms a complex fracture network is essential for the design and treatment of hydrau- lic fracturing.Critical water pressure and fracture initiation angle are two important parameters involved in the hydraulic fracture propa- gation process and production from a well.In the present study,a minimum strain energy density criterion,which considers the effects of Tstress and Poisson's ratio,was proposed to analyze fracture initiation during hydraulic fracturing.The fracture initiation angle for different crack types was investigated using the proposed theoretical method,and the results indicate that the fracture initiation angle is not only related to the stress intensity factor but also affected by the T-stress and Poisson's ratio.The critical water pressure and criti- cal initiation angle for two symmetric radial cracks emanating from a pressurized borehole were investigated,and the theoretical results were consistent with the experimental results.Through the proposed theoretical method,the influence of T-stress,radius of the fracture process zone,Biot's coefficient,lateral pressure coefficient and Poisson's ratio on the hydraulic fracturing behavior was analyzed.Pa- rameter analysis indicates that the radius of the fracture process zone,T-stress,and lateral pressure coefficient play an important role in the critical initiation angle and critical water pressure.The critical water pressure increases with the decrement of Poisson's ratio, 收稿日期：20180308 基金项目：国家自然科学基金面上项目(51874065)：国家自然科学基金资助项目(U1562103,51474046)
工程科学学报，第 41 卷，第 4 期: 436--446，2019 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 41，No． 4: 436--446，April 2019 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2019． 04． 003; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压 裂研究 董 卓1，2) ，唐世斌1，2) ，郎颖娴1，2) 1) 大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，大连 116024 2) 大连理工大学土木工程学院，大连 116024 通信作者，E-mail: tang_shibin@ dlut． edu． cn 摘 要 建立了考虑裂纹尖端非奇异项 T 应力的最小应变能密度因子断裂准则，研究了不同裂纹类型条件下 T 应力和泊松 比对起裂角的影响，结果表明裂纹起裂角不仅与奇异项应力强度因子有关，而且还需要考虑非奇异项 T 应力和泊松比的影响 作用． 同时计算了含井筒对称双裂纹水力压裂模型的起裂角和临界水压，表明依据本文断裂准则计算得到理论解与实验结果 吻合良好． 在此基础上，利用该准则从理论上分析了临界裂纹区尺寸、T 应力、比奥系数、侧压系数、泊松比等因素对水力压裂 裂纹起裂特性的影响． 参数分析表明: 临界裂纹区尺寸、T 应力和侧压系数对临界水压和临界起裂角有显著影响． 临界水压随 着泊松比增大而减小，而临界起裂角呈现相反变化趋势． 比奥系数对临界起裂角没有影响，但是在高水压条件下对起裂角具 有显著影响． 关键词 应变能密度因子; T 应力; 水力压裂; 泊松比; 比奥系数; 起裂角; 临界水压 分类号 TG142. 71 收稿日期: 2018--03--08 基金项目: 国家自然科学基金面上项目( 51874065) ; 国家自然科学基金资助项目( U1562103，51474046) Hydraulic fracture prediction theory based on the minimumstrain energy density criterion DONG Zhuo1，2) ，TANG Shi-bin1，2) ，LANG Ying-xian1，2) 1) State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China 2) School of Civil Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China Corresponding author，E-mail: tang_shibin@ dlut． edu． cn ABSTＲACT Hydraulic fracturing is a promising technique used in oil and gas reservoirs，enhanced geothermal systems，and coal gas production． Although its use is widespread，many aspects of hydraulic fracturing are still not well understood and need to be further investigated to achieve increases in oil and gas production while mitigating the adverse aspects of hydraulic fracturing． Understanding how hydraulic pressure extends preexisting fractures and forms a complex fracture network is essential for the design and treatment of hydraulic fracturing． Critical water pressure and fracture initiation angle are two important parameters involved in the hydraulic fracture propagation process and production from a well． In the present study，a minimum strain energy density criterion，which considers the effects of T-stress and Poisson’s ratio，was proposed to analyze fracture initiation during hydraulic fracturing． The fracture initiation angle for different crack types was investigated using the proposed theoretical method，and the results indicate that the fracture initiation angle is not only related to the stress intensity factor but also affected by the T-stress and Poisson’s ratio． The critical water pressure and critical initiation angle for two symmetric radial cracks emanating from a pressurized borehole were investigated，and the theoretical results were consistent with the experimental results． Through the proposed theoretical method，the influence of T-stress，radius of the fracture process zone，Biot’s coefficient，lateral pressure coefficient and Poisson’s ratio on the hydraulic fracturing behavior was analyzed． Parameter analysis indicates that the radius of the fracture process zone，T-stress，and lateral pressure coefficient play an important role in the critical initiation angle and critical water pressure． The critical water pressure increases with the decrement of Poisson’s ratio
董卓等：基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压裂研究 ·437· whereas the critical initiation angle shows the opposite trend.Biot's coefficient has no effect on the critical initiation angle but has a significant influence on the fracture initiation angle under high water pressure.The theoretical model enables a comprehensive under- standing of the characteristics of hydraulic fracturing under complex loading conditions.The results also provided a basis for quantitative investigations of the engineering design of hydraulic fracturing treatments KEY WORDS strain energy density:T-stress;hydraulic fracturing:Poisson's ratio:Biot's coefficient:fracture initiation angle: critical water pressure 水力压裂利用高压将大量高黏性流体注入目标 缝内流体流动之间相互作用及页岩材料的各向异 储层，改造储层结构，从而形成复杂裂缝网，提高 性，研究了水力压裂裂缝破坏形态.在理论计算方 油气产量.水力压裂技术被广泛应用于非常规石油 面，Hosseini利用线弹性断裂力学方法研究了水 天然气及煤层气开采、原位地应力测量、地下注浆工 力压裂裂缝扩展行为，分析了岩层地应力对裂缝扩 程、地热资源开发与利用等工程.影响目标储层水 展的影响.蒲成志等☒基于滑动裂纹模型理论和 力压裂工程效果的主要因素有：储层地应力差：压裂 最大周向拉应力破坏准则，研究了压剪复合型裂纹 储层相对厚度及边界状况：储层岩石弹性模量、泊松 在不同渗透压环境下初始裂隙尖端微裂纹起裂特性 比、断裂韧度等力学参数：储层孔隙压力分布，孔隙 与规律.李夕兵等探讨了在渗透水压和远场应 度，渗透系数以及流体注入压力等山.因此，针对上 力共同作用下张开型裂纹的启裂规律及裂纹尖端应 述影响因素展开研究对进一步认识水力压裂的作用 力强度因子的演化规律，并提出运用裂纹尖端应力 机理同时获得更好的工程应用效果具有十分重要的 强度因子作为判断压剪岩石裂纹的启裂准则 意义. 本文在以上水力压裂相关研究的基础上，基于 水力压裂的主要目的是在储层中产生新裂缝并 断裂力学理论，考虑裂纹尖端非奇异项T应力在裂 沟通或扩大旧裂缝，因此裂缝开启的临界水压和临 纹尖端应力场中的影响作用的，修正最小应变能密 界起裂角是两个重要的研究对象.为了更好的理解 度因子断裂准则，分析临界裂纹区尺寸、裂纹倾角、 实际工程中岩层裂缝的断裂特性，研究者进行了大 储层地应力差、T应力、泊松比、比奥系数等因素对 量工作.目前水力压裂的主要研究方法有物理实 裂纹临界水压和起裂角的影响，为进一步深入理解 验、数值模拟和理论计算.在物理实验方面，刘建中 水力压裂作用机理提供理论依据 等回利用大型双向加载机进行大尺度水压致裂实 1理论模型 验，研究了裂缝初始破裂压力、重张压力、封闭压力 和应力条件、岩石的弹性模量、裂缝尺度的关系.姜 传统断裂力学将裂纹分为三种基本类型，由于 浒等同采用大尺寸真三轴水力压裂物理模拟实验 构件几何形状和荷载形式的不同，裂纹类型往往呈 系统，研究射孔方位角、地应力差和微环隙对裂缝起 现I一Ⅱ复合型裂纹.国内外研究者对复合型裂纹 裂特性的影响，并建立了射孔直井在地应力条件下 断裂准则做了大量研究，其中，经典的二维脆性断裂 产生垂直裂缝的破裂压力预测模型.Wang等0通 准则主要包括最大周向应力理论（σ，准则）、应变能 过物理实验和数值模拟相结合的方法研究了地应力 密度因子理论(S准则)、最大能量释放率理论(G准 差、注入水压和预制裂缝倾角对水压裂缝破裂、扩展 则)等的.传统线弹性断裂力学只考虑裂纹尖端应 形态的影响.在数值模拟方面，李旺等囚应用数值 力强度因子代表的奇异项应力场，忽略了非奇异项 模拟方法对多平行裂缝诱导应力相互干扰的机制进 T应力对裂纹断裂特性的影响.Jia基于上述三 行研究.Lu等等利用数值方法研究了不同储层 种断裂力学理论判据，计算了不同荷载条件下的水 参数对水平井同步压裂多裂纹扩展过程的影响. 力压裂起裂角，但是未考虑裂纹尖端应力场中非奇 Si等切通过数值计算方法对水力压裂过程中水力 异项的影响.Tang叨通过引入裂纹尖端非奇异项T 裂缝与储层天然裂缝之间的相互作用进行研究. 应力修正最大周向应力准则和最大剪应力准则，研 Nadimi等图运用三维近场动力学方法研究了各向 究复合型裂纹的断裂特性.Seweryn图利用非局部 异性材料水压裂纹的起裂、扩展规律.连志龙等回 最大能量释放率理论研究了脆性材料的裂纹起裂和 采用ABAQUS建立了水力压裂模型，模拟了地应 传播过程.Wei阿将应变能密度因子区分为体积改 力、岩性和压裂液特性因素对压裂裂缝扩展的影响. 变能和形状改变能，研究了材料的破坏特性.Aya- Wang等o采用扩展有限元方法考虑岩石变形和裂 tollahi等-训通过裂纹尖端非奇异项T应力修正S
董 卓等: 基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压裂研究 whereas the critical initiation angle shows the opposite trend． Biot’s coefficient has no effect on the critical initiation angle but has a significant influence on the fracture initiation angle under high water pressure． The theoretical model enables a comprehensive understanding of the characteristics of hydraulic fracturing under complex loading conditions． The results also provided a basis for quantitative investigations of the engineering design of hydraulic fracturing treatments． KEY WOＲDS strain energy density; T-stress; hydraulic fracturing; Poisson’s ratio; Biot’s coefficient; fracture initiation angle; critical water pressure 水力压裂利用高压将大量高黏性流体注入目标 储层，改造储层结构，从而形成复杂裂缝网络，提高 油气产量． 水力压裂技术被广泛应用于非常规石油 天然气及煤层气开采、原位地应力测量、地下注浆工 程、地热资源开发与利用等工程． 影响目标储层水 力压裂工程效果的主要因素有: 储层地应力差; 压裂 储层相对厚度及边界状况; 储层岩石弹性模量、泊松 比、断裂韧度等力学参数; 储层孔隙压力分布，孔隙 度，渗透系数以及流体注入压力等［1］． 因此，针对上 述影响因素展开研究对进一步认识水力压裂的作用 机理同时获得更好的工程应用效果具有十分重要的 意义． 水力压裂的主要目的是在储层中产生新裂缝并 沟通或扩大旧裂缝，因此裂缝开启的临界水压和临 界起裂角是两个重要的研究对象． 为了更好的理解 实际工程中岩层裂缝的断裂特性，研究者进行了大 量工作． 目前水力压裂的主要研究方法有物理实 验、数值模拟和理论计算． 在物理实验方面，刘建中 等［2］利用大型双向加载机进行大尺度水压致裂实 验，研究了裂缝初始破裂压力、重张压力、封闭压力 和应力条件、岩石的弹性模量、裂缝尺度的关系． 姜 浒等［3］采用大尺寸真三轴水力压裂物理模拟实验 系统，研究射孔方位角、地应力差和微环隙对裂缝起 裂特性的影响，并建立了射孔直井在地应力条件下 产生垂直裂缝的破裂压力预测模型． Wang 等［4］通 过物理实验和数值模拟相结合的方法研究了地应力 差、注入水压和预制裂缝倾角对水压裂缝破裂、扩展 形态的影响． 在数值模拟方面，李旺等［5］应用数值 模拟方法对多平行裂缝诱导应力相互干扰的机制进 行研究． Liu 等［6］等利用数值方法研究了不同储层 参数对水平井同步压裂多裂纹扩展过程的影响． Shi 等［7］通过数值计算方法对水力压裂过程中水力 裂缝与储层天然裂缝之间的相互作用进行研究． Nadimi 等［8］运用三维近场动力学方法研究了各向 异性材料水压裂纹的起裂、扩展规律． 连志龙等［9］ 采用 ABAQUS 建立了水力压裂模型，模拟了地应 力、岩性和压裂液特性因素对压裂裂缝扩展的影响． Wang 等［10］采用扩展有限元方法考虑岩石变形和裂 缝内流体流动之间相互作用及页岩材料的各向异 性，研究了水力压裂裂缝破坏形态． 在理论计算方 面，Hosseini［11］利用线弹性断裂力学方法研究了水 力压裂裂缝扩展行为，分析了岩层地应力对裂缝扩 展的影响． 蒲成志等［12］基于滑动裂纹模型理论和 最大周向拉应力破坏准则，研究了压剪复合型裂纹 在不同渗透压环境下初始裂隙尖端微裂纹起裂特性 与规律． 李夕兵等［13］探讨了在渗透水压和远场应 力共同作用下张开型裂纹的启裂规律及裂纹尖端应 力强度因子的演化规律，并提出运用裂纹尖端应力 强度因子作为判断压剪岩石裂纹的启裂准则． 本文在以上水力压裂相关研究的基础上，基于 断裂力学理论，考虑裂纹尖端非奇异项 T 应力在裂 纹尖端应力场中的影响作用［14］，修正最小应变能密 度因子断裂准则，分析临界裂纹区尺寸、裂纹倾角、 储层地应力差、T 应力、泊松比、比奥系数等因素对 裂纹临界水压和起裂角的影响，为进一步深入理解 水力压裂作用机理提供理论依据． 1 理论模型 传统断裂力学将裂纹分为三种基本类型，由于 构件几何形状和荷载形式的不同，裂纹类型往往呈 现Ⅰ--Ⅱ复合型裂纹． 国内外研究者对复合型裂纹 断裂准则做了大量研究，其中，经典的二维脆性断裂 准则主要包括最大周向应力理论( σθ准则) 、应变能 密度因子理论( S 准则) 、最大能量释放率理论( G 准 则) 等［15］． 传统线弹性断裂力学只考虑裂纹尖端应 力强度因子代表的奇异项应力场，忽略了非奇异项 T 应力对裂纹断裂特性的影响． Jin［16］基于上述三 种断裂力学理论判据，计算了不同荷载条件下的水 力压裂起裂角，但是未考虑裂纹尖端应力场中非奇 异项的影响． Tang［17］通过引入裂纹尖端非奇异项 T 应力修正最大周向应力准则和最大剪应力准则，研 究复合型裂纹的断裂特性． Seweryn［18］利用非局部 最大能量释放率理论研究了脆性材料的裂纹起裂和 传播过程． Wei［19］将应变能密度因子区分为体积改 变能和形状改变能，研究了材料的破坏特性． Ayatollahi 等［20--21］通过裂纹尖端非奇异项 T 应力修正 S · 734 ·
·438 工程科学学报，第41卷，第4期 准则研究了裂纹的起裂特性，并与物理实验和数值 rB=(T√Ta/K 模拟结果相对比，表明利用修正S准则在计算裂纹 K=√K+K (4) 临界起裂应力和起裂角具有较高精度. 根据断裂力学理论，考虑非奇异项T应力的 La=v2r/a I一Ⅱ复合型裂纹尖端应力场在极坐标下的表达式 其中，「。为材料的临界裂纹区尺寸，是材料的性能 为叨： 参数四 最小应变能密度因子准则的基本假定为：(1) 裂纹将沿着S=Sa的方向扩展；(2)当Sm达到一 定临界值时，裂纹开始扩展.所以利用该准则计算 临界起裂角应满足如下条件： 8=0暗>0 (5) 3 号+2）+ ”a62 4 将公式(3)代入公式(5)可得临界起裂角的计 算公式(6)D: Ki+b2Ki+263K Ku+2b(BaK)K+ 2bs (BaK)Ku+b6 (BaK)]=0 (6) b1 =sin 0o(2cos 0o-K +1) b2 =-sin 00(6cos 0o-K+1) b3 =2cos 200-(K-1)cos 00 其中， Tsin Ocos 0 (1c) b4=-(sin0/2)(5cos20。+5cos0,+K+1) 式中，日为起裂裂纹与预制裂纹的夹角；r为距裂纹 b5=-(c0s0/2)(5cos20-5cosA+K+3) 端部的距离；K、K,为I、Ⅱ类裂纹的强度因子；T为 lb。=0 裂纹尖端非奇异项应力. 由于公式(6)所得方程实根的个数为多个，因 在二维条件下，根据广义胡可定律，单位体积内 此应利用公式(3)和式(5)中的二阶导数大于零的 的应变能密度因子S为（极坐标）0： 判断条件一一讨论，以确定所计算的角度为临界起 裂角，即公式(7)所示： s=晋元go,+o产-ao+ c Ki +c2Ki +2cK Ku +2ca (BaK)K+ (2) 2cs (BaK)Ku]>0 (7) 其中：G=E/2(1+v)为剪切模量：E为弹性模量：v 其中， 为泊松比：K为弹性常数，在平面应力条件下，K= [c1=2cos28-c0sA(K-1) (3-v)/(1+v);在平面应变条件下，K=3-4u. 92=-6c0s28+c0s0(K-1) 将公式(1)代入公式(2)可得裂纹尖端的应变 93=-4sin28+(k-1)sina。 能密度因子S为0： c4=-0.5(cos0/2)(25cos20-25cos0。+K+11) 5-TomG nkka c5=-0.5(sin0/2)(25cos29+25cos6+K+13) 根据最小应变能密度因子理论，当Sn达到一 2as(BaKn)K1+2as (BaKn)xKu+ 定临界值，也即当S=S.时裂纹开始扩展.在纯I as (BaK )2] (3) 型裂纹条件下，K=KcKu=O(Kc为材料的断裂 Ta=(k-cos 0)(1+cos 0) 韧度)且当T=0时，裂纹的临界起裂角0。=0°，所 a2 =K(1-cos 0)cos 0(1 +3cos 0) 以根据公式(3)可得临界最小应变能密度因子只与 材料的断裂韧度和泊松比有关，根据以下公式可以 其中，{ a3 sin 0(2cos 0-K+1) 计算出裂纹扩展的临界起裂应力 a=(cos 0/2)(cos 20-cos 0+K-1) a5=-(sin6/2)(cos20+cos0+K+1) 代-8ce-lK=16C4,足 a6=(K+1)/2 a=2(k-1) (8) 在公式(3)中的量纲一的量可以表示为叨：
工程科学学报，第 41 卷，第 4 期 准则研究了裂纹的起裂特性，并与物理实验和数值 模拟结果相对比，表明利用修正 S 准则在计算裂纹 临界起裂应力和起裂角具有较高精度． 根据断裂力学理论，考虑非奇异项 T 应力的 Ⅰ--Ⅱ复合型裂纹尖端应力场在极坐标下的表达式 为［17］: σr = KI 槡2π ( r 5 4 cos θ 2 － 1 4 cos 3θ ) 2 + KII 槡2π ( r － 5 4 sin θ 2 + 3 4 sin 3θ ) 2 + T cos2 θ ( 1a) σθ = KI 槡2π ( r 3 4 cos θ 2 + 1 4 cos 3θ ) 2 + KII 槡2π ( r － 3 4 sin θ 2 － 3 4 sin 3θ ) 2 + T sin2 θ ( 1b) σrθ = KI 槡2π ( r 1 4 sin θ 2 + 1 4 sin 3θ ) 2 + KII 槡2π ( r 1 4 cos θ 2 + 3 4 cos 3θ ) 2 － Tsin θcos θ ( 1c) 式中，θ 为起裂裂纹与预制裂纹的夹角; r 为距裂纹 端部的距离; KI、KII为 I、II 类裂纹的强度因子; T 为 裂纹尖端非奇异项应力． 在二维条件下，根据广义胡可定律，单位体积内 的应变能密度因子 S 为( 极坐标) ［20］: S = r dW dV = r 2 [ G κ + 1 8 ( σr + σθ ) 2 － σrσθ + σ2 rθ ] ( 2) 其中: G = E /2( 1 + υ) 为剪切模量; E 为弹性模量; υ 为泊松比; κ 为弹性常数，在平面应力条件下，κ = ( 3 － υ) /( 1 + υ) ; 在平面应变条件下，κ = 3 － 4υ． 将公式( 1) 代入公式( 2) 可得裂纹尖端的应变 能密度因子 S 为［20］: S = 1 16πG ［a1K2 I + a2K2 II + 2a3KIKII + 2a4 ( BαKeff ) KI + 2a5 ( BαKeff ) × KII + a6 ( BαKeff ) 2 ］ ( 3) 其中， a1 = ( κ － cos θ) ( 1 + cos θ) a2 = κ( 1 － cos θ) + cos θ( 1 + 3cos θ) a3 = sin θ( 2cos θ － κ + 1) a4 = ( cos θ /2) ( cos 2θ － cos θ + κ － 1) a5 = － ( sin θ /2) ( cos 2θ + cos θ + κ + 1) a6 = ( κ + 1) / 2 ． 在公式( 3) 中的量纲一的量可以表示为［17］: B = ( T 槡πa) /Keff Keff = K2 I + K2 槡 II α = 2r 槡 c { / a ( 4) 其中，rc 为材料的临界裂纹区尺寸，是材料的性能 参数［22］． 最小应变能密度因子准则的基本假定为: ( 1) 裂纹将沿着 S = Smin的方向扩展; ( 2) 当 Smin达到一 定临界值时，裂纹开始扩展． 所以利用该准则计算 临界起裂角应满足如下条件: S θ = 0， 2 S θ 2 ＞ 0 ( 5) 将公式( 3) 代入公式( 5) 可得临界起裂角的计 算公式( 6) ［20］: ［b1K2 I + b2K2 II + 2b3KIKII + 2b4 ( BαKeff ) KI + 2b5 ( BαKeff ) KII + b6 ( BαKeff ) 2 ］= 0 ( 6) 其中， b1 = sin θ0 ( 2cos θ0 － κ + 1) b2 = － sin θ0 ( 6cos θ0 － κ + 1) b3 = 2cos 2θ0 － ( κ － 1) cos θ0 b4 = － ( sin θ0 /2) ( 5cos 2θ0 + 5cos θ0 + κ + 1) b5 = － ( cos θ0 /2) ( 5cos 2θ0 － 5cos θ0 + κ + 3) b6 = 0 ． 由于公式( 6) 所得方程实根的个数为多个，因 此应利用公式( 3) 和式( 5) 中的二阶导数大于零的 判断条件一一讨论，以确定所计算的角度为临界起 裂角，即公式( 7) 所示: ［c1K2 I + c2K2 II + 2c3KIKII + 2c4 ( BαKeff ) KI + 2c5 ( BαKeff ) KII］＞ 0 ( 7) 其中， c1 = 2cos 2θ0 － cos θ0 ( κ － 1) c2 = － 6cos 2θ0 + cos θ0 ( κ － 1) c3 = － 4sin 2θ0 + ( κ － 1) sin θ0 c4 = － 0. 5( cos θ0 /2) ( 25cos 2θ0 － 25cos θ0 + κ + 11) c5 = － 0. 5( sin θ0 /2) ( 25cos 2θ0 + 25cos θ0 + κ + 13 ) ． 根据最小应变能密度因子理论，当 Smin达到一 定临界值，也即当 Smin = Scr时裂纹开始扩展． 在纯 I 型裂纹条件下［15］，KI = KIC、KII = 0( KIC为材料的断裂 韧度) 且当 T = 0 时，裂纹的临界起裂角 θ0 = 0°，所 以根据公式( 3) 可得临界最小应变能密度因子只与 材料的断裂韧度和泊松比有关，根据以下公式可以 计算出裂纹扩展的临界起裂应力． Scr = 1 8πG( κ － 1) K2 IC = 1 16πGa0K2 IC a0 = 2( κ － 1) Smin = S { cr ( 8) · 834 ·
董卓等：基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压裂研究 ·439· 100 2断裂准则验证 2.1泊松比和T应力与起裂角的关系 a--0.15 Khan等圆利用经典S准则计算纯Ⅱ型裂纹起 =0.25 40=0.35 裂角，当剪应力方向改变时，起裂角也相应改变方 ,·传统理论 向，但是没有考虑T应力和泊松比的影响.Smith 等P和Ayatollahi等P分别利用修正的c,准则和 -20 40 S准则研究了T应力对裂纹起裂角的影响，但是均 60 未研究T应力和泊松比对纯Ⅱ型裂纹的影响. 80 Sih利用经典S准则分别研究了两种基本裂纹类 型的起裂特性，同样忽略了裂纹尖端T应力的影 -1000 020.40.60.81.01.21.41.61.82.0 Ba 响.针对上述研究的不足，本节利用$准则进一步 图1纯I型裂纹起裂角与泊松比v和T应力的关系 研究泊松比和T应力对两种基本裂纹类型断裂特 Fig.1 Relationship between Poisson's ratio,T'-stress,and fracture 性的影响 initiation angle under pure Mode I 对于承受拉应力σ条件下的纯I型裂纹，此时 力对起裂角的影响.在相同Bα条件下，裂纹起裂角 K1=σ(ra)a5,K1=0,代入公式(3)、(6)、(7)可得 随着泊松比的增大逐渐增大.在泊松比v=0.1时T 纯I型裂纹情况下裂纹尖端应变能密度因子和起裂 应力对起裂角没有影响.在Ba>0条件下，当v< 角的计算公式如下： 0.1时起裂角0.a=0.4<o.a=0.2,当v>0.1时起裂 S-1GnKi+(ak)K.(Bak) 角0.=a4>8.a=0.2而在Ba<0时起裂角则呈现 相反变化趋势.可以得出T应力正负和材料泊松比 bKi +ba (Bak )K=0 对纯Ⅱ型裂纹起裂角同样具有显著影响 c Ki +ca (BaK K >0 90 (9) 由公式(3)和(4)可知，T应力和临界裂纹区尺 85 寸对裂纹断裂特性的影响可以转换为参数Bα的影 响.图1为纯I型裂纹条件下T应力和泊松比对起 80 裂角的影响.由图1可知，在泊松比一定条件下，随 75 ===Bt=-0.4 着Ba的增大裂纹首先沿着原裂纹方向起裂，当Bα --Br=02 达到一定值时起裂角逐渐增大裂纹起裂方向发生偏 0 一传统理论 -·Br=0.4 转；而对于传统理论(Bα=0)即不考虑T应力影响 -·B=0.2 =0.1 时，裂纹将始终沿着原裂纹面方向起裂.当裂纹起 650 0.050.100.150.200.250.300.35 裂方向偏转以后，在v=0.35时裂纹起裂偏转角始 终为72.5424°；而当v<0.35时，裂纹的起裂偏转角 图2纯Ⅱ型裂纹起裂角。与泊松比v和T应力的关系 呈现先增大后减小趋势.说明在计算裂纹起裂角时 Fig.2 Relationship between Poisson's ratio,T'-stress,and fracture initiation angle under pure Mode II 不能忽略T应力和材料泊松比的影响. 对于承受剪应力？条件下的纯Ⅱ型裂纹，此时 2.2水力压裂实验验证 Km=r(πa)5,K=0,代入公式(3)、(6)、(7)可得 水力压裂实验验证模型如图3(a)所示.实 纯Ⅱ型裂纹情况下裂纹尖端应变能密度因子和起 验采用的试样尺寸为300mm×300mm×300mm,井 裂角的计算公式如下： 筒直径为15mm,射孔长度为30mm,弹性模量E= a(ak)kaka) 15GPa,泊松比v=0.23.采用竖向荷载o.=1MPa, 水平荷载分别为σH=4MPa和oH=6MPa两种不同 b2Ki +bs (BaKn)Ku =0 工况，射孔倾角分别为15°、30°、45°和60°.根据上 czKi cs (BaKu)KI >0 述模型尺寸、力学参数和不同工况利用公式(6)~ (10) (8)可以计算出裂纹起裂的临界水压和临界起 图2为纯Ⅱ型裂纹条件下不同泊松比和T应 裂角
董 卓等: 基于最小应变能密度因子断裂准则的岩石裂纹水力压裂研究 2 断裂准则验证 2. 1 泊松比和 T 应力与起裂角的关系 Khan 等［23］利用经典 S 准则计算纯 II 型裂纹起 裂角，当剪应力方向改变时，起裂角也相应改变方 向，但是没有考虑 T 应力和泊松比的影响． Smith 等［24］和 Ayatollahi 等［21］分别利用修正的 σθ准则和 S 准则研究了 T 应力对裂纹起裂角的影响，但是均 未研究 T 应 力 和 泊 松 比 对 纯 II 型 裂 纹 的 影 响． Sih［25］利用经典 S 准则分别研究了两种基本裂纹类 型的起裂特性，同样忽略了裂纹尖端 T 应力的影 响． 针对上述研究的不足，本节利用 S 准则进一步 研究泊松比和 T 应力对两种基本裂纹类型断裂特 性的影响． 对于承受拉应力 σ 条件下的纯 I 型裂纹，此时 KI = σ( πa) 0. 5，KII = 0，代入公式( 3) 、( 6) 、( 7) 可得 纯 I 型裂纹情况下裂纹尖端应变能密度因子和起裂 角的计算公式如下: S = 1 16πG ［a1K2 I + 2a4 ( BαKI) KI + a6 ( BαKI) 2 ］ b1K2 I + b4 ( BαKI) KI = 0 c1K2 I + c4 ( BαKI) KI ＞ 0 ( 9) 由公式( 3) 和( 4) 可知，T 应力和临界裂纹区尺 寸对裂纹断裂特性的影响可以转换为参数 Bα 的影 响． 图 1 为纯 I 型裂纹条件下 T 应力和泊松比对起 裂角的影响． 由图 1 可知，在泊松比一定条件下，随 着 Bα 的增大裂纹首先沿着原裂纹方向起裂，当 Bα 达到一定值时起裂角逐渐增大裂纹起裂方向发生偏 转; 而对于传统理论( Bα = 0) 即不考虑 T 应力影响 时，裂纹将始终沿着原裂纹面方向起裂． 当裂纹起 裂方向偏转以后，在 υ = 0. 35 时裂纹起裂偏转角始 终为 72. 5424°; 而当 υ ＜ 0. 35 时，裂纹的起裂偏转角 呈现先增大后减小趋势． 说明在计算裂纹起裂角时 不能忽略 T 应力和材料泊松比的影响． 对于承受剪应力 τ 条件下的纯 II 型裂纹，此时 KII = τ( πa) 0. 5，KI = 0，代入公式( 3) 、( 6) 、( 7) 可得 纯 II 型裂纹情况下裂纹尖端应变能密度因子和起 裂角的计算公式如下: S = 1 16πG ［a2K2 II + 2a5 ( BαKII) KII + a6 ( BαKII) 2 ］ b2K2 II + b5 ( BαKII) KII = 0 c2K2 II + c5 ( BαKII) KII ＞ 0 ( 10) 图 2 为纯 II 型裂纹条件下不同泊松比和 T 应 图 1 纯 I 型裂纹起裂角与泊松比 υ 和 T 应力的关系 Fig． 1 Ｒelationship between Poisson’s ratio，T-stress，and fracture initiation angle under pure Mode I 力对起裂角的影响． 在相同 Bα 条件下，裂纹起裂角 随着泊松比的增大逐渐增大． 在泊松比 υ = 0. 1 时 T 应力对起裂角没有影响． 在 Bα ＞ 0 条件下，当 υ ＜ 0. 1 时起裂角 θ0，Bα = 0. 4 ＜ θ0，Bα = 0. 2，当 υ ＞ 0. 1 时起裂 角 θ0，Bα = 0. 4 ＞ θ0，Bα = 0. 2 ; 而在 Bα ＜ 0 时起裂角则呈现 相反变化趋势． 可以得出 T 应力正负和材料泊松比 对纯 II 型裂纹起裂角同样具有显著影响． 图 2 纯 II 型裂纹起裂角 θ0与泊松比 υ 和 T 应力的关系 Fig． 2 Ｒelationship between Poisson’s ratio，T-stress，and fracture initiation angle under pure Mode II 2. 2 水力压裂实验验证 水力压裂实验验证模型［16］如图 3( a) 所示． 实 验采用的试样尺寸为 300 mm × 300 mm × 300 mm，井 筒直径为 15 mm，射孔长度为 30 mm，弹性模量 E = 15 GPa，泊松比 υ = 0. 23． 采用竖向荷载 σh = 1 MPa， 水平荷载分别为 σH = 4 MPa 和 σH = 6 MPa 两种不同 工况，射孔倾角分别为 15°、30°、45°和 60°． 根据上 述模型尺寸、力学参数和不同工况利用公式( 6) ～ ( 8) 可以计算出裂纹起裂的临界水压和临界起 裂角． · 934 ·
·440 工程科学学报，第41卷，第4期 和式(6)计算得到起裂角与实验结果对比.通过对 比分析可以看出，当σH/oh=4时（图5(a)),考虑 裂纹尖端T应力计算的起裂角和实验结果更加吻 -ho, 合.当oH/oh=6(图5(b)且B=30时，有无T应 力条件下理论计算的起裂角分别为24.6714°和 24.8197°，而实验得到的起裂角为24°，此时T应力 0. 的影响并不大.但是在裂纹倾角为15°和60°时，考 ( 固 虑T应力之后的理论结果与实验结果更加接近. 图3计算模型.()实验模型的：(b)双轴压缩中心裂纹模型 图6为根据公式(6)~(8)计算的临界水压P。 Fig.3 Calculating model:(a)experimental mode (b)center 和临界起裂角（有无T应力条件下）与实验数据 preexisting crack under biaxial compression 对比.当oH/oh=4时（图6(a),考虑裂纹尖端T 采用平面应变假定，理论计算所需的裂纹尖端 应力的临界水压理论结果与实验结果更相近.当 应力强度因子和T应力通过有限元软件ANSYS采 σH/σ。=6时（图6(b),考虑T应力的临界水压理 用积分法得到4,2.数值计算模型尺寸与试样尺 论结果在裂纹倾角为30°和45°时与实验结果相吻 寸相同如图4所示，在裂纹尖端采用114奇异单 合，而在裂纹倾角为15°和60°时两者误差在2MPa 元，模型其他区域采用PLANE183单元，网格尺寸为 左右，这可能是实验过程中岩石材料的不均匀性造 0.8~1.5mm.边界条件：约束底边界y方向和左边 成的差异，但是其总体变化趋势与实验结果相一致， 界x方向位移，在上边界和右边界施加地应力，水压 而不考虑T应力条件下的理论结果与实验结果相 施加在井筒和射孔表面. 差较大.由图6(c)~(d)临界起裂角的对比同样可 00 知，考虑T应力的理论结果与实验结果虽然在数值 上存在一定误差，但是与不考虑T应力条件相比， 考虑T应力所得理论结果的总体变化趋势与实验 结果更加相近. 通过以上对不同裂纹类型的断裂特性分析可 知，裂纹起裂特性不仅与奇异项应力强度因子有关， 而且还需要考虑裂纹尖端非奇异项T应力和材料 泊松比的影响作用.同时通过水力压裂实验结果的 图4数值模型及裂纹尖端网格 验证可以得出，本文考虑T应力断裂准则在计算水 Fig.4 Numerical model and crack tip mesh patter 力压裂临界水压和临界起裂角时具有较高精度.因 此，在此基础上利用上述准则研究如图3(b)所示水 图5为利用本文修正断裂准则分别在有无T应 力压裂模型的起裂角和临界水压，进一步深入研究 力条件下，将实验得到的临界水压代入公式(5) 荷载条件和岩石物理力学参数对水力压裂裂纹扩展 24 20.0 b) 22 27.5 20 25.0 18 225 16 ■实验结果 20.0 ·实验结果 14 一考虑T应力理论) 。考虑T应力理论) -不考虑T应力理论) 一不考虑T应力理论) 、 17.5 0 45 60 1505 30 45 Br) ) 图5起裂角%实验数据与理论计算（有无T应力）的对比.(a)0H/o=4:(b)0H/=6 Fig.5 Experimental and theoretical results (with or without T-stress)of the fracture initiation angle:(a)=4:(b)6
工程科学学报，第 41 卷，第 4 期 图 3 计算模型． ( a) 实验模型［16］; ( b) 双轴压缩中心裂纹模型 Fig． 3 Calculating model: ( a) experimental model［16］; ( b) center preexisting crack under biaxial compression 采用平面应变假定，理论计算所需的裂纹尖端 应力强度因子和 T 应力通过有限元软件 ANSYS 采 用积分法得到［14，26］． 数值计算模型尺寸与试样尺 寸［16］相同如图 4 所示，在裂纹尖端采用 1 /4 奇异单 元，模型其他区域采用 PLANE183 单元，网格尺寸为 0. 8 ～ 1. 5 mm． 边界条件: 约束底边界 y 方向和左边 界 x 方向位移，在上边界和右边界施加地应力，水压 施加在井筒和射孔表面． 图 4 数值模型及裂纹尖端网格 Fig． 4 Numerical model and crack tip mesh pattern 图 5 起裂角 θ0实验数据与理论计算( 有无 T 应力) 的对比． ( a) σH /σh = 4; ( b) σH /σh = 6 Fig． 5 Experimental and theoretical results ( with or without T-stress) of the fracture initiation angle: ( a) σH /σh = 4; ( b) σH /σh = 6 图 5 为利用本文修正断裂准则分别在有无 T 应 力条件下，将实验得到的临界水压［16］代入公式( 5) 和式( 6) 计算得到起裂角与实验结果对比． 通过对 比分析可以看出，当 σH /σh = 4 时( 图 5( a) ) ，考虑 裂纹尖端 T 应力计算的起裂角和实验结果更加吻 合． 当 σH /σh = 6( 图 5( b) ) 且 β = 30°时，有无 T 应 力条件下理论计 算 的 起 裂 角 分 别 为 24. 6714° 和 24. 8197°，而实验得到的起裂角为 24°，此时 T 应力 的影响并不大． 但是在裂纹倾角为 15°和 60°时，考 虑 T 应力之后的理论结果与实验结果更加接近． 图 6 为根据公式( 6) ～ ( 8) 计算的临界水压 Pc 和临界起裂角( 有无 T 应力条件下) 与实验数据［16］ 对比． 当 σH /σh = 4 时( 图 6( a) ) ，考虑裂纹尖端 T 应力的临界水压理论结果与实验结果更相近． 当 σH /σh = 6 时( 图 6( b) ) ，考虑 T 应力的临界水压理 论结果在裂纹倾角为 30°和 45°时与实验结果相吻 合，而在裂纹倾角为 15°和 60°时两者误差在 2 MPa 左右，这可能是实验过程中岩石材料的不均匀性造 成的差异，但是其总体变化趋势与实验结果相一致， 而不考虑 T 应力条件下的理论结果与实验结果相 差较大． 由图 6( c) ～ ( d) 临界起裂角的对比同样可 知，考虑 T 应力的理论结果与实验结果虽然在数值 上存在一定误差，但是与不考虑 T 应力条件相比， 考虑 T 应力所得理论结果的总体变化趋势与实验 结果更加相近． 通过以上对不同裂纹类型的断裂特性分析可 知，裂纹起裂特性不仅与奇异项应力强度因子有关， 而且还需要考虑裂纹尖端非奇异项 T 应力和材料 泊松比的影响作用． 同时通过水力压裂实验结果的 验证可以得出，本文考虑 T 应力断裂准则在计算水 力压裂临界水压和临界起裂角时具有较高精度． 因 此，在此基础上利用上述准则研究如图 3( b) 所示水 力压裂模型的起裂角和临界水压，进一步深入研究 荷载条件和岩石物理力学参数对水力压裂裂纹扩展 · 044 ·