定理:设随机变量X的分布函数为F(x), 密试函数为f(x),若是f(x)的连续点,则 dF(x) =f(x) x
定理：设随机变量 X的分布函数为F(x), 密试函数为f(x), 若 x是f( x)的连续点，则 ( ) ( ) f x dx dF x =
例:设随机变量x的密度函数为 0<x<1 2-x1<x<2 0其它 试求X的分布函数 解 当x0时,F()=jM=0 当0<x1时,((=(M( o cF,. 0
设随机变量 X的密度函数为 ( ) − < < < ≤ = 0 其它 2 1 2 0 1 x x x x f x 试求 X 的分布函数． 解： ( ) () ∫ − ∞ ≤ = x 当 x 0时， F x f t dt = 0 ( ) () ∫ − ∞ < ≤ = x 当 0 x 1时， F x f t dt () () ∫ ∫ = + − ∞ x f t dt f t dt 0 0 例： ∫ = x tdt 0 2 2 x =
当1<x<时,F()= 「(u+j(u+( tdt+ x2+2x-1 当x>2时,F)- 「(+j(u+/(+()M 「+j2-0
( ) () ∫ − ∞ < < = x 当 1 x 2时， F x f t dt () () () ∫ ∫ ∫ = + + − ∞ x f t dt f t dt f t dt 1 1 0 0 ( ) ∫ ∫ = + − x tdt t dt 1 1 0 2 2 1 2 1 2 = − x + x − ( ) () ∫ − ∞ > = x 当 x 2时， F x f t dt () () () () ∫ ∫ ∫ ∫ = + + + − ∞ x f t dt f t dt f t dt f t dt 2 2 1 1 0 0 ( ) ∫ ∫ = + − 2 1 1 0 tdt 2 t dt = 1
综上所述,可得随机变量X的分布函数 0x x<0 0<x<1 FIx +2x-11<x<2 2<x
综上所述，可得随机变量 X 的分布函数 ( ) ≤ − + − < < < ≤ ≤ = x x x x x x x F x 1 2 2 1 1 2 2 0 1 2 0 0 2 2
例:设连续型随机变量x的分布函数为 +-arctox 00<X<+00 试求X的密度函数 解:设x的密度函数为/(x)则 f(x)=F() 00<X<+00 π1+x
设连续型随机变量 X 的分布函数为 F( ) x = + arctgx ( ) − ∞ < x < +∞ π 1 2 1 试求 X 的密度函数． 解：设 X 的密度函数为 f ( ) x ，则 f () () x = F′ x ( ) − ∞ < < +∞ + = ⋅ x x2 1 1 1 π 例：