工程科学学报，第40卷，第12期：1557-1568,2018年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.12:1557-1568,December 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.12.015;http://journals.ustb.edu.cn 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 孙丁山)，陈丽)四，温余彬)，段登平) 1)上海交通大学航空航天学院，上海2002402)上海工程技术大学航空运输学院，上海201620 ☒通信作者，E-mail:chen2006@sjtu.cdn.cn 摘要提出用嵌套饱和函数描述的控制律形式，可以同时解决速率和幅值约束的控制问题.建立浮空器的三自由度模型， 将除螺旋桨推力外的其他作用力作为扰动项，进而把该系统化为类积分链式系统：基于嵌套饱和控制理论，研究了类积分链 式系统的控制输入幅值及速率约束与控制器饱和函数参数的关系：以浮空器为研究对象，进行纵向和横向通道解耦控制器设 计，实现控制系统输人的幅值和速率有界.利用Lyapunov稳定性原理证明了系统的全局稳定性，分析了可调控制器参数对改 善系统的动态性能的影响，在考虑风扰动的情况下，仿真验证了控制器的有效性和鲁棒性. 关键词多螺旋桨组合浮空器：抗饱和控制器；嵌套饱和函数；幅值及速率约束；微分有界控制器 分类号V411 Nonlinear control of aerostat with input constraints based on nested saturation SUN Ding-shan),CHEN Li2),WEN Yu-bin),DUAN Deng-ping) 1)School of Acronautics and Astronautics,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China 2)School of Air Transportation,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China Corresponding author,E-mail:chen2006@sjtu.edu.cn ABSTRACT The propellers of an aerostat are prone to both amplitude and rate saturations during the movement of the aerostat,thus affecting the stability and movement of the system.Generally,the conventional method of processing saturation can only handle the am- plitude saturation of the system input,and the rate saturation problem is usually converted to an amplitude saturation problem,so it is a complex process.Therefore,it is worthwhile to study the control method that can simultaneously deal with amplitude and rate satura- tions.Some anti-windup compensator design methods can only be applied to linear systems,and some nonlinear anti-windup control methods for nonlinear systems require much online calculations to obtain the control law,which is not conducive to real-time control. Therefore,a novel control method was applied to the nonlinear research object.The nested saturation function could realize the bound- ed amplitude and differential of the input when used as a control law because of its specific form.Thus,it could be used to solve the amplitude and rate saturation problems in an aerostat system.This paper presented the design of an anti-windup controller for a nonlin- ear multi-propeller aerostat with amplitude and rate saturations of control input.First,the three-DOF model of the aerostat was estab- lished and transformed into two chain-like integral systems by taking forces other than propeller thrust as disturbances.Based on the theory of nested saturation control,the relationship between the amplitude and rate saturations of control inputs and the parameters of saturation function was obtained.Taking the aerostat as the research object,decoupled controller for longitudinal and lateral channels was designed to realize the bounded amplitude and rate of the system input.The global stability of the system was proved by the Lya- punov stability theorem,and the dynamic performance of the system was analyzed under different adjustable parameters.Considering the wind disturbance,the effectiveness and robustness of the controller was verified by simulations. KEY WORDS multi-propeller aerostat;anti-windup controller;nested saturation function;amplitude and rate constraints;differen- tial bounded controller 收稿日期：2017-11-13 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61733017)：上海浦江人才计划资助项目(18PD018)
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期:1557鄄鄄1568,2018 年 12 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 12: 1557鄄鄄1568, December 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 12. 015; http: / / journals. ustb. edu. cn 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 孙丁山1) , 陈 丽2) 苣 , 温余彬1) , 段登平1) 1)上海交通大学航空航天学院, 上海 200240 2)上海工程技术大学航空运输学院, 上海 201620 苣 通信作者,E鄄mail: chen2006@ sjtu. edu. cn 摘 要 提出用嵌套饱和函数描述的控制律形式,可以同时解决速率和幅值约束的控制问题. 建立浮空器的三自由度模型, 将除螺旋桨推力外的其他作用力作为扰动项,进而把该系统化为类积分链式系统;基于嵌套饱和控制理论,研究了类积分链 式系统的控制输入幅值及速率约束与控制器饱和函数参数的关系;以浮空器为研究对象,进行纵向和横向通道解耦控制器设 计,实现控制系统输入的幅值和速率有界. 利用 Lyapunov 稳定性原理证明了系统的全局稳定性,分析了可调控制器参数对改 善系统的动态性能的影响,在考虑风扰动的情况下,仿真验证了控制器的有效性和鲁棒性. 关键词 多螺旋桨组合浮空器; 抗饱和控制器; 嵌套饱和函数; 幅值及速率约束; 微分有界控制器 分类号 V411 收稿日期: 2017鄄鄄11鄄鄄13 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(61733017);上海浦江人才计划资助项目(18PJD018) Nonlinear control of aerostat with input constraints based on nested saturation SUN Ding鄄shan 1) , CHEN Li 2) 苣 , WEN Yu鄄bin 1) , DUAN Deng鄄ping 1) 1) School of Aeronautics and Astronautics, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China 2) School of Air Transportation, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China 苣 Corresponding author, E鄄mail: chen2006@ sjtu. edu. cn ABSTRACT The propellers of an aerostat are prone to both amplitude and rate saturations during the movement of the aerostat, thus affecting the stability and movement of the system. Generally, the conventional method of processing saturation can only handle the am鄄 plitude saturation of the system input, and the rate saturation problem is usually converted to an amplitude saturation problem, so it is a complex process. Therefore, it is worthwhile to study the control method that can simultaneously deal with amplitude and rate satura鄄 tions. Some anti鄄windup compensator design methods can only be applied to linear systems, and some nonlinear anti鄄windup control methods for nonlinear systems require much online calculations to obtain the control law, which is not conducive to real鄄time control. Therefore, a novel control method was applied to the nonlinear research object. The nested saturation function could realize the bound鄄 ed amplitude and differential of the input when used as a control law because of its specific form. Thus, it could be used to solve the amplitude and rate saturation problems in an aerostat system. This paper presented the design of an anti鄄windup controller for a nonlin鄄 ear multi鄄propeller aerostat with amplitude and rate saturations of control input. First, the three鄄DOF model of the aerostat was estab鄄 lished and transformed into two chain鄄like integral systems by taking forces other than propeller thrust as disturbances. Based on the theory of nested saturation control, the relationship between the amplitude and rate saturations of control inputs and the parameters of saturation function was obtained. Taking the aerostat as the research object, decoupled controller for longitudinal and lateral channels was designed to realize the bounded amplitude and rate of the system input. The global stability of the system was proved by the Lya鄄 punov stability theorem, and the dynamic performance of the system was analyzed under different adjustable parameters. Considering the wind disturbance, the effectiveness and robustness of the controller was verified by simulations. KEY WORDS multi鄄propeller aerostat; anti鄄windup controller; nested saturation function; amplitude and rate constraints; differen鄄 tial bounded controller
·1558 工程科学学报，第40卷，第12期 常规的浮空器主要是指具有流线型外形的飞 定问题，但该方法只能实现输入幅值约束.Bateman 艇，这种飞艇一般被认为是兼顾空气动力学、静升力 等[9]在Teel8]的基础上，将嵌套饱和控制律应用 和结构要求的最佳折中，但是这种构型的浮空器容 于更一般的线性系统，使控制输入满足幅值及速率 易受到侧风扰的影响，并且在低空速情况下气动舵 约束，并利用线性矩阵不等式对系统的吸引域进行 面的效率较低).本文的研究对象为扁平外形的多 估计.但此方法不能保证系统全局稳定.以上两种 螺旋桨矢量推力浮空器，无空气舵面，配备4个轴对 方法中控制律饱和函数均有相同线性部分.Laporte 称分布的螺旋桨，使得该浮空器受侧风扰的影响更 等[20]针对标准积分链式系统，通过改变嵌套控制律 小，且具有空间全方位运动能力].此类浮空器控 最外层饱和函数的参数，使其具有不同的斜率从而 制中存在如下难点：系统具有冗余的多螺旋桨配置， 实现控制律多阶微分有界，并同时保证系统全局 因此需要复合控制分配优化)：浮空器具有大惯性 镇定. 大体积特点，由于螺旋桨执行能力有限，运动控制过 本文在文献「20的基础上，结合浮空器三自由 程中很容易发生推力幅值和速率的饱和.特别当受 度模型，建立输入约束与控制律饱和函数的解析关 外部载荷影响时，其速率性能和理想情况差别很大. 系：进一步改进嵌套饱和控制律，分析控制器可调参 目前关于矢量螺旋桨及其控制分配问题有了一些研 数与系统动态性能的关联，证明了闭环系统的稳定 究4-61，且考虑了矢量螺旋桨幅值饱和问题-o).刘 性，通过调节控制律参数改善了原有控制律下系统 芬等)针对上述浮空器考虑了执行机构受到幅值 动态性能较差的弱点：在此基础上研究了嵌套饱和 约束以及约束不对称的问题，通过线性变换方法将 轨迹跟踪控制律及其微分界限.仿真验证了控制律 不对称约束转换为对称约束，然后在抗饱和统一框 有效性和鲁棒性，为实际飞行验证提供了参考. 架下基于线性矩阵不等式(LMI)进行抗饱和补偿器 的设计：祝明等]针对四桨平流层飞艇提出了基于 1浮空器模型 模型预测控制的容错控制器，利用数值优化方法考 多螺旋桨组合浮空器艇身为偏平球状外形，执 虑执行机构的约束，但均未考虑速率约束 行机构为4个轴对称分布于赤道平面的矢量螺旋 关于幅值和速率饱和的处理有两类方法.一类 桨：吊舱位于艇身下方，如图1所示.本文研究浮空 为基于优化问题的抗饱和补偿器设计方法). 器水平面内的运动，根据Chen等2)提取其三自由 Hu等[]介绍了抗饱和补偿器设计的统一框架，将 度模型.由于螺旋桨的推力大小、推力的变化速率 抗饱和控制问题转化为通过线性矩阵不等式求解的 以及转角变化速率受到物理条件限制，因此在设计 凸优化问题，并对闭环系统进行了吸引域的估计，在 xoy平面位置控制器时要考虑纵向及横侧向通道的 一定的指标条件下获得保证系统稳定的可行解： 推力幅值及速率约束 Galeani等[2]在抗饱和统一框架中加入了速率饱和 螺旋桨4●@ 模块，将速率饱和与幅值饱和统一转换为幅值饱和 螺旋桨3 进行处理，得到使系统稳定的静态抗饱和补偿器，该 螺旋桨2 方法只适用于线性模型：另一类方法为非线性控制 方法[s-].Han等1s]基于两步法，通过自适应项的 调节避免幅值饱和，同时处理模型中的不确定气动 参数，增强系统的鲁棒性能.严路等]结合滑模及 自适应控制理论，提出了一种自适应滑模抗饱和控 制器，在处理输入受限的同时，能够有效消除控制器 吊舱 的抖振现象.然而，上述两类方法都需要大量的在 图1浮空器外形及螺旋桨分布 线计算来得到自适应项，在实际应用中容易造成延 Fig.1 Propeller configuration of the aerostat 时，不利于实时控制. 1.1浮空器动力学模型 近年来在非线性控制方法中，又有学者提出了 浮空器的三自由度动力学方程如下： 种基于状态反馈的嵌套饱和控制律以解决执行器 m +m 0 0 幅值和速率饱和问题，该控制律无需大量在线计算， 具有简洁的表达式[18-20].嵌套饱和控制律最早由 0 m+m22 0 Teel[8]提出，用于解决标准多阶积分链系统全局镇 0 .+m
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 常规的浮空器主要是指具有流线型外形的飞 艇,这种飞艇一般被认为是兼顾空气动力学、静升力 和结构要求的最佳折中,但是这种构型的浮空器容 易受到侧风扰的影响,并且在低空速情况下气动舵 面的效率较低[1] . 本文的研究对象为扁平外形的多 螺旋桨矢量推力浮空器,无空气舵面,配备 4 个轴对 称分布的螺旋桨,使得该浮空器受侧风扰的影响更 小,且具有空间全方位运动能力[2] . 此类浮空器控 制中存在如下难点:系统具有冗余的多螺旋桨配置, 因此需要复合控制分配优化[3] ;浮空器具有大惯性 大体积特点,由于螺旋桨执行能力有限,运动控制过 程中很容易发生推力幅值和速率的饱和. 特别当受 外部载荷影响时,其速率性能和理想情况差别很大. 目前关于矢量螺旋桨及其控制分配问题有了一些研 究[4鄄鄄6] ,且考虑了矢量螺旋桨幅值饱和问题[7鄄鄄10] . 刘 芬等[9]针对上述浮空器考虑了执行机构受到幅值 约束以及约束不对称的问题,通过线性变换方法将 不对称约束转换为对称约束,然后在抗饱和统一框 架下基于线性矩阵不等式(LMI)进行抗饱和补偿器 的设计;祝明等[10]针对四桨平流层飞艇提出了基于 模型预测控制的容错控制器,利用数值优化方法考 虑执行机构的约束,但均未考虑速率约束. 关于幅值和速率饱和的处理有两类方法. 一类 为基于优化问题的抗饱和补偿器设计方法[11鄄鄄14] . Hu 等[11]介绍了抗饱和补偿器设计的统一框架,将 抗饱和控制问题转化为通过线性矩阵不等式求解的 凸优化问题,并对闭环系统进行了吸引域的估计,在 一定的指标条件下获得保证系统稳定的可行解; Galeani 等[12]在抗饱和统一框架中加入了速率饱和 模块,将速率饱和与幅值饱和统一转换为幅值饱和 进行处理,得到使系统稳定的静态抗饱和补偿器,该 方法只适用于线性模型;另一类方法为非线性控制 方法[15鄄鄄17] . Han 等[15]基于两步法,通过自适应项的 调节避免幅值饱和,同时处理模型中的不确定气动 参数,增强系统的鲁棒性能. 严路等[17] 结合滑模及 自适应控制理论,提出了一种自适应滑模抗饱和控 制器,在处理输入受限的同时,能够有效消除控制器 的抖振现象. 然而,上述两类方法都需要大量的在 线计算来得到自适应项,在实际应用中容易造成延 时,不利于实时控制. 近年来在非线性控制方法中,又有学者提出了 一种基于状态反馈的嵌套饱和控制律以解决执行器 幅值和速率饱和问题,该控制律无需大量在线计算, 具有简洁的表达式[18鄄鄄20] . 嵌套饱和控制律最早由 Teel [18]提出,用于解决标准多阶积分链系统全局镇 定问题,但该方法只能实现输入幅值约束. Bateman 等[19]在 Teel [18]的基础上,将嵌套饱和控制律应用 于更一般的线性系统,使控制输入满足幅值及速率 约束,并利用线性矩阵不等式对系统的吸引域进行 估计. 但此方法不能保证系统全局稳定. 以上两种 方法中控制律饱和函数均有相同线性部分. Laporte 等[20]针对标准积分链式系统,通过改变嵌套控制律 最外层饱和函数的参数,使其具有不同的斜率从而 实现控制律多阶微分有界,并同时保证系统全局 镇定. 本文在文献[20]的基础上,结合浮空器三自由 度模型,建立输入约束与控制律饱和函数的解析关 系;进一步改进嵌套饱和控制律,分析控制器可调参 数与系统动态性能的关联,证明了闭环系统的稳定 性,通过调节控制律参数改善了原有控制律下系统 动态性能较差的弱点;在此基础上研究了嵌套饱和 轨迹跟踪控制律及其微分界限. 仿真验证了控制律 有效性和鲁棒性,为实际飞行验证提供了参考. 1 浮空器模型 多螺旋桨组合浮空器艇身为偏平球状外形,执 行机构为 4 个轴对称分布于赤道平面的矢量螺旋 桨;吊舱位于艇身下方,如图 1 所示. 本文研究浮空 器水平面内的运动,根据 Chen 等[21] 提取其三自由 度模型. 由于螺旋桨的推力大小、推力的变化速率 以及转角变化速率受到物理条件限制,因此在设计 xoy 平面位置控制器时要考虑纵向及横侧向通道的 推力幅值及速率约束. 图 1 浮空器外形及螺旋桨分布 Fig. 1 Propeller configuration of the aerostat 1郾 1 浮空器动力学模型 浮空器的三自由度动力学方程如下: m + m11 0 0 0 m + m22 0 0 0 Iz + m é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 33 u · v · r é ë ê ê ê ù û ú ú · ú = ·1558·
孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1559· 「Fk+F+F 动，产生的力方向为正，螺旋桨顺时针转动角度山， F+F+Fn (1) 0<u,<2π.将螺旋桨推力沿机体x0y平面和z轴 N +N+NT 分解： F F sin u,Fy=Fcos (6) 式中：u,i,i为u,v,r的微分，u,v,r为浮空器在机 螺旋桨推力对机体浮心产生推力及力矩为： 体坐标系下沿x轴y轴的飞行速度以及偏航角速 F Fasin u 度；m为浮空器质量；L.为浮空器沿z轴转动惯量； m1,m2分别为前向运动和侧向运动的附加质量， Fesin e =R m为绕z轴的附加转动惯量.浮空器分别受到沿x N Fasin As 轴y轴和绕：轴的气动力和力矩Fx,F,N4,螺旋 Fsin4」 桨在x、y方向的合推力和绕z轴的合力矩F,F, 0 1 0 N,以及分别沿x轴、y轴和绕z轴的科式力Fk,F, -1 0 1 0 (7) N,的作用.该浮空器外形上下对称且左右对称，浮 -Tp -rp -Tp -Tp 心位于其体心.假设浮心与重心重合，且重力等于 式中，「。为螺旋桨安装轴心到机体浮心的距离，R为 控制分配矩阵，使用其广义逆矩阵反求螺旋桨的推 浮力，则垂直方向不受重浮力及力矩作用. 浮空器的三自由度运动学关系如下： 力.由分配矩阵可知，螺旋桨推力垂直分量对xoy 平面位置控制没有作用，故只考虑其水平面内的推 sin t 力分量. sin t cos (2) 0 0 2控制器设计 式(2)表示惯性坐标系中的速度、角速度与机体坐 以浮空器的单通道模型式(4)为例进行分析， 标系中的速度、角速度间的变换关系.式中x,y,中 可将其看作一个控制输入受限的类积分链式系统， 分别为x,y,山的微分，x,y,中分别为惯性坐标系中 嵌套饱和控制方法是处理此类系统的一种行之有效 浮空器的位置与偏航角. 的方法[22-23] 2.1嵌套饱和控制律 本文只控制浮空器在水平面内x,y方向的位 移，假设偏航角始终为零，则浮空器在机体坐标系以 在控制系统的设计过程中，饱和函数经常被用 来描述执行机构的饱和特性2).为了完整地描述 及惯性坐标系下的位移及速度相同，有如下关系： 执行机构的幅值和速率饱和以及避免被动抗饱和给 (x=u (3) 闭环系统带来的负面影响，引入了嵌套饱和函数对 (y=v 幅值和速率进行描述.给出了嵌套饱和控制方法的 结合浮空器运动学方程(3)，将方程(1)中的前飞纵 具体形式及应用对象.首先定义饱和函数如下 向“及横侧向，通道分别表述为二阶类似积分链 定义120]：饱和函数σ(r)表达式： 系统： [ar Irl≤L。 x =u (4) (r)= H(r) L≤lrl≤S, (8) i=aFis+ sign(r）om Irl≥S. (y=0 (5) 式中，L,是饱和函数的线性域，a。是线性域内的斜 i=bFy +5y 率，一般情况下a。=1,S。是非饱和域，H是非饱和 式中，专.=a(F+F),5,=b(F+F)分别为两个 域内非线性函数部分，σ是函数饱和值. 通道中的阻力项，a=1/(m+m1),b=1/(m+ 为了使σ函数连续可微，在函数饱和处使用连 m22）. 续可微函数H(r)连接.由此产生的饱和函数既接 1.2浮空器螺旋桨输出 近于一般的sat(·)函数，又能够计算其微分，便于进 该浮空器有4个矢量螺旋桨，每个螺旋桨有2 行下一步速率约束的分析. 个控制自由度，分别为推力大小和方向.设螺旋桨4 形如式(9)所示的n阶积分链系统： 个推力大小分别为F,F2,Fa,F4,转角分别为1， 「X1=X2 2e4,螺旋桨垂直于xoy平面向上为初始位 (9) 置，桨叶顺时针旋转产生垂直螺旋桨面的力，桨叶转 。=u
孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 FIx + FAx + FTx FIy + FAy + FTy NI + NA + N é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú T (1) 式中:u · ,v · , r · 为 u,v,r 的微分,u,v,r 为浮空器在机 体坐标系下沿 x 轴 y 轴的飞行速度以及偏航角速 度;m 为浮空器质量;Iz 为浮空器沿 z 轴转动惯量; m11 ,m22分别为前向运动和侧向运动的附加质量, m33为绕 z 轴的附加转动惯量. 浮空器分别受到沿 x 轴、y 轴和绕 z 轴的气动力和力矩 FAx,FAy,NA ,螺旋 桨在 x、y 方向的合推力和绕 z 轴的合力矩 FTx,FTy, NT 以及分别沿 x 轴、y 轴和绕 z 轴的科式力 FIx,FIy, NI 的作用. 该浮空器外形上下对称且左右对称,浮 心位于其体心. 假设浮心与重心重合,且重力等于 浮力,则垂直方向不受重浮力及力矩作用. 浮空器的三自由度运动学关系如下: x · y · 鬃 é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú · ú = cos 鬃 - sin 鬃 0 sin 鬃 cos 鬃 0 é ë ê ê ê ù û ú ú ú 0 0 1 u v é ë ê ê ê ù û ú ú ú r (2) 式(2)表示惯性坐标系中的速度、角速度与机体坐 标系中的速度、角速度间的变换关系. 式中 x · ,y · ,鬃 · 分别为 x,y,鬃 的微分,x,y,鬃 分别为惯性坐标系中 浮空器的位置与偏航角. 本文只控制浮空器在水平面内 x,y 方向的位 移,假设偏航角始终为零,则浮空器在机体坐标系以 及惯性坐标系下的位移及速度相同,有如下关系: x · = u y · = { v (3) 结合浮空器运动学方程(3),将方程(1)中的前飞纵 向 u 及横侧向 v 通道分别表述为二阶类似积分链 系统: x · = u u · = aFTx + 孜 { x (4) y · = v v · = bFTy + 孜 { y (5) 式中,孜x = a(FAx + FIx),孜y = b(FAy + FIy)分别为两个 通道中的阻力项, a = 1 / ( m + m11 ), b = 1 / ( m + m22 ). 1郾 2 浮空器螺旋桨输出 该浮空器有 4 个矢量螺旋桨,每个螺旋桨有 2 个控制自由度,分别为推力大小和方向. 设螺旋桨 4 个推力大小分别为 Ft1 ,Ft2 ,Ft3 ,Ft4 ,转角分别为 滋t1 , 滋t2 ,滋t3 ,滋t4 ,螺旋桨垂直于 xoy 平面向上为初始位 置,桨叶顺时针旋转产生垂直螺旋桨面的力,桨叶转 动,产生的力方向为正,螺旋桨顺时针转动角度 滋t, 0 < 滋t < 2仔. 将螺旋桨推力沿机体 xoy 平面和 z 轴 分解: Fth = Ft sin 滋t,Ftv = Ft cos 滋t . (6) 螺旋桨推力对机体浮心产生推力及力矩为: FTx FTy N é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú T = R Ft1 sin 滋t1 Ft2 sin 滋t2 Ft3 sin 滋t3 Ft4 sin 滋 é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú t4 , R = 0 1 0 - 1 - 1 0 1 0 - rp - rp - rp - r é ë ê ê ê ù û ú ú ú p (7) 式中,rp 为螺旋桨安装轴心到机体浮心的距离,R 为 控制分配矩阵,使用其广义逆矩阵反求螺旋桨的推 力. 由分配矩阵可知,螺旋桨推力垂直分量对 xoy 平面位置控制没有作用,故只考虑其水平面内的推 力分量. 2 控制器设计 以浮空器的单通道模型式(4) 为例进行分析, 可将其看作一个控制输入受限的类积分链式系统, 嵌套饱和控制方法是处理此类系统的一种行之有效 的方法[22鄄鄄23] . 2郾 1 嵌套饱和控制律 在控制系统的设计过程中,饱和函数经常被用 来描述执行机构的饱和特性[24] . 为了完整地描述 执行机构的幅值和速率饱和以及避免被动抗饱和给 闭环系统带来的负面影响,引入了嵌套饱和函数对 幅值和速率进行描述. 给出了嵌套饱和控制方法的 具体形式及应用对象. 首先定义饱和函数如下. 定义 1 [20] :饱和函数 滓(r)表达式: 滓(r) = 琢滓 r |r|臆L滓 H(r) L滓臆|r|臆S滓 sign(r)滓 max |r|逸S ì î í ï ï ï ï 滓 (8) 式中,L滓 是饱和函数的线性域,琢滓 是线性域内的斜 率,一般情况下 琢滓 = 1,S滓 是非饱和域,H 是非饱和 域内非线性函数部分,滓 max是函数饱和值. 为了使 滓 函数连续可微,在函数饱和处使用连 续可微函数 H( r)连接. 由此产生的饱和函数既接 近于一般的 sat(·)函数,又能够计算其微分,便于进 行下一步速率约束的分析. 形如式(9)所示的 n 阶积分链系统: x · 1 = x2 左 x · n = ì î í ïï ïï u (9) ·1559·
·1560. 工程科学学报，第40卷，第12期 为了证明系统的稳定性并便于表述，对状态变 根据定义1及定义2，饱和函数参数之间满足如下 量x进行变量替换[8)： 关系： -= j(i-j) 。=L.a=2i=1,…n(14 i=1,…,n-1 由此可见，控制律(12)与(10)都能使系统(9) 则系统(9)存在n阶嵌套饱和控制律 全局镇定，控制律(12)在传统嵌套饱和控制律(10) u=-0.（yn+0n-(ya-1+…+(y1))(10) 的基础之上进行了参数的设计与修改，使(12)在满 当L,≤，i=l,,n,且<2L1a,= 足闭环系统稳定性的同时，幅值及微分能够被约束 控制律(12)的幅值约束值为参数u,速率约束值 1,i=1,…,n时，系统(9)全局镇定[].控制律 与参数的关系将在下文中给出.由定义2可知，饱 (10)能够满足控制输入的幅值约束，约束值为 和函数4，i=1,…,n由参数L,m确定；对于：， . i=1,…,n-1,由于a4,=1,故只由参数L唯一 2.1.1改进的嵌套饱和控制律及微分有界讨论 确定. Laporte在Teel的基础上对嵌套饱和控制律进 本文取控制律的一阶微分对速率约束进行描 行了改进，并对嵌套饱和函数多阶微分的幅值界限 述，根据速率约束值确定饱和函数的其他参数.下 进行了分析).为了进行控制器设计，需引入饱和 面分析控制律的一阶微分界限. 函数以. 定义320： 定义220]：在饱和函数σ(r)的基础上进行参数 给定一个集合ICR和一个常数a∈R,则有 变化得到u(s),对i∈【1，n】有， Isa:={xeI:x≥a; (11) 给定k∈N及m∈N1,如果函数f:Rm→R的 k阶微分存在且连续，则称其属于集合C(R”, 式中，，L%,a4,S的定义与σ函数的参数定义 R),用)表示其k阶微分，且，：=f 类似：为函数的幅值约束，L为函数的线性域， 则对于p∈N,j∈【1，p】,控制律(12)的p阶微 α为函数线性域内的斜率，S,为函数的非饱和域， 分有界可以表示为： 其示意图2. lu(t)1≤R (15) 引理1[20]：对于给定的keN,f属于集合C (R0,R),u是定义的饱和函数，E,F是区间R0 的子集，且ECF,假设： lf(t)I>S,Ht∈F\E (16) 其中，F\E:={x∈F\E:x∈F,x生E}:S为饱和函数 u的非饱和域，如图2中所示.则区间F\E对应f(t) 的值域属于饱和函数以的饱和域，在此区域内饱和 函数值恒定，因此其微分恒为零，从而： d )=0,Vt∈FE (17) 图24函数与σ函数对比图例 故： Fig.2 Contrast graphics between function o and u 对于嵌套控制律(10)，用饱和函数4替代σ： $Ua)≤立E.R(Q,0..eF u=-.（yn+八n-1（ya-1+…+u1(y1))(12) (18) 同样的，状态变量替换为： 其中，lf(t)1≤Q:,teE,i=1,…,k-a+1;B.o il (Q,…,Q-a+1)是由Q,…,Q-a+1组成的贝尔多项 式(Fa'a Di Bruno's formula0);4:=maxlμo(s)l, 为了保证闭环系统的稳定性，要满足下式[8]： a∈【1，k】.特别的，当k=1时， 山≤ 24,a4=1,ie【1,n-1】(13) Ua)≤m,0,eE (19)
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 为了证明系统的稳定性并便于表述,对状态变 量 x 进行变量替换[18] : yn - i = 移 i j = 0 æi è ç ö ø ÷ j (琢滓n ) j xn - j, æi è ç ö ø ÷ j = i! j! (i - j)! i = 1,…,n - 1 则系统(9)存在 n 阶嵌套饱和控制律 u = - 滓n (yn + 滓n - 1 (yn - 1 + … + 滓1 (y1 ))) (10) 当 L滓i臆滓 max i ,i = 1,…,n,且 滓 max i < 1 2 L滓i + 1 ,琢滓i = 1,i = 1,…, n 时,系统 (9 ) 全局镇定[18] . 控制律 (10) 能够满足控制输入的幅值约束, 约束值为 滓 max n . 2郾 1郾 1 改进的嵌套饱和控制律及微分有界讨论 Laporte 在 Teel 的基础上对嵌套饱和控制律进 行了改进,并对嵌套饱和函数多阶微分的幅值界限 进行了分析[20] . 为了进行控制器设计,需引入饱和 函数 滋. 定义 2 [20] :在饱和函数 滓(r)的基础上进行参数 变化得到 滋(s),对 i沂主1,n著有, 滋i(s): = 滋 max i 滓 max滓 (s L滓 L滋 ) i ,坌s沂迬 (11) 式中,滋 max i ,L滋i ,琢滋i ,S滋i的定义与 滓 函数的参数定义 类似:滋 max i 为函数的幅值约束,L滋i为函数的线性域, 琢滋i为函数线性域内的斜率,S滋i为函数的非饱和域, 其示意图 2. 图 2 滋 函数与 滓 函数对比图例 Fig. 2 Contrast graphics between function 滓 and 滋 对于嵌套控制律(10),用饱和函数 滋 替代 滓: u = - 滋n (yn + 滋n - 1 (yn - 1 + … + 滋1 (y1 ))) (12) 同样的,状态变量替换为: yn - i = 移 i j = 0 æi è ç ö ø ÷ j (琢滋n ) j xn - j, æi è ç ö ø ÷ j = i! j! (i - j)! . 为了保证闭环系统的稳定性,要满足下式[18] : 滋 max i 臆 1 2 L滋i + 1 ,琢滋i = 1,坌i沂主1,n - 1著 (13) 根据定义 1 及定义 2,饱和函数参数之间满足如下 关系: L滋i = 滋 max i L滓 琢滓 滓 max 琢滋i , S滋i L滋i = S滓 L滓 ,i = 1,…,n (14) 由此可见,控制律(12)与(10)都能使系统(9) 全局镇定,控制律(12)在传统嵌套饱和控制律(10) 的基础之上进行了参数的设计与修改,使(12)在满 足闭环系统稳定性的同时,幅值及微分能够被约束. 控制律(12)的幅值约束值为参数 滋 max n ,速率约束值 与参数的关系将在下文中给出. 由定义 2 可知,饱 和函数 滋i,i = 1,…,n 由参数 L滋i ,滋 max i 确定;对于 滋i, i = 1,…, n - 1,由于 琢滋i = 1,故只由参数 L滋i 唯一 确定. 本文取控制律的一阶微分对速率约束进行描 述,根据速率约束值确定饱和函数的其他参数. 下 面分析控制律的一阶微分界限. 定义 3 [20] : 给定一个集合 I奂迬 和一个常数 a沂迬 ,则有 I逸a : = {x沂I:x逸a}; 给定 k沂迡 及 m沂迡 逸1 ,如果函数 f:迬 m寅迬 的 k 阶微分存在且连续,则称其属于集合 C k ( 迬 m , 迬 ),用 f (k)表示其 k 阶微分,且 f (0) : = f. 则对于 p沂迡 ,j沂主1,p著,控制律(12)的 p 阶微 分有界可以表示为: sup t逸0 { | u (j) (t) | }臆Rj (15) 引理 1 [20] :对于给定的 k沂迡 ,f 属于集合 C k (迬 逸0 ,迬 ),滋 是定义的饱和函数,E,F 是区间迬 逸0 的子集,且 E哿F,假设: | f(t) | > S,坌t沂F \E (16) 其中,F \E: = {x沂F \E:x沂F,x埸E};S 为饱和函数 滋 的非饱和域,如图2 中所示. 则区间 F \E 对应f(t) 的值域属于饱和函数 滋 的饱和域,在此区域内饱和 函数 滋 值恒定,因此其微分恒为零,从而: d k dt k 滋(f(t)) = 0,坌t沂F \E (17) 故: d k dt k 滋(f(t)) 臆 移 k a =1 滋aBk,a (Q1 ,…,Qk - a +1 ),坌t沂F (18) 其中, | f (i) (t) | 臆Qi,坌t沂E,i = 1,…,k - a + 1;Bk,a (Q1 ,…,Qk - a + 1 )是由 Q1 ,…,Qk - a + 1组成的贝尔多项 式(Fa蒺a Di Bruno蒺s formula [20] );滋a : = max s沂迬 | 滋 (a) (s) |, a沂主1,k著. 特别的,当 k = 1 时, d dt 滋(f(t)) 臆滋1Q1 ,坌t沂E (19) ·1560·
孙丁山等：基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 ·1561· 上式表明执行机构速率约束界限，由定义可知： R+( Lb。- R1≤u1Q1 (20) mLr L 根据(19)可知，控制律(12)的一阶微分界限受最外 层饱和函数4，中线性部分斜率α的影响最大，因 此合理的选取饱和函数μ，能够实现将控制律(10) (28) 的幅值及其一阶微分限制在给定的值内.下面以二 因为饱和函数σ认为已知，故可认为参数σ，L, 阶系统(21)为例，给出控制律(22)的一阶微分界限 S。,1,b。,b。已知.所以需要设计饱和函数1，山2 R,的数值计算方法 的参数"，，L,L,其中代表了系统控制 x1=x2 输入的幅值约束，故不能作为可调参数，因此，控制 (21) 元2=u 输入的速率约束R,由其余参数确定 u=-2（y2+1(y1)) (22) 其中，y2=x2,为=x2+01 由(25)知B,有两种取值，以B,=3十24=为 定理1[20)：对于二阶饱和嵌套函数(22)，其一 例对R,进行化简： 阶微分的上限为： R=G1,21 (23) ((- 其中 Y:=4;Y:=(6,-B)(S,+24)+04; 2+兰)） Z1.1:=Y11;Z21:=Y21+41.1Z1;G1=Z21 A4L+A(u)户+B+ (24) CaLLa+CLLar 相关参数为： B3 ()D 8,74:-0L CLCL oLh 其中，参数A2,A,B2,B3,C2,C3,D2,D3均可视为常 4a:-可，：=☏o. 数，表达式如下所示： maL A2=L2Scm(2b。-()2), 相关概念的定义为： A3=2La()2(2bL+a) b:maxIr-u (r)I:Irs+2u; B2=L2S2b。(")2, b,:max (P0<i1<s} B3=可L2()2(2b.S。+aS。-2wm) =min (<r C2=S。(om)3,C3=2L。(σm)4 D2=2L2石1（σm)3()2, 25 D3=L.G1S。(σm)2(m)2 由以上讨论可知，当4，函数的参数确定之后， 通过上式可以计算控制律(22)的各项参数，以 得到满足幅值及速率约束的嵌套饱和控制律.将控 控制律的速率约束R,由L,确定.令=k.L,由 制律(22)用关于状态量以及σ函数的式子表示为： (13)式知0<k.<0.5,L,根据式(14)由及 确定 u=-a2c(k+a,σ(kT)) (26) 2.2嵌套饱和控制器设计 关于状态量的控制律参数计算公式如下： 2.2.1浮空器定点悬停控制器设计 a2=/m,a1=7 op 依据控制律(22)为浮空器模型(4)，(5)设计嵌 27) 套饱和控制器，将饱和函数1的参数用来调节改善 (+an) 闭环系统动态性能，包括k。和α，·依据前文的分 析，仿照积分链系统对纵向运动系统(4)进行全局 2.1.2二阶嵌套饱和控制律微分上界计算 镇定控制律设计，且条件(13)改为如下： 由(14)式及(23)~(25)式，可以得到如下表 达式： h≤斗，Vie【1,a-l】 (29)
孙丁山等: 基于嵌套饱和的输入约束浮空器非线性控制 上式表明执行机构速率约束界限,由定义可知: R1臆滋1Q1 (20) 根据(19)可知,控制律(12)的一阶微分界限受最外 层饱和函数 滋n 中线性部分斜率 琢滋n的影响最大,因 此合理的选取饱和函数 滋n ,能够实现将控制律(10) 的幅值及其一阶微分限制在给定的值内. 下面以二 阶系统(21)为例,给出控制律(22)的一阶微分界限 R1 的数值计算方法. x · 1 = x2 x · 2 = { u (21) u = - 滋2 (y2 + 滋1 (y1 )) (22) 其中,y2 = x2 ,y1 = x2 + 琢滋2 x1 . 定理 1 [20] :对于二阶饱和嵌套函数(22),其一 阶微分的上限为: R1 = G1,1滋2,1 (23) 其中 Y2,1 : = 滋 max 2 ;Y1,1 : = (b滋2 - B滋2 )(S滋2 +2滋 max 1 ) + 琢滋2 滋 max 1 ; Z1,1 : = Y1,1 ;Z2,1 : = Y2,1 + 滋1,1Z1,1 ;G1,1 = Z2, { 1 (24) 相关参数为: b滋2 = 琢滋2 b滓 琢滓 滋2,1 : = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋2 , 滋1,1 : = 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋1 滓1 : = max r沂迬 { | 滓 (1) (r) | }. 相关概念的定义为: b滋2 : = max { |r - 滋2 (r) | : |r|臆S滋2 + 2滋 max 1 }; b滓 : = max { 滓(r) r :0 < |r| < S滓 } b滓 : = min { 滓(r) r :0 < |r| < S滓 } ; B滋2 : = min { b滋2 , 滋 max 2 S滋2 + 2滋 max } 1 (25) 通过上式可以计算控制律(22)的各项参数,以 得到满足幅值及速率约束的嵌套饱和控制律. 将控 制律(22)用关于状态量以及 滓 函数的式子表示为: u = - a2滓(k T 2 x寛 + a1滓(k T 1 x寛)) (26) 关于状态量的控制律参数计算公式如下: a2 = 滋 max 2 / 滓 max ,a1 = L滓2 滋 max 1 L滋2 滓 max , k T 2 x寛 = L滓 L滋2 x2 ,k T 1 x寛 = L滓 L滋1 (x2 + 琢滋2 x1 ) ì î í ï ï ï ï . (27) 2郾 1郾 2 二阶嵌套饱和控制律微分上界计算 由(14)式及(23) ~ (25) 式,可以得到如下表 达式: R1 = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋 ( 2 滋 max 2 + 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋 ( ( 1 滋 max 2 L滓 b滓 滓 max L滋2 - min { b滋2 , 滋 max 2 S滋2 +2滋 max } ) 1 (S滋2 +2滋 max 1 ) + 滋 max 1 滋 max 2 L滓琢滓 滓 max L滋 ) ) 2 (28) 因为饱和函数 滓 认为已知,故可认为参数 滓 max ,L滓 , S滓 ,滓1 ,b滓 ,b滓 已知. 所以需要设计饱和函数 滋1 ,滋2 的参数 滋 max 1 ,滋 max 2 ,L滋1 ,L滋2 ,其中 滋 max 2 代表了系统控制 输入的幅值约束,故不能作为可调参数,因此,控制 输入的速率约束 R1 由其余参数确定. 由(25)知 B滋2有两种取值,以 B滋2 = 滋 max 2 S滋2 + 2滋 max 1 为 例对 R1 进行化简: R1 = 滋 max 2 滓1 L滓 滓 max L滋 ( 2 滋 max 2 + 滋 max 1 滓1 L滓 滓 max L滋 ( ( 1 滋 max 2 L滓 b滓 滓 max L滋2 - 1 L滋2 · 滋 max 2 S滓 / L滓 +2滓 max / L滋 ) 2 (S滋2 +2滋 max 1 ) + 滋 max 1 滋 max 2 L滓琢滓 滓 max L滋 ) ) 2 = A2滋 max 1 L滋2 + A3 (滋 max 1 ) 2 + B2滋 max 1 L 2 滋2 C2 L 3 滋2 L滋1 + C3 L 2 滋2 L滋1 + B3 (滋 max 1 ) 2 L滋2 + D2 L滋1 L滋2 + D3 L滋1 L 2 滋2 C2 L 3 滋2 L滋1 + C3 L 2 滋2 L滋1 其中,参数 A2 ,A3 ,B2 ,B3 ,C2 ,C3 ,D2 ,D3 均可视为常 数,表达式如下所示: A2 = 滓 2 1 L 2 滓 S滓 滓 max (2 b滓 - (滋 max 2 ) 2 ), A3 = 2 滓 2 1 L 3 滓 滓 max (滋 max 2 ) 2 (2 b滓 L滓 + 琢滓 ) B2 = 滓 2 1 L 2 滓 S 2 滓 b滓 (滋 max 2 ) 2 , B3 = 滓 2 1 L 3 滓 (滋 max 2 ) 2 (2 b滓 S滓 + 琢滓 S滓 - 2滓 max ) C2 = S滓 (滓 max ) 3 ,C3 = 2L滓 (滓 max ) 4 D2 = 2L 2 滓 滓1 (滓 max ) 3 (滋 max 2 ) 2 , D3 = L滓 滓1 S滓 (滓 max ) 2 (滋 max 2 ) ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 2 由以上讨论可知,当 滋1 函数的参数确定之后, 控制律的速率约束 R1 由 L滋2确定. 令 滋 max 1 = kaL滋2 ,由 (13)式知 0 < ka < 0郾 5,L滋1根据式(14)由 滋 max 1 及 琢滋1 确定. 2郾 2 嵌套饱和控制器设计 2郾 2郾 1 浮空器定点悬停控制器设计 依据控制律(22)为浮空器模型(4),(5)设计嵌 套饱和控制器,将饱和函数 滋1 的参数用来调节改善 闭环系统动态性能,包括 ka 和 琢滋1 . 依据前文的分 析,仿照积分链系统对纵向运动系统(4) 进行全局 镇定控制律设计,且条件(13)改为如下: 滋 max i 臆 1 2 L滋i + 1 ,坌i沂主1,n - 1著 (29) ·1561·