《工程科学学报》：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计.pdf

工程科学学报.第43卷.第7期：976-984.2021年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.7:976-984,July 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.07.30.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计章军辉23,4，李庆2，，陈大鹏2,3，赵野) 1)中国科学院微电子研究所，北京1000292)江苏物联网研究发展中心，无锡2141353)无锡物联网创新中心有限公司.无锡214135 4)昆山微电子技术研究院，昆山215347 ☒通信作者.E-mail:zhangjunhui@ime.ac.cn 摘要针对标准无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman filter,.UKF)算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种平方根无迹卡尔曼滤波(Square--root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法，并设计了一种电池状态联合估计策略.首先快速SR-UKF算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了每次无迹变换时的计算开销：然后在迭代过程中，用状态误差协方差矩阵的平方根代替状态误差协方差矩阵，该平方根是由QR分解与Cholesky因子的一阶更新得到，解决了 UKF算法迭代过程中可能由计算累积误差引起状态误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题.保证了电池荷电状态 (State of charge,SOC)在线滚动估计的数值稳定性；最后采用联合估计策略，对电池等效模型参数进行实时辨识，保证了电池等效模型的准确性与有效性，从而提高了电池SOC的估计精度.仿真对比结果验证了快速S-UKF算法以及电池状态联合估计策略的可行性与鲁棒性关键词荷电状态：健康状态：平方根无迹卡尔曼滤波：联合估计：锂离子动力电池分类号TM912.9 Real-time SOC co-estimation algorithm for Li-ion batteries based on fast square-root unscented Kalman filters ZHANG Jun-hui2,LI Qing2,CHEN Da-peng234),ZHAO Ye 1)Institute of Microelectronics of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100029,China 2)Jiangsu R&D Center for Internet of Things,Wuxi 214135,China 3)Wuxi Internet of Things Innovation Center Co.,Ltd.,Wuxi 214135,China 4)Institute of Microelectronic Technology of Kunshan,Kunshan 215347,China Corresponding author,E-mail:zhangjunhui@ime.ac.cn ABSTRACT The Li-ion battery is an important energy source for electric vehicles(EVs),and the accurate estimation of the battery power state provides a reliable reference for balancing the battery packing and battery management system (BMS).It also has great practical significance for making full and reasonable utilization of batteries,and improving the battery life cycle and vehicle operation efficiency.Practical issues that must be addressed include the filtering divergence caused by the non-positive definite error covariance matrix in the standard unscented Kalman filter (UKF)and the state estimation errors that accumulate from the simplified mathematical modeling of the Li-ion battery,with its inherently strong non-linearity,time variation,and uncertainty.To resolve these issues,in this article,a real-time state co-estimation algorithm was proposed based on a fast square-root unscented Kalman filter (SR-UKF) framework.First,during the iteration process,the non-linear measurement function,which describes the propagation of each sigma 收稿日期：2020-07-30 基金项目：江苏省博士后科研计划资助项目(2020Z411):国家重点研发计划“新能源汽车专项”资助项目(2016YFB0100516)

基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计章军辉1,2,3,4) 苣，李庆1,2,4)，陈大鹏1,2,3,4)，赵野1) 1) 中国科学院微电子研究所，北京 100029 2) 江苏物联网研究发展中心，无锡 214135 3) 无锡物联网创新中心有限公司，无锡 214135 4) 昆山微电子技术研究院，昆山 215347 苣通信作者，E-mail：zhangjunhui@ime.ac.cn 摘要针对标准无迹卡尔曼滤波 (Unscented Kalman filter, UKF) 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky 分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种平方根无迹卡尔曼滤波 (Square-root unscented Kalman filter, SR-UKF) 算法，并设计了一种电池状态联合估计策略. 首先快速 SR-UKF 算法通过对观测方程进行准线性化处理，降低了每次无迹变换时的计算开销；然后在迭代过程中，用状态误差协方差矩阵的平方根代替状态误差协方差矩阵，该平方根是由 QR 分解与 Cholesky 因子的一阶更新得到，解决了 UKF 算法迭代过程中可能由计算累积误差引起状态误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的问题，保证了电池荷电状态 (State of charge，SOC) 在线滚动估计的数值稳定性；最后采用联合估计策略，对电池等效模型参数进行实时辨识，保证了电池等效模型的准确性与有效性，从而提高了电池 SOC 的估计精度. 仿真对比结果验证了快速 SR-UKF 算法以及电池状态联合估计策略的可行性与鲁棒性. 关键词荷电状态；健康状态；平方根无迹卡尔曼滤波；联合估计；锂离子动力电池分类号 TM912.9 Real-time SOC co-estimation algorithm for Li-ion batteries based on fast square-root unscented Kalman filters ZHANG Jun-hui1,2,3,4) 苣，LI Qing1,2,4) ，CHEN Da-peng1,2,3,4) ，ZHAO Ye1) 1) Institute of Microelectronics of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China 2) Jiangsu R&D Center for Internet of Things, Wuxi 214135, China 3) Wuxi Internet of Things Innovation Center Co., Ltd., Wuxi 214135, China 4) Institute of Microelectronic Technology of Kunshan, Kunshan 215347, China 苣 Corresponding author, E-mail: zhangjunhui@ime.ac.cn ABSTRACT The Li-ion battery is an important energy source for electric vehicles (EVs), and the accurate estimation of the battery power state provides a reliable reference for balancing the battery packing and battery management system (BMS). It also has great practical significance for making full and reasonable utilization of batteries, and improving the battery life cycle and vehicle operation efficiency. Practical issues that must be addressed include the filtering divergence caused by the non-positive definite error covariance matrix in the standard unscented Kalman filter (UKF) and the state estimation errors that accumulate from the simplified mathematical modeling of the Li-ion battery, with its inherently strong non-linearity, time variation, and uncertainty. To resolve these issues, in this article, a real-time state co-estimation algorithm was proposed based on a fast square-root unscented Kalman filter (SR-UKF) framework. First, during the iteration process, the non-linear measurement function, which describes the propagation of each sigma 收稿日期: 2020−07−30 基金项目: 江苏省博士后科研计划资助项目（2020Z411）；国家重点研发计划“新能源汽车专项”资助项目（2016YFB0100516）工程科学学报，第 43 卷，第 7 期：976−984，2021 年 7 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 7: 976−984, July 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.07.30.002; http://cje.ustb.edu.cn

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 977· point,is called by an unscented transform.A reduction in computational complexity can be achieved if the non-linear measurement function is quasi-linearized.Second,instead of a state error covariance matrix,the square root of the state error covariance matrix is used,which is obtained by QR decomposition and first-order updating of the Cholesky factor.This step deals with the problem that arises if the state error covariance matrix is negative definite due to the computational errors accumulated while performing recursive estimation with the standard UKF.This guarantees the numerical stability of the battery's estimated state of charge (SOC)in real time. Third,the inner ohmic resistance and nominal capacity that indirectly characterize the state of health can be estimated online,and a highly precise SOC estimation can be realized due to the accuracy and efficiency of the battery model.Comparative experimental results confirm and validate the feasibility and robustness of the proposed fast SR-UKF algorithm and co-estimation strategy. KEY WORDS state of charge;state of health;square-root unscented Kalman filter;co-estimation strategy;Li-ion battery 锂离子动力电池是新能源电动汽车的重要供来逼近非线性系统的后验概率密度分布，相对能来源，而电池生产工艺上的波动、材质本身的不 EKF来说，其估计精度有明显改善，不过UKF无均匀性，使得单体电池的容量、内阻、自放电特性法保证滤波过程中状态误差协方差矩阵的非负定等皆有一定的差异，并且随着充放电循环次数的性，存在滤波发散的隐患，同时其估计精度也一定增加以及车内特殊工作环境的影响，电池容量也程度上受限于电池等效模型的准确性.(5)粒子滤会出现不同程度的衰减，进一步加剧了单体之间波(Particle filter,.PF)法，通过大量随机粒子来逼的差异性，准确的电池状态估计为电池成组、电近非线性系统的后验概率密度分布，对于强非线池管理系统(Battery management system,BMS)均衡性、非高斯系统具有潜在应用价值，不过P℉存在等用途提供可靠参考依据，从而对单体电池的充粒子退化、重采样导致的样本贫化、计算负荷严分合理利用、电池组使用寿命的延长以及整车运重等问题.(6)神经网络法⑧，通过神经网络学习的行效率的改善具有重要实际意义-) 方法建立未知系统的非线性映射关系，无需准确电池状态估计本身属于非线性估计问题，而的数学建模、非线性近似工作，可适用于各类电池针对非线性问题求解，常用手段包括非线性函数的状态估计，不过其估计精度对数据集的依赖性局部线性化-、概率密度分布逼近法-6、神经网较强络法-副等.其中，非线性函数局部线性化的主要目前，电池健康状态(State of health,SOH估方法有Taylor展开法)、插值多项式法，概率密计方法主要概括为2大类：(1)基于特征的预测，度分布逼近的主要方法有确定性样本逼近法)、通过建立容量、内阻等特征参数与电池寿命之间大量粒子逼近法阿的对应关系，间接地对电池的老化程度进行预测目前，电池荷电状态(State of charge,SOC)估如内阻法，然而对于毫欧级的内阻来说，其量测计方法主要有：（I)安时积分计量(Ampere-hour 难度较大；电化学阻抗谱(Electrochemical impedance counting,AH)法9，应用较广，不过算法本身缺少 spectroscopy,EIS)法I6,需专用仪器，常用于实验室对内外在扰动因素进行补偿的措施，存在由分析.(2)基于数据驱动的预测，不需要对象系统 $OC初值标定偏差而导致曲线始终不能收敛、计的机理知识，利用测试数据挖掘出描述电池性能算累积误差等问题；(2)开路电压(Open circuit 演变的潜在规律，进而对电池使用寿命进行预测 voltage,.OCV)法o-,通过“浅放-静置”的方法拟如支持向量机(Support vector machine,SVMI刃、粒合出OCV与SOC一一映射曲线，实现对SOC初子滤波、神经网络图等，该类方法通常由于实验值进行离线校正，其因需较长的静置时间而无法数据的有限性、不确定性，而致使其在工程应用上用于在线工况，一般是与其他方法结合使用：(3)扩存在着一定的局限性展卡尔曼滤波(Extended Kalman filter,.EKF)法]，针对标准UKF算法本身存在着因状态误差协仅利用Taylor展开式中的一阶偏导项对非线性函方差矩阵无法实现Cholesky分解而导致滤波发散数进行线性化处理，再基于标准卡尔曼(Kalman 的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定 filter,.KF)框架完成状态估计，存在较低的截断精的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，度、Jacobian矩阵计算繁杂、滤波性能不稳定等问本文发展了一种基于快速SR-UKF的电池状态联题；（4)无迹卡尔曼滤波(Unscented Kalman filter, 合估计算法，首先构建二阶电池等效模型的状态 UKF)法吲，通过构造满足一定规则的确定性样本空间方程，其次在循环迭代过程中对观测方程进

point, is called by an unscented transform. A reduction in computational complexity can be achieved if the non-linear measurement function is quasi-linearized. Second, instead of a state error covariance matrix, the square root of the state error covariance matrix is used, which is obtained by QR decomposition and first-order updating of the Cholesky factor. This step deals with the problem that arises if the state error covariance matrix is negative definite due to the computational errors accumulated while performing recursive estimation with the standard UKF. This guarantees the numerical stability of the battery’s estimated state of charge (SOC) in real time. Third, the inner ohmic resistance and nominal capacity that indirectly characterize the state of health can be estimated online, and a highly precise SOC estimation can be realized due to the accuracy and efficiency of the battery model. Comparative experimental results confirm and validate the feasibility and robustness of the proposed fast SR-UKF algorithm and co-estimation strategy. KEY WORDS state of charge；state of health；square-root unscented Kalman filter；co-estimation strategy；Li-ion battery 锂离子动力电池是新能源电动汽车的重要供能来源，而电池生产工艺上的波动、材质本身的不均匀性，使得单体电池的容量、内阻、自放电特性等皆有一定的差异，并且随着充放电循环次数的增加以及车内特殊工作环境的影响，电池容量也会出现不同程度的衰减，进一步加剧了单体之间的差异性. 准确的电池状态估计为电池成组、电池管理系统 (Battery management system, BMS) 均衡等用途提供可靠参考依据，从而对单体电池的充分合理利用、电池组使用寿命的延长以及整车运行效率的改善具有重要实际意义[1−2] . 电池状态估计本身属于非线性估计问题，而针对非线性问题求解，常用手段包括非线性函数局部线性化[3−4]、概率密度分布逼近法[5−6]、神经网络法[7−8] 等. 其中，非线性函数局部线性化的主要方法有 Taylor 展开法[3]、插值多项式法[4] ；概率密度分布逼近的主要方法有确定性样本逼近法[5]、大量粒子逼近法[6] . 目前，电池荷电状态 (State of charge，SOC) 估计方法主要有：（ 1）安时积分计量 (Ampere-hour counting, AH) 法[9] ，应用较广，不过算法本身缺少对内外在扰动因素进行补偿的措施，存在由 SOC 初值标定偏差而导致曲线始终不能收敛、计算累积误差等问题；（ 2）开路电压 (Open circuit voltage, OCV) 法[10−11] ，通过“浅放–静置”的方法拟合出 OCV 与 SOC 一一映射曲线，实现对 SOC 初值进行离线校正，其因需较长的静置时间而无法用于在线工况，一般是与其他方法结合使用；（3）扩展卡尔曼滤波 (Extended Kalman filter, EKF) 法[12] ，仅利用 Taylor 展开式中的一阶偏导项对非线性函数进行线性化处理，再基于标准卡尔曼 (Kalman filter, KF) 框架完成状态估计，存在较低的截断精度、Jacobian 矩阵计算繁杂、滤波性能不稳定等问题；（ 4）无迹卡尔曼滤波 (Unscented Kalman filter, UKF) 法[13] ，通过构造满足一定规则的确定性样本来逼近非线性系统的后验概率密度分布，相对 EKF 来说，其估计精度有明显改善，不过 UKF 无法保证滤波过程中状态误差协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患，同时其估计精度也一定程度上受限于电池等效模型的准确性. （5）粒子滤波 (Particle filter, PF) 法[14] ，通过大量随机粒子来逼近非线性系统的后验概率密度分布，对于强非线性、非高斯系统具有潜在应用价值，不过 PF 存在粒子退化、重采样导致的样本贫化、计算负荷严重等问题. （6）神经网络法[8] ，通过神经网络学习的方法建立未知系统的非线性映射关系，无需准确的数学建模、非线性近似工作，可适用于各类电池的状态估计，不过其估计精度对数据集的依赖性较强. 目前，电池健康状态 (State of health，SOH) 估计方法主要概括为 2 大类：（1）基于特征的预测，通过建立容量、内阻等特征参数与电池寿命之间的对应关系，间接地对电池的老化程度进行预测. 如内阻法[15] ，然而对于毫欧级的内阻来说，其量测难度较大；电化学阻抗谱 (Electrochemical impedance spectroscopy, EIS) 法[16] ，需专用仪器，常用于实验室分析. （2）基于数据驱动的预测，不需要对象系统的机理知识，利用测试数据挖掘出描述电池性能演变的潜在规律，进而对电池使用寿命进行预测. 如支持向量机 (Support vector machine, SVM)[17]、粒子滤波[14]、神经网络[8] 等，该类方法通常由于实验数据的有限性、不确定性，而致使其在工程应用上存在着一定的局限性. 针对标准 UKF 算法本身存在着因状态误差协方差矩阵无法实现 Cholesky 分解而导致滤波发散的隐患，以及在电池状态估计过程中由离线标定的电池等效模型参数而造成的累积误差的问题，本文发展了一种基于快速 SR-UKF 的电池状态联合估计算法，首先构建二阶电池等效模型的状态空间方程，其次在循环迭代过程中对观测方程进章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 977 ·

978 工程科学学报，第43卷，第7期行了准线性化处理，同时用状态误差协方差矩阵为状态向量的一步预测的离散状态空间方程：的平方根进行迭代运算，以防协方差矩阵负定而 x1(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+w(k) (5) 致滤波发散，接着设计了一种电池状态联合估计 y1(k)=Cx1(k)+Du(k)+v(k) 策略，对电池模型参数进行实时辨识，以确保电池式中，w()=[w1(,w2(,w3()T为过程噪声，为等效模型的准确性与有效性，最后对本文设计的观测噪声，(=I(),各系数矩阵满足快速SR-UKF算法以及联合估计策略进行了验证「1 0 0 与探讨. A= 0 e-Ts/ts 0 10 0 e-Ts/n 1数学建模 -nTs Co 锂离子动力电池的二阶RC等效模型，能够较 B= Rs(1-e-T,/rs) 好地模拟电池的静动态特性，结构复杂度相对适 I R(1-e-Ts/n) 中，便于电池特性分析，本文将采用二阶RC等效 1 模型建立电池状态空间方程. C=5西sW.-l- 二阶RC等效电路如图1所示，其中，E为电 D=-Re 池的电动势，其测量方法可通过长时间静置使得其中，T为采样周期，E:=fS()表示电池的平衡电池内部处于平衡状态，此时量测出电池的端电电动势E,与电池SOC之间的函数关系，该映射关压在数值上等于电池的平衡电动势，，为t时刻电系与环境温度、锂电池老化程度等因素有关.在池的放电电流，Re为电池的欧姆内阻，R、R为电池电池SOC状态空间模型中，欧姆内阻R、极化内的极化内阻，Cs、C为电池的极化电容，Ucs、U 阻R与R是事先已辨识的模型参数为电池极化内阻上产生的压降，U。,为t时刻电池 1.2电池S0H状态空间模型两端的观测电压锂电池的健康状态可通过电池的欧姆内阻 R来间接评估⑧根据图1所示的电池模型，把电池的荷电状态、极化电压当作已知值，作如下定义 Res+1 =Re!+r (6) E,=Re山，+Ues1+U+Uor+qr (7) 式中，，为过程噪声，9，为观测噪声图1锂离子动力电池的二阶RC等效模型令x2(k)=R(k),建立以x2(k)为状态变量的一步 Fig.1 order RC model of Li-ion battery 预测的离散状态空间方程： 1.1电池S0C状态空间模型 2(k+1k)=x2(k)+r）) (8) 根据图1所示的电池模型，作如下定义 y2()=Ex2()+F+qk) h=RVay+ar (1) 式中，各系数满足 Rs E=-1(k) 1 h=是Ueu+0au (2) F=fis(k))-Ucs(k)-Uc(k) R R E:Rel:+Ues.!+Uelr Uo. (3) 2参数辨识式中，s、T为时间常数，0表示U的微分本文实验对象是合肥国轩公司的一个电池电池荷电状态的安时积分计量法向定义为组，内含12串单体，每个单体标称容量为30Ah (4) 在25℃环境温度下，对该电池包进行“浅放-静置”的恒流脉冲放电试验：放电倍率为0.6C,放电式中，So为电池o时刻的荷电状态，即SOC初始电流恒为18A,单次放电时长为1min并静置30min, 值，Q0为电池的额定容量，为充放电效率重复该操作直至放完.一个脉冲放电周期内的单以x1()=[S(Ucs(k),U(kT作为状态向量，体端电压变化过程如图2所示，其中'、2、3表 y1()=Uo(k)作为系统输出，(K)作为控制输入，w()、示量测的端电压 vk)作为系统扰动，根据式(1)~(4)，建立以x1(k) 利用RC网络能够较好地描述电池的放电过

行了准线性化处理，同时用状态误差协方差矩阵的平方根进行迭代运算，以防协方差矩阵负定而致滤波发散，接着设计了一种电池状态联合估计策略，对电池模型参数进行实时辨识，以确保电池等效模型的准确性与有效性，最后对本文设计的快速 SR-UKF 算法以及联合估计策略进行了验证与探讨. 1 数学建模锂离子动力电池的二阶 RC 等效模型，能够较好地模拟电池的静动态特性，结构复杂度相对适中，便于电池特性分析，本文将采用二阶 RC 等效模型建立电池状态空间方程. Et It Re Rs Rl Cs Cl Ucs,t Ucl,t Uo,t 二阶 RC 等效电路如图 1 所示，其中，为电池的电动势，其测量方法可通过长时间静置使得电池内部处于平衡状态，此时量测出电池的端电压在数值上等于电池的平衡电动势，为 t 时刻电池的放电电流，为电池的欧姆内阻，、为电池的极化内阻，、为电池的极化电容，、为电池极化内阻上产生的压降，为 t 时刻电池两端的观测电压. Et Re Rs Cs It Rl Cl Uo, t Ucs, t Ucl, t + − + − + − 图 1 锂离子动力电池的二阶 RC 等效模型 Fig.1 2nd-order RC model of Li-ion battery 1.1 电池 SOC 状态空间模型根据图 1 所示的电池模型，作如下定义 It = 1 Rs Ucs,t + τs Rs U˙ cs,t （1） It = 1 Rl Ucl,t + τl Rl U˙ cl,t （2） Et = ReIt +Ucs,t +Ucl,t +Uo,t （3） τs τl 式中，、为时间常数， U˙ 表示 U 的微分. 电池荷电状态的安时积分计量法[6] 定义为 S t = S t0 − 1 Q0 w t t0 ηItdt （4） S t0 t0 Q0 η 式中，为电池时刻的荷电状态，即 SOC 初始值，为电池的额定容量，为充放电效率. x1(k) = [S (k), Ucs(k), Ucl(k)]T y1(k) = Uo(k) u(k) w(k) v(k) x1(k) 以作为状态向量，作为系统输出，作为控制输入，、作为系统扰动，根据式（1）～（4），建立以为状态向量的一步预测的离散状态空间方程： { x1(k+1|k) = Ax1(k)+ Bu(k)+w(k) y1(k) = Cx1(k)+ Du(k)+v(k) （5） w(k) = [w1(k), w2(k), w3(k)]T v(k) u(k) = I(k) 式中，为过程噪声，为观测噪声，，各系数矩阵满足 A =   1 0 0 0 e−Ts/τs 0 0 0 e−Ts/τl   B =   −ηTs Q0 Rs(1−e −Ts/τs ) Rl(1−e −Ts/τl)   C = [ 1 S (k) f{S (k)}, −1, −1 ] D = −Re Ts Et = f{S (k)} Et Re Rl Rs 其中，为采样周期，表示电池的平衡电动势与电池 SOC 之间的函数关系，该映射关系与环境温度、锂电池老化程度等因素有关. 在电池 SOC 状态空间模型中，欧姆内阻、极化内阻与是事先已辨识的模型参数. 1.2 电池 SOH 状态空间模型 Re 锂电池的健康状态可通过电池的欧姆内阻来间接评估[18] . 根据图 1 所示的电池模型，把电池的荷电状态、极化电压当作已知值，作如下定义 Re,t+1 = Re,t +rt （6） Et = Re,tIt +Ucs,t +Ucl,t +Uo,t +qt （7）式中，rt为过程噪声， qt为观测噪声. 令x2(k) = Re(k) ，建立以x2(k) 为状态变量的一步预测的离散状态空间方程： { x2(k+1|k) = x2(k)+r(k) y2(k) = Ex2(k)+ F +q(k) （8）式中，各系数满足 E = −I(k) F = f{S (k)} −Ucs(k)−Ucl(k) 2 参数辨识本文实验对象是合肥国轩公司的一个电池组，内含 12 串单体，每个单体标称容量为 30 A·h. 在 25 ℃ 环境温度下，对该电池包进行“浅放−静置”的恒流脉冲放电试验：放电倍率为 0.6 C，放电电流恒为 18 A，单次放电时长为 1 min 并静置 30 min，重复该操作直至放完. 一个脉冲放电周期内的单体端电压变化过程如图 2 所示，其中 V1、V2、V3 表示量测的端电压. 利用 RC 网络能够较好地描述电池的放电过 · 978 · 工程科学学报，第 43 卷，第 7 期

章军辉等：基于快速SR-UKF的锂离子动力电池SOC联合估计 979. 3.30 通过图3映射关系可以为电池组提供一个相对准确的SOC初值，同时也可以对长时间静置后 V, Stand still 的电池进行SOC初值校正.标定完$OC初值后， 3.25 再通过安时积分计量法例来在线估算电池SOC 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计 Discharge 方法，当SOC初值标定不准的情况下，估计曲线始 3.20 start Discharge stop 终是无法收敛于真实轨迹对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改 3.15 0 5 10 152025 30 3540 Sampling points 善开环估算的效果.此外，考虑到电池老化、环境温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出图2一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2 Dynamic curve of U in a pulse-periodic discharge 多份OCV-SOC曲线程中的动态特性： 3电池状态估计 (1)在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的 3.1电池S0C估计算法压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容 UKF滤波的核心是UT变换，即通过确定性采进行充电，端电压呈准指数函数下降；样构造Sigma点集来近似系统非线性函数的概率 (2)在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降密度分布进而求解非线性滤波问题.不过，传统UKF 消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 中，2-V1表示端电压相对快速的变化过程，V3 为此，本文给出一种快速SR-UKF估计方法： ?表示端电压相对缓慢的变化过程在UKF滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的 2.1模型参数平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而通过图2所示的“浅放-静置”的恒流脉冲放致滤波结果发散的缺陷：为了降低UKF的计电试验，对二阶RC网络模型参数进行辨识，模型算开销，在UT变换时对观测方程进行准线性化处参数初值见表1 理，建立开路电压与电池$OC的映射表，通过查表表1基于二阶RC网络的模型参数方法来减少对观测方程的数值计算 Table 1 Parameters of 2-order RC model 3.1.1定义 R/mo R/m R/m O(A-h) C/F C/F 定义1.QR分解 5.9 2.0 38 29.3 36000 68400 若存在正定矩阵Qmxm与上三角矩阵Rmx,使 2.2 OCV-S0C曲线得Ama=2mxm Rmxn,则称之为A的QR分解，且记在上述实验条件下，采用开路电压法©拟合 R=qr(A). 出静置稳定后的开路电压与电池$OC之间的映射定义2.Cholesky因子关系曲线，如图3所示由定义1知，AT的QR分解，即AT=OR,若矩阵P=AAT,有P=RTOTOR=RTR则称为P的 3.4 Cholesky因子，记为R=chol{P 3.3 定义3.Cholesky因子的一阶更新 3.2 由定义2知，若已知p的Cholesky因子为R,则称P±vuuT的Cholesky因子为的一阶更新，记 3.0 为R=cholupdate{R,u,±v 2.9 3.1.2SR-UKF算法 2.8 算法设计如下： 0102030405060708090100 SOC/% (1)UT变换图3开路电压与SOC的关系曲线 a)构造2W+1维Sigma点集 Fig.3 Relationship between open circuit voltage and SOC 利用随机向量的均值与协方差平方根来构造

程中的动态特性：（1）在放电开始时刻，由于欧姆内阻上产生的压降，导致端电压瞬间抖降，随后由于给等效电容进行充电，端电压呈准指数函数下降；（2）在放电结束时刻，由于欧姆内阻上的压降消失，导致端电压瞬间抖升，随后由于等效电容放电使得端电压进一步缓慢上升，最终趋于稳定，其中， V2 -V1 表示端电压相对快速的变化过程， V3 - V2 表示端电压相对缓慢的变化过程. 2.1 模型参数通过图 2 所示的“浅放−静置”的恒流脉冲放电试验，对二阶 RC 网络模型参数进行辨识，模型参数初值见表 1. 表 1 基于二阶 RC 网络的模型参数 Table 1 Parameters of 2nd-order RC model Re /mΩ Rs /mΩ Rl /mΩ Q0 /(A·h) Cs /F Cl /F 5.9 2.0 3.8 29.3 36000 68400 2.2 OCV–SOC 曲线在上述实验条件下，采用开路电压法[10] 拟合出静置稳定后的开路电压与电池 SOC 之间的映射关系曲线，如图 3 所示. SOC/% 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 OCV/V 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 图 3 开路电压与 SOC 的关系曲线 Fig.3 Relationship between open circuit voltage and SOC 通过图 3 映射关系可以为电池组提供一个相对准确的 SOC 初值，同时也可以对长时间静置后的电池进行 SOC 初值校正. 标定完 SOC 初值后，再通过安时积分计量法[9] 来在线估算电池 SOC. 而实际上由于安时积分计量法属于一种开环估计方法，当 SOC 初值标定不准的情况下，估计曲线始终是无法收敛于真实轨迹. 对于这一问题，接下来通过无迹卡尔曼滤波对安时积分计量法的估计值进行实时修正，以改善开环估算的效果. 此外，考虑到电池老化、环境温度等扰动因素的影响，在工程实施时，宜拟合出多份 OCV–SOC 曲线. 3 电池状态估计 3.1 电池 SOC 估计算法 UKF 滤波的核心是 UT 变换，即通过确定性采样构造 Sigma 点集来近似系统非线性函数的概率密度分布进而求解非线性滤波问题. 不过，传统 UKF 算法在更新状态协方差时存在减法运算，不能保证协方差矩阵的非负定性，存在滤波发散的隐患. 为此，本文给出一种快速 SR-UKF 估计方法：在 UKF 滤波过程中，使用状态误差协方差矩阵的平方根进行迭代运算，以避免协方差矩阵负定而致滤波结果发散的缺陷[19−21] ；为了降低 UKF 的计算开销，在 UT 变换时对观测方程进行准线性化处理，建立开路电压与电池 SOC 的映射表，通过查表方法来减少对观测方程的数值计算. 3.1.1 定义定义 1. QR 分解 Qm×m Rm×n Am×n = Qm×mRm×n R = qr{A} 若存在正定矩阵与上三角矩阵，使得，则称之为 A 的 QR 分解，且记 . 定义 2. Cholesky 因子 A T A T = Q˜R˜ P = AAT P = R˜ TQ˜ TQ˜R˜ = R˜ TR˜ R˜ P R˜ = chol{P} 由定义 1 知，的 QR 分解，即，若矩阵，有，则称为的 Cholesky 因子，记为 . 定义 3. Cholesky 因子的一阶更新 P R˜ P± √ vuuT R˜ R˜ = cholupdate { R˜,u,±v } 由定义 2 知，若已知的 Cholesky 因子为，则称的 Cholesky 因子为的一阶更新，记为 . 3.1.2 SR-UKF 算法算法设计如下：（1）UT 变换. a）构造 2N+1 维 Sigma 点集利用随机向量的均值与协方差平方根来构造 Sampling points 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Uo/V 3.15 3.20 3.25 3.30 V1 V2 V3 Discharge start Discharge stop Stand still 图 2 一个脉冲放电周期内单体端电压响应曲线 Fig.2 Dynamic curve of Uo in a pulse-periodic discharge 章军辉等：基于快速 SR-UKF 的锂离子动力电池 SOC 联合估计 · 979 ·