《工程科学学报》：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于虚拟材料复棋量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 刘晓峰孙伟孙悦 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng,SUN Wei,SUN Yue 引用本文： 刘晓峰，孙伟，孙悦.基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模).工程科学学报，2021,43(6)：843- 851.doi10.13374j.issn2095-9389.2020.04.20.005 LIU Xiao-feng,SUN Wei,SUN Yue.Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material[J].Chinese Journal of Engineering,2021,43(6):843-851.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2020.04.20.005 在线阅读View onlines:htps/ldoi.org10.13374/.issn2095-9389.2020.04.20.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 裂缝网络支撑剂非均匀分布对开采动态规律的影响 Effect of uneven distribution of proppant in fracture network on exploitation dynamic characteristics 工程科学学报.2020.42(10：1318htps:doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.10.23.001 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory 工程科学学报.2019,41(12：1558 https:/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.01.06.001 混合选别过程半实物仿真系统 A hardware-in-the-loop simulation system for the mixed separation process 工程科学学报.2017,399外1412 https:/loi.org10.13374.issn2095-9389.2017.09.015 非晶半导体薄膜用Te系化合物靶材制备 Preparation of Te-based compound target for amorphous semiconductor thin film 工程科学学报.2019,41(2：224 https:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2019.02.009 高碱度烧结矿矿旷相结构分布模式及形成机理 Distribution patterns and formation mechanisms of the mineralogical structure of high basicity sinter 工程科学学报.2019,41(2)181 https::doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.02.004 半连续铸造7136超高强铝合金的组织特征及均匀化处理工艺 Microstructure and homogenization process of semi-continuous casting 7136 ultra high-strength aluminum alloy 工程科学学报.2019,41(7)：914htps:/1doi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.010

基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 刘晓峰 孙伟 孙悦 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng, SUN Wei, SUN Yue 引用本文: 刘晓峰, 孙伟, 孙悦. 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模[J]. 工程科学学报, 2021, 43(6): 843- 851. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005 LIU Xiao-feng, SUN Wei, SUN Yue. Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material[J]. Chinese Journal of Engineering, 2021, 43(6): 843-851. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2020.04.20.005 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 裂缝网络支撑剂非均匀分布对开采动态规律的影响 Effect of uneven distribution of proppant in fracture network on exploitation dynamic characteristics 工程科学学报. 2020, 42(10): 1318 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.10.23.001 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory 工程科学学报. 2019, 41(12): 1558 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.01.06.001 混合选别过程半实物仿真系统 A hardware-in-the-loop simulation system for the mixed separation process 工程科学学报. 2017, 39(9): 1412 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.015 非晶半导体薄膜用Te系化合物靶材制备 Preparation of Te-based compound target for amorphous semiconductor thin film 工程科学学报. 2019, 41(2): 224 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.009 高碱度烧结矿矿相结构分布模式及形成机理 Distribution patterns and formation mechanisms of the mineralogical structure of high basicity sinter 工程科学学报. 2019, 41(2): 181 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.02.004 半连续铸造7136超高强铝合金的组织特征及均匀化处理工艺 Microstructure and homogenization process of semi-continuous casting 7136 ultra high-strength aluminum alloy 工程科学学报. 2019, 41(7): 914 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.010

工程科学学报.第43卷，第6期：843-851.2021年6月 Chinese Journal of Engineering,Vol.43,No.6:843-851,June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005;http://cje.ustb.edu.cn 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构 半解析建模 刘晓峰12)，孙伟2)区，孙悦12 1)东北大学机械工程与自动化学院.沈阳1108192)东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，沈阳110819 ☒通信作者，E-mail:weisun(@mail.neu.edu.cn 摘要基于非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓连接薄板搭接部分的力学特性，其中虚拟材料的材料参数用复模量表示，可直 接生成复刚度矩阵以表示搭接部分的刚度及阻尼特性，省却了常规建模中生成结合部阻尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的 基础上简化了建模流程，以此建立了螺栓连接薄板结构的半解析模型并对其进行了动力学分析.首先描述了建模理念，将虚 拟材料分别假定了三种复模量非均匀分布形式模拟螺栓搭接部分的力学特性，提出用反推辨识技术确定虚拟材料储能模量 与耗能模量的方法.接着，基于能量法并用正交多项式假定模态，推导了螺栓连接薄板的半解析分析模型，并创新性地给出 了求解半解析模型任意锤击点与拾振点处频响函数的公式.最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为对象进行了实例研究， 结果表明：用所创建的半解析模型计算出的各阶仿真固有频率与实验测得的各阶固有频率的误差均在5%以内，计算得到的 各阶仿真模态振型以及频响函数曲线与实测值均较为接近，从而证明了利用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓搭接部 分可有效简化螺栓结合部建模，亦可达到较高的仿真计算精度 关键词虚拟材料：复模量：非均匀分布：螺栓连接薄板：半解析建模 分类号TH131.3:0327 Semianalytical modeling of a bolted thin plate structure based on nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng2),SUN We2,SUN Yue2 1)School of Mechanical Engineering&Automation,Northeastem University,Shenyang 110819,China 2)Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems,Ministry of Education of China,Northeastern University,Shenyang 110819, China Corresponding author,E-mail:weisun@mail.neu.edu.cn ABSTRACT The simulation of bolt joints affects the analysis accuracy of the dynamic characteristics of the whole structure in the dynamic modeling of bolted connection structures.In this study,the mechanical properties of the bolted thin-plate lap joint were simulated based on a nonuniformly distributed virtual material.The parameters of the virtual material were expressed based on a complex modulus,and the complex stiffness matrix can be directly generated to express the stiffness and damping characteristics of the lap joint.The steps used to generate a joint damping matrix in conventional modeling were omitted,and the modeling process was simplified to ensure model accuracy.We established a semianalytical model of a bolted thin plate structure to enable its dynamic analysis.In this study,we first described the modeling concept.The virtual material was assumed to have three types of nonuniform complex modulus distributions to simulate the mechanical properties of the bolted lap joint.We proposed a method for determining the 收稿日期：2020-04-20 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N180312012)

基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构 半解析建模 刘晓峰1,2)，孙    伟1,2) 苣，孙    悦1,2) 1) 东北大学机械工程与自动化学院，沈阳 110819    2) 东北大学航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，沈阳 110819 苣通信作者，E-mail：weisun@mail.neu.edu.cn 摘    要    基于非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓连接薄板搭接部分的力学特性，其中虚拟材料的材料参数用复模量表示，可直 接生成复刚度矩阵以表示搭接部分的刚度及阻尼特性，省却了常规建模中生成结合部阻尼矩阵的步骤，在保证模型精确性的 基础上简化了建模流程，以此建立了螺栓连接薄板结构的半解析模型并对其进行了动力学分析. 首先描述了建模理念，将虚 拟材料分别假定了三种复模量非均匀分布形式模拟螺栓搭接部分的力学特性，提出用反推辨识技术确定虚拟材料储能模量 与耗能模量的方法. 接着，基于能量法并用正交多项式假定模态，推导了螺栓连接薄板的半解析分析模型，并创新性地给出 了求解半解析模型任意锤击点与拾振点处频响函数的公式. 最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为对象进行了实例研究， 结果表明：用所创建的半解析模型计算出的各阶仿真固有频率与实验测得的各阶固有频率的误差均在 5% 以内，计算得到的 各阶仿真模态振型以及频响函数曲线与实测值均较为接近，从而证明了利用复模量非均匀分布的虚拟材料模拟螺栓搭接部 分可有效简化螺栓结合部建模，亦可达到较高的仿真计算精度. 关键词    虚拟材料；复模量；非均匀分布；螺栓连接薄板；半解析建模 分类号    TH131.3；O327 Semianalytical  modeling  of  a  bolted  thin  plate  structure  based  on  nonuniform distributions of the complex modulus of a virtual material LIU Xiao-feng1,2) ，SUN Wei1,2) 苣 ，SUN Yue1,2) 1) School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China 2) Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems, Ministry of Education of China, Northeastern University, Shenyang 110819, China 苣 Corresponding author, E-mail: weisun@mail.neu.edu.cn ABSTRACT    The simulation of bolt joints affects the analysis accuracy of the dynamic characteristics of the whole structure in the dynamic  modeling  of  bolted  connection  structures.  In  this  study,  the  mechanical  properties  of  the  bolted  thin-plate  lap  joint  were simulated  based  on  a  nonuniformly  distributed  virtual  material.  The  parameters  of  the  virtual  material  were  expressed  based  on  a complex modulus, and the complex stiffness matrix can be directly generated to express the stiffness and damping characteristics of the lap  joint.  The  steps  used  to  generate  a  joint  damping  matrix  in  conventional  modeling  were  omitted,  and  the  modeling  process  was simplified  to  ensure  model  accuracy.  We  established  a  semianalytical  model  of  a  bolted  thin  plate  structure  to  enable  its  dynamic analysis. In this study, we first described the modeling concept. The virtual material was assumed to have three types of nonuniform complex modulus distributions to simulate the mechanical properties of the bolted lap joint. We proposed a method for determining the 收稿日期: 2020−04−20 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（N180312012） 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期：843−851，2021 年 6 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 43, No. 6: 843−851, June 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.04.20.005; http://cje.ustb.edu.cn

844 工程科学学报，第43卷.第6期 storage modulus and energy dissipation modulus of the virtual material using a reverse identification technique.Based on the energy method and the assumed modes of orthogonal polynomials,we derived a semianalytical model of bolted thin plates and develop an innovative formula for solving the frequency response function at any hammering point and the vibration point of the semianalytical model.Finally,we conducted a case study on a bolted thin plate structure.Results show that the deviation between the simulated natural frequencies calculated using the semianalytical model and the experimental natural frequencies are less than 5%.Further,the calculated model shapes and frequency-response-function curves are close to those obtained based on the measured values.These results prove that a virtual material with a nonuniform complex modulus distribution can effectively simplify the modeling of a bolted joint and achieve high simulation accuracy. KEY WORDS virtual material:complex modulus:nonuniform distribution:bolted thin plate:semianalytical modeling 螺栓连接由于结构简单、成本低、便于装拆 孔间隙和摩擦效应的改进弹簧法，并基于弹簧法 且具有一定可靠性而被广泛应用.现代航空发动 和有限元理论对七螺栓双搭接板进行建模，研究 机的连接结构亦多采用螺栓进行紧固连接.螺栓 了板宽、板厚、螺栓间距和间隙对载荷分布的影 连接结构相比于整体结构，其结合部处整体刚度 响.Deaner等图利用弹簧单元、粘滞阻尼单元以及 会有所下降，且该部分会产生一定的阻尼作用，两 一个四参数的Iwan单元建立了螺栓连接的双梁结 者共同作用，从而对整个结构的力学特性产生影 构模型，在一定的受力水平范围内准确的描述了 响，因此，如何有效的模拟螺栓连接结构的 结构的刚度及阻尼，李玲等9将栓接结合部刚度 结合部，对研究整个螺栓连接结构的力学特性至 等效为结合面刚度和螺栓刚度的串联，并利用 关重要 ANSYS软件建立了栓接梁结构的有限元模型.孙 近年来，很多学者致力于螺栓连接结构的力 伟等o提出采用简化的Iwan模型模拟螺栓结合 学特性研究，研究人员通常会建立精确地高保真 面之间的非线性动力学现象，从而建立了螺栓连 模型进行螺栓结合部的静力学分析.例如，Reid 接组合梁非线性解析模型 和Hiserl川采用非线性有限元分析方法，建立了螺 除上述针对螺栓结合部简化建模的方法外， 栓结合部在剪切荷载作用下单向滑动的模型，在 还有很多学者将螺栓接合部简化成一种虚拟材 一定精度上再现了物理实验中出现的力-位移滞回 料，并基于此完成螺栓连接结构的建模与分析.例 曲线.Sawa等建立了螺栓连接结构的三维有限 如，Iranzad和Ahmadian采用薄层虚拟弹塑性材 元模型，分析了考虑螺纹的螺旋应力分布和其分 料模拟螺栓连接梁结合部的接触界面，建立了完 别在循环载荷和静载荷作用下的弹塑性变形状 整的动力学模型，并利用试验数据对其参数进行 态.Lyt等1对两种圆形螺栓法兰装置进行了完 了识别.Wang和Fanl将螺栓连接梁的连接界面 整的有限元建模，可以准确地预测带有黏弹性垫 简化为虚拟材料，建立了螺栓连接梁的有限元模 圈的平面和凸起法兰组件在阀座状态下的蠕变松 型，采用刚度和阻尼随频率变化的子结构描述结 弛效应.Zhang等建立了考虑螺旋螺纹的螺栓连 合部非线性动力学行为.Zha等)提出将螺栓结 接板结构三维有限元模型，研究了其在轴向张力 合面接触部分用一种横观各向同性的虚拟材料模 作用下沿啮合螺纹的载荷传递行为.由于高保真 拟并以此建立螺栓连接板的有限元模型，并将求 模型建模复杂、耗时长，分析过程比较缓慢，尤其 解得到的模型固有频率和振型与实验结果进行比 在进行螺栓连接结构的动力学研究时高保真模型 较，验证了模型的正确性.Yang等w提出了一种 更加难以适用，因此研究者们建立了螺栓连接结 基于分形理论的虚拟材料模型并将其用于预测碳 构的简化模型以提高模型计算效率.Luan等用 纤维增强塑料复合材料螺栓连接的固有频率 线性弹簧模拟螺栓连接法兰结合部接触界面，建 Shi和Zhang提出了一种基于虚拟材料的栓接结 立了简化的螺栓连接法兰结构动力学模型，并结 合部界面参数化模型，在不同加载条件下对一个 合物理实验讨论了结构纵向振动频率与横向振动 具有螺栓连接的力学结构进行了数值仿真.Ye等s 频率的关系.Meisami等将螺栓法兰结构的结合 利用螺栓结合部基本特征参数与材料应变能的关 部和螺栓分别视为悬臂梁和弹簧，建立了一个能 系推导出虚拟材料的参数，然后利用有限元分析 反映实际结合部行为的解析模型，得到了载荷与 软件建立了包含结合部的单螺栓连接内孔圆接头 挠度之间的精确关系.Xiang等提出了一种考虑 分析模型.Zhao等7提出了一种基于表面接触应

storage modulus and energy dissipation modulus of the virtual material using a reverse identification technique. Based on the energy method  and  the  assumed  modes  of  orthogonal  polynomials,  we  derived  a  semianalytical  model  of  bolted  thin  plates  and  develop  an innovative formula for solving the frequency response function at any hammering point and the vibration point of the semianalytical model. Finally, we conducted a case study on a bolted thin plate structure. Results show that the deviation between the simulated natural frequencies calculated using the semianalytical model and the experimental natural frequencies are less than 5%. Further, the calculated model shapes and frequency-response-function curves are close to those obtained based on the measured values. These results prove that a virtual material with a nonuniform complex modulus distribution can effectively simplify the modeling of a bolted joint and achieve high simulation accuracy. KEY WORDS    virtual material；complex modulus；nonuniform distribution；bolted thin plate；semianalytical modeling 螺栓连接由于结构简单、成本低、便于装拆 且具有一定可靠性而被广泛应用. 现代航空发动 机的连接结构亦多采用螺栓进行紧固连接. 螺栓 连接结构相比于整体结构，其结合部处整体刚度 会有所下降，且该部分会产生一定的阻尼作用，两 者共同作用，从而对整个结构的力学特性产生影 响 . 因此 ，如何有效的模拟螺栓连接结构的 结合部，对研究整个螺栓连接结构的力学特性至 关重要. 近年来，很多学者致力于螺栓连接结构的力 学特性研究，研究人员通常会建立精确地高保真 模型进行螺栓结合部的静力学分析. 例如，Reid 和 Hiser[1] 采用非线性有限元分析方法，建立了螺 栓结合部在剪切荷载作用下单向滑动的模型，在 一定精度上再现了物理实验中出现的力-位移滞回 曲线. Sawa 等[2] 建立了螺栓连接结构的三维有限 元模型，分析了考虑螺纹的螺旋应力分布和其分 别在循环载荷和静载荷作用下的弹塑性变形状 态. Luyt 等[3] 对两种圆形螺栓法兰装置进行了完 整的有限元建模，可以准确地预测带有黏弹性垫 圈的平面和凸起法兰组件在阀座状态下的蠕变松 弛效应. Zhang 等[4] 建立了考虑螺旋螺纹的螺栓连 接板结构三维有限元模型，研究了其在轴向张力 作用下沿啮合螺纹的载荷传递行为. 由于高保真 模型建模复杂、耗时长，分析过程比较缓慢，尤其 在进行螺栓连接结构的动力学研究时高保真模型 更加难以适用，因此研究者们建立了螺栓连接结 构的简化模型以提高模型计算效率. Luan 等[5] 用 线性弹簧模拟螺栓连接法兰结合部接触界面，建 立了简化的螺栓连接法兰结构动力学模型，并结 合物理实验讨论了结构纵向振动频率与横向振动 频率的关系. Meisami 等[6] 将螺栓法兰结构的结合 部和螺栓分别视为悬臂梁和弹簧，建立了一个能 反映实际结合部行为的解析模型，得到了载荷与 挠度之间的精确关系. Xiang 等[7] 提出了一种考虑 孔间隙和摩擦效应的改进弹簧法，并基于弹簧法 和有限元理论对七螺栓双搭接板进行建模，研究 了板宽、板厚、螺栓间距和间隙对载荷分布的影 响. Deaner 等[8] 利用弹簧单元、粘滞阻尼单元以及 一个四参数的 Iwan 单元建立了螺栓连接的双梁结 构模型，在一定的受力水平范围内准确的描述了 结构的刚度及阻尼. 李玲等[9] 将栓接结合部刚度 等效为结合面刚度和螺栓刚度的串联 ，并利用 ANSYS 软件建立了栓接梁结构的有限元模型. 孙 伟等[10] 提出采用简化的 Iwan 模型模拟螺栓结合 面之间的非线性动力学现象，从而建立了螺栓连 接组合梁非线性解析模型. 除上述针对螺栓结合部简化建模的方法外， 还有很多学者将螺栓接合部简化成一种虚拟材 料，并基于此完成螺栓连接结构的建模与分析. 例 如，Iranzad 和 Ahmadian[11] 采用薄层虚拟弹塑性材 料模拟螺栓连接梁结合部的接触界面，建立了完 整的动力学模型，并利用试验数据对其参数进行 了识别. Wang 和 Fan[12] 将螺栓连接梁的连接界面 简化为虚拟材料，建立了螺栓连接梁的有限元模 型，采用刚度和阻尼随频率变化的子结构描述结 合部非线性动力学行为. Zha 等[13] 提出将螺栓结 合面接触部分用一种横观各向同性的虚拟材料模 拟并以此建立螺栓连接板的有限元模型，并将求 解得到的模型固有频率和振型与实验结果进行比 较，验证了模型的正确性. Yang 等[14] 提出了一种 基于分形理论的虚拟材料模型并将其用于预测碳 纤维增强塑料复合材料螺栓连接的固有频率. Shi 和 Zhang[15] 提出了一种基于虚拟材料的栓接结 合部界面参数化模型，在不同加载条件下对一个 具有螺栓连接的力学结构进行了数值仿真. Ye 等[16] 利用螺栓结合部基本特征参数与材料应变能的关 系推导出虚拟材料的参数，然后利用有限元分析 软件建立了包含结合部的单螺栓连接内孔圆接头 分析模型. Zhao 等[17] 提出了一种基于表面接触应 · 844 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期

刘晓峰等：基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 845· 力的非线性虚拟材料方法来描述螺栓连接，并以 的对比验证了上述建模思想及方法的正确性和合 一个箱型螺栓连接结构模型为例进行了较精确的 理性 动态性能分析. 1 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓 上述利用虚拟材料法建立的螺栓连接结构 搭接部分建模理念 模型均与实验结果较为接近，但是上述模型中通 常用赋以均匀参数的虚拟材料模拟螺栓结合面. 1.1建模理念 事实上，真实螺栓结合部的接触面压力是非均匀 螺栓连接薄板结构由两块薄板搭接并由若干 分布的，而这种非均匀分布的接触面压力会影响 螺栓紧固在一起，本文考虑将搭接部分用虚拟材 到结构的振动特性，因此，本文以螺栓连接薄板 料进行模拟，在建模时将结构划分为板1、搭接部 结构为研究对象，采用复模量非均匀分布的虚拟 分及板2三个部分，并分别建模，如图1(a)所示 材料模拟螺栓连接结构的搭接部分，建立螺栓 而为了更好地模拟搭接部分的力学特性，这里假 连接板的半解析模型.文中具体介绍了建模思想 设虚拟材料的储能模量分别服从线性分布、抛物 及原理，给出了基于遗传算法反推虚拟材料各参 线分布、正弦分布等非均匀分布形式，如图1(b) 数的辨识流程，并创新性地给出了求解频响函数 所示.所研究的螺栓连接薄板结构，长度为，宽度 的公式，最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为 为b,搭接部分长度为2-1，宽度为b,未搭接部分 例进行了实例研究，通过模型与物理实验结果间 厚度为6，搭接部分厚度为26 一一Straight line (a) (b) Elastic modulus .Parabola Plate 1 Sine line Plate 2 Bolt ioint 0 Lap joint Platel (Virtual Plate 2 图1虚拟材料储能模量非均匀分布.(a)三维结构示意：(b)二维结构示意 Fig.I Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material:(a)3D structure diagram;(b)2D structure diagram 在本文的建模方法中，将虚拟材料的材料参 4ED 2 ,l1≤x≤2 (3) 数用复模量表示，具体为 -4- Ed*=Ea+iCa (1) Ed.3 Ep-Ep sin x-)山≤x≤h (4) 式中，Ea为虚拟材料的复模量，Ea为虚拟材料的 式中，Eal,Ea2和Ea.3分别表示为搭接部分以线性、 储能模量，i为虚数单位，Ca为虚拟材料的耗能 抛物线或正弦分布模拟的储能模量值，ED表示为 模量 搭接部分的最大储能模量，x为沿板长方向的坐标 首先确定搭接部分具体的储能模量分布.基 接下来确定搭接部分的耗能模量分布.考虑 于图1中所描述的搭接部分储能模量以线性、抛 到真实的螺栓结合部阻尼作用机理的复杂性，为 物线、正弦分布的假定，搭接部分任意位置处的储 简化建模，这里将搭接部分的耗能模量视为均匀 能模量求解式可分别确定如下： 分布，即搭接部分任意位置处的耗能模量均取值 25x-+b@,4≤x≤4 为Cd. 11-l2 11-l2 2 1.2虚拟材料储能模量与耗能模量参数确定方法 Ed.I= (2) +2)ED.h+业≤x≤h 在上述的建模方法中，需要确定任意位置处 -4r- l2-l1 2 的虚拟材料复模量值，其中储能模量已经给出了

力的非线性虚拟材料方法来描述螺栓连接，并以 一个箱型螺栓连接结构模型为例进行了较精确的 动态性能分析. 上述利用虚拟材料法建立的螺栓连接结构 模型均与实验结果较为接近，但是上述模型中通 常用赋以均匀参数的虚拟材料模拟螺栓结合面. 事实上，真实螺栓结合部的接触面压力是非均匀 分布的，而这种非均匀分布的接触面压力会影响 到结构的振动特性. 因此，本文以螺栓连接薄板 结构为研究对象，采用复模量非均匀分布的虚拟 材料模拟螺栓连接结构的搭接部分，建立螺栓 连接板的半解析模型. 文中具体介绍了建模思想 及原理，给出了基于遗传算法反推虚拟材料各参 数的辨识流程，并创新性地给出了求解频响函数 的公式. 最后，以一个具体的螺栓连接薄板结构为 例进行了实例研究，通过模型与物理实验结果间 的对比验证了上述建模思想及方法的正确性和合 理性. 1    基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓 搭接部分建模理念 1.1    建模理念 l b l2 −l1 b δ 2δ 螺栓连接薄板结构由两块薄板搭接并由若干 螺栓紧固在一起，本文考虑将搭接部分用虚拟材 料进行模拟，在建模时将结构划分为板 1、搭接部 分及板 2 三个部分，并分别建模，如图 1（a）所示. 而为了更好地模拟搭接部分的力学特性，这里假 设虚拟材料的储能模量分别服从线性分布、抛物 线分布、正弦分布等非均匀分布形式，如图 1（b） 所示. 所研究的螺栓连接薄板结构，长度为 ，宽度 为 ，搭接部分长度为 ，宽度为 ，未搭接部分 厚度为 ，搭接部分厚度为 . (a) (b) Plate 1 Plate 2 Bolt joint l b x y z Parabola Straight line Elastic modulus x E Sine line ED 0 Plate1 Plate 2 Lap joint (Virtual material) l 1 l 2−l1 l 1 l 2 图 1    虚拟材料储能模量非均匀分布. （a）三维结构示意；（b）二维结构示意 Fig.1    Nonuniform distribution of the storage modulus of a virtual material: (a) 3D structure diagram; (b) 2D structure diagram 在本文的建模方法中，将虚拟材料的材料参 数用复模量表示，具体为 Ed ∗ = Ed +iCd （1） Ed ∗ Ed Cd 式中， 为虚拟材料的复模量， 为虚拟材料的 储能模量， i 为虚数单位， 为虚拟材料的耗能 模量. 首先确定搭接部分具体的储能模量分布. 基 于图 1 中所描述的搭接部分储能模量以线性、抛 物线、正弦分布的假定，搭接部分任意位置处的储 能模量求解式可分别确定如下： Ed,1 =    2ED l1 −l2 x− (l1 +l2)ED l1 −l2 , l1 ⩽ x ⩽ l1 +l2 2 2ED l2 −l1 x− (l1 +l2)ED l2 −l1 , l1 +l2 2 ⩽ x ⩽ l2 （2） Ed,2 = 4ED (l2 −l1) 2 ( x− l1 +l2 2 )2 ,l1 ⩽ x ⩽ l2 （3） Ed,3 = ED − ED sin( π l2 −l1 (x−l1) ) ,l1 ⩽ x ⩽ l2 （4） Ed,1 Ed,2 Ed,3 ED 式中， ， 和 分别表示为搭接部分以线性、 抛物线或正弦分布模拟的储能模量值， 表示为 搭接部分的最大储能模量，x 为沿板长方向的坐标. Cd 接下来确定搭接部分的耗能模量分布. 考虑 到真实的螺栓结合部阻尼作用机理的复杂性，为 简化建模，这里将搭接部分的耗能模量视为均匀 分布，即搭接部分任意位置处的耗能模量均取值 为 . 1.2    虚拟材料储能模量与耗能模量参数确定方法 在上述的建模方法中，需要确定任意位置处 的虚拟材料复模量值，其中储能模量已经给出了 刘晓峰等： 基于虚拟材料复模量非均匀分布的螺栓连接薄板结构半解析建模 · 845 ·

846 工程科学学报，第43卷，第6期 特定分布，故只需确定该分布下的最大储能模量 反推辨识虚拟材料耗能模量的目标函数可定 值ED即可，而本文虚拟材料的耗能模量为均匀分 义为 布，即只需确定参数Ca的值 本文采用反推辨识法⑧-识别上述待定参 min (6) 数ED及Cd,将待定参数定义为设计变量，通过匹 配计算不断对设计变量进行修正，使计算得到 式中，ha和h©分别表示仿真和实验获得的第i阶 的结构振动特性与实验结果逐渐趋于一致，最 固有频率处的频响函数幅值，中：为对应于第i阶固 终反推出待识别参数.虚拟材料的储能模量直 有频率处实验与仿真频响函数值相对误差平方的 接影响到螺栓连接结构的固有频率，而其耗能 权重 模量直接影响螺栓连接结构的频响函数幅值， 在算法中设定好目标函数的权重后，还需设 因而本文通过实际测试螺栓连接结构的固有频 定好算法中的种群数量（即每次迭代中给出的待 率和频响函数幅值来反推虚拟材料的储能模量 辨识参数的数量)、变异概率（即种群中待辨识参 与耗能模量. 数发生变异行为的概率)、交叉概率（即种群中待 图2为反推辨识虚拟材料储能模量和耗能模 辨识参数发生交叉行为的概率)，本文设定收敛条 量的流程图，主要包括三部分内容：实验测试，通 件为达到最大的迭代次数，通过若干次迭代发现 过锤击试验获取螺栓连接结构的各阶固有频率和 目标结果已达到稳定值，由此输出辨识的待定参 频响函数：理论计算，利用自编半解析程序建立螺 数，即获得辨识之后的虚拟材料储能模量及耗能 栓连接结构半解析模型，详情见第2部分；匹配计 模量参数 算，建立模型计算结果与实验测试结果的匹配关 2螺栓连接薄板结构半解析建模及分析 系，这里采用遗传算法0四进行参数寻优，迭代计 算辨识待定参数， 2.1搭接薄板结构能量方程的推导 上文建模理念中，将螺栓连接薄板结构划分 Semianalytical Frequency response modeling of bolted function test of bolted 为三部分（板1、搭接部分和板2），因其均属于薄 thin plate structure thin plate structure 板结构，故基于Kirchhoff假设和经典薄板理论，将 ↓ Natural frequency Natural frequency 整个结构的位移场23-2表示为 (Frequency (Frequency wo(x.y,t) response function) response function) u(x,y,z,t)=uo(x,y,t)-z- Matching calculation wo(x,y,t) (7) v(x,y,zt)=vo(x,y,t)-z- Optimized storage dy modulus value (loss modulus value) w(x,y,z,t)=wo(x,y,t) Reached the maximum number No 式中，0，o和wo分别表示结构的中面位移，t表 of iterations? 示时间，y为沿板宽方向的坐标，？为沿板厚方向 Yes Output virtual material storage modulu 以板中面为原点的坐标，具体坐标轴位置可参见 value (loss modulus value) 图1(a) 图2虚拟材料储能模量（耗能模量）辨识流程 结构任意一点的应变可以用位移表示为 Fig2 Identification process of the storage modulus (loss modulus)of Ou Ouo 2wo the virtual material Ex= -Z- x2 反推辨识虚拟材料储能模量的目标函数可表 Ov 0vo a-wo Ey= 示为 dy dy 2 (8) Ou Yry= +m_00+00-2z2w (5) +脉= ax0v E:=Yy=Yx=0 式中，@和f分别表示仿真和实验获得的第阶固 式中，x、6,、,分别表示为x、少、2轴方向的正应变， 有频率，"为对应于第阶实验与仿真固有频率相对 y、yx、y分别表示y、z、z面上的剪应变 误差平方的权重，为参与计算的固有频率阶数 模型的应变能可表示为

ED Cd 特定分布，故只需确定该分布下的最大储能模量 值 即可，而本文虚拟材料的耗能模量为均匀分 布，即只需确定参数 的值. ED Cd 本文采用反推辨识法[18−19] 识别上述待定参 数 及 ，将待定参数定义为设计变量，通过匹 配计算不断对设计变量进行修正，使计算得到 的结构振动特性与实验结果逐渐趋于一致，最 终反推出待识别参数. 虚拟材料的储能模量直 接影响到螺栓连接结构的固有频率，而其耗能 模量直接影响螺栓连接结构的频响函数幅值， 因而本文通过实际测试螺栓连接结构的固有频 率和频响函数幅值来反推虚拟材料的储能模量 与耗能模量. 图 2 为反推辨识虚拟材料储能模量和耗能模 量的流程图，主要包括三部分内容：实验测试，通 过锤击试验获取螺栓连接结构的各阶固有频率和 频响函数；理论计算，利用自编半解析程序建立螺 栓连接结构半解析模型，详情见第 2 部分；匹配计 算，建立模型计算结果与实验测试结果的匹配关 系，这里采用遗传算法[20−22] 进行参数寻优，迭代计 算辨识待定参数. No Yes Semianalytical modeling of bolted thin plate structure Frequency response function test of bolted thin plate structure Natural frequency (Frequency response function) Natural frequency (Frequency response function) Matching calculation Optimized storage modulus value (loss modulus value) Reached the maximum number of iterations? Output virtual material storage modulu value (loss modulus value) 图 2    虚拟材料储能模量（耗能模量）辨识流程 Fig.2    Identification process of the storage modulus (loss modulus) of the virtual material 反推辨识虚拟材料储能模量的目标函数可表 示为 minFk=    ∑n˜ i=1 Ψi   f (a) i f (e) i −1   2    （5） f (a) i f (e) i i Ψi i n˜ 式中， 和 分别表示仿真和实验获得的第 阶固 有频率， 为对应于第 阶实验与仿真固有频率相对 误差平方的权重， 为参与计算的固有频率阶数. 反推辨识虚拟材料耗能模量的目标函数可定 义为 minFc=    ∑n˜ i=1 Φi   h (a) i h (e) i −1   2    （6） h (a) i h (e) i Φi 式中， 和 分别表示仿真和实验获得的第 i 阶 固有频率处的频响函数幅值， 为对应于第 i 阶固 有频率处实验与仿真频响函数值相对误差平方的 权重. 在算法中设定好目标函数的权重后，还需设 定好算法中的种群数量（即每次迭代中给出的待 辨识参数的数量）、变异概率（即种群中待辨识参 数发生变异行为的概率）、交叉概率（即种群中待 辨识参数发生交叉行为的概率），本文设定收敛条 件为达到最大的迭代次数，通过若干次迭代发现 目标结果已达到稳定值，由此输出辨识的待定参 数，即获得辨识之后的虚拟材料储能模量及耗能 模量参数. 2    螺栓连接薄板结构半解析建模及分析 2.1    搭接薄板结构能量方程的推导 上文建模理念中，将螺栓连接薄板结构划分 为三部分（板 1、搭接部分和板 2），因其均属于薄 板结构，故基于 Kirchhoff 假设和经典薄板理论，将 整个结构的位移场[23−24] 表示为    u(x, y,z,t) = u0(x, y,t)−z ∂w0(x, y,t) ∂x v(x, y,z,t) = v0(x, y,t)−z ∂w0(x, y,t) ∂y w(x, y,z,t) = w0(x, y,t) （7） 式中 ， u0， v0 和 w0 分别表示结构的中面位移 ， t 表 示时间，y 为沿板宽方向的坐标，z 为沿板厚方向 以板中面为原点的坐标，具体坐标轴位置可参见 图 1（a）. 结构任意一点的应变可以用位移表示为    εx = ∂u ∂x = ∂u0 ∂x −z ∂ 2w0 ∂x 2 εy = ∂v ∂y = ∂v0 ∂y −z ∂ 2w0 ∂y 2 γxy = ∂u ∂y + ∂v ∂x = ∂u0 ∂y + ∂v0 ∂x −2z ∂ 2w0 ∂x∂y εz = γyz = γxz = 0 （8） εx εy εz γxy γyz γxz 式中， 、 、 分别表示为 x、y、z 轴方向的正应变， 、 、 分别表示 xy、yz、xz 面上的剪应变. 模型的应变能可表示为 · 846 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期