③或然误差P=0.675g平均误差的优点是计算简便，但用这种误差表示时，可能会把质量不高的测量掩盖住。标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，因此它是表示精度的较好方法，在近代科学中多采用标准误差。2）为了表达测量的精度，又分为绝对误差、相对误差两种表达方法。①绝对误差它表示了测量值与真值的接近程度，即测量的准确度。其表示法为x土或x土6，其中8和分别为平均误差和标准误差，一般以一位数字(最多两位)表示。②相对误差它表示测量值的精密度，即各次测量值相互靠近的程度。其表示法为：d平均相对误差=±=×100%x标准相对误差=±×100%x3.偶然误差的统计规律和可疑值的舍弃偶然误差符合正态分布规律，即正、负误差具有对称性。所以，只要测量次数足够多，在消除了系统误差和粗差的前提下，测量值的算术平均值趋近于真值lim x=X真n→o0但是，一般测量次数不可能有无限多次，所以一般测量值的算术平均值也不等于真值。于是人们又常把测量值与算术平均值之差称为偏差，常与误差混用。如果以误差出现次数N对标准误差的数值作图，得一对称曲线(如图绪-1)。统计结果表明测量结果的偏差大于3c的概率不大于0.3%。因此根据小概率定理，凡误差大于3c的点，均可以作为粗差剔除。严格地说，这是指测量达到一百次以上时方可如此处理，粗略地用于15次以上的测量。对于10～15次时可用2g，若测量次数再少，应酌情递减。图绪-1正态分布误差曲线4.误差传递——间接测量结果的误差计算测量分为直接测量和间接测量两种，一切简单易得的量均可直接测量出，如用米尺量物体的长度，用温度计测量体系的温度等。对于较复杂不易直接测得的量，可通过直接测定简单量，而后按照一定的函数关系将它们计算出来。例如在溶解热实验中，测得温度变化△T和\T㎡就可求出溶解热AH，从而使直接测量值T、W的误差样品重量W，代入公式AH=CATW传递给AH。误差传递符合一定的基本公式。通过间接测量结果误差的求算，可以知道哪个直接测量值的误差对间接测量结果影响最大，从而可以有针对性地提高测量仪器的精度，获得好的结果。（1）间接测量结果的平均误差和相对平均误差的计算6
6 ③ 或然误差 P=0.675σ 平均误差的优点是计算简便，但用这种误差表示时，可能会把质量不高的测量掩盖住。 标准误差对一组测量中的较大误差或较小误差感觉比较灵敏，因此它是表示精度的较好方法， 在近代科学中多采用标准误差。 (2) 为了表达测量的精度，又分为绝对误差、相对误差两种表达方法。 ① 绝对误差 它表示了测量值与真值的接近程度，即测量的准确度。其表示法为x － ±δ 或 x － ±σ，其中 δ 和 σ 分别为平均误差和标准误差，一般以一位数字(最多两位)表示。 ② 相对误差 它表示测量值的精密度，即各次测量值相互靠近的程度。其表示法为： 平均相对误差＝± x ×100% 标准相对误差＝± x ×100% 3. 偶然误差的统计规律和可疑值的舍弃 偶然误差符合正态分布规律，即正、负误差具有对称性。所以，只要测量次数足够多， 在消除了系统误差和粗差的前提下，测量值的算术平均值趋近于真值 x x真 n = → lim 但是，一般测量次数不可能有无限多次，所以一般测量值的算术平均值也不等于真值。于是 人们又常把测量值与算术平均值之差称为偏差，常与误差混用。 如果以误差出现次数 N 对标准误差的数值 σ 作图， 得一对称曲线(如图绪-1)。统计结果表明测量结果的偏差 大于 3σ 的概率不大于 0.3％。因此根据小概率定理，凡 误差大于 3σ 的点，均可以作为粗差剔除。严格地说，这 是指测量达到一百次以上时方可如此处理，粗略地用于 15 次以上的测量。对于 10～15 次时可用 2σ，若测量次 数再少，应酌情递减。 4. 误差传递——间接测量结果的误差计算 图绪-1 正态分布误差曲线 测量分为直接测量和间接测量两种，一切简单易得的量均可直接测量出，如用米尺量物 体的长度，用温度计测量体系的温度等。对于较复杂不易直接测得的量，可通过直接测定简 单量，而后按照一定的函数关系将它们计算出来。例如在溶解热实验中，测得温度变化 ΔT 和 样品重量 W，代入公式 W M H = CT 就可求出溶解热 ΔH，从而使直接测量值 T、W 的误差 传递给 ΔH。 误差传递符合一定的基本公式。通过间接测量结果误差的求算，可以知道哪个直接测量 值的误差对间接测量结果影响最大，从而可以有针对性地提高测量仪器的精度，获得好的结 果。 (1) 间接测量结果的平均误差和相对平均误差的计算
设有函数u=F(x，J)，其中x，y为可以直接测量的量。则aFOFdudOyQ此为误差传递的基本公式。若Au、Ax、Ay为u、x、y的测量误差，且设它们足够小，可以代替du、dx、dy，则得到具体的简单函数及其误差的计算公式，列入表绪-3。表绪-3部分函数的平均误差函数关系绝对误差相对误差+(IAx/+/As,/)J=x+x±([4i |+ [42 [)$+x+(/+/Asl)±([4m | +[42 )J=xIx2x-x+(Iμrl Lμr:l)±(x [42 |+2 [4 ])J=x12(）)(/r /+x/Ax/)(/ μ)=n/ax2（）)y=x±(ma=1At)()(E)y=lnr(xhx)8LRP例如计算函数X：的误差，其中L、R、P、m、r、d为直接测量值。元(m-m。)rd2Inx=In8+In L+ln R+lnP-In元-In(m-mo)-Inr-2Ind对上式取对数：dRdx _dLdPdr.2d(d)d(m-mo)微分得：ALRdrxm-mo考虑到误差积累，对每一项取绝对值得：AxALARAP(m-m)Ar24d相对误差："士+-LRPdxm-mo8LRPArAr绝对误差：(m-m)rd?7
7 设有函数 u=F(x，y)，其中 x，y 为可以直接测量的量。则 y y F x x F u y x d d d + = 此为误差传递的基本公式。若 Δu、Δx、Δy 为 u、x、y 的测量误差，且设它们足够小，可以代 替 du、dx、dy，则得到具体的简单函数及其误差的计算公式，列入表绪-3。 表绪-3 部分函数的平均误差 函数关系 绝对误差 相对误差 y＝x1＋x2 ±(│Δx1│＋│Δx2│) + + 1 2 1 2 x x x x y＝x1－x2 ±(│Δx1│＋│Δx2│) − + 1 2 1 2 x x x x y＝x1x2 ±(x1│Δx2│＋x2│Δx1│) + 2 2 1 1 x x x x y＝x1/x2 + 2 2 1 2 1 2 x x x x x + 2 2 1 x x x x y＝x n ±(nxn－1Δx) x x n y＝lnx x x x x x ln 例如计算函数 2 0 ( ) 8 m m rd LRP x − = 的误差，其中 L、R、P、m、r、d 为直接测量值。 对上式取对数： ln x = ln 8 + ln L + ln R + ln P − ln − ln( m − m0 ) − ln r − 2ln d 微分得： d d r r m-m m-m P P R R L L x dx d d d d( ) d 2d( ) 0 0 = + + − − − 考虑到误差积累，对每一项取绝对值得： 相对误差： + + + + + = d d r r m-m m-m P P R R L L x x ( ) 2 0 0 绝对误差： 2 0 ( ) 8 m m rd LRP x x x − =
AP根据兰、R(m-mo)Ar2△d各项的大小，可以判断间接测量值X的PLRrdm-mo最大误差来源。(2）间接测量结果的标准误差计算若-F(x，y)，则函数u的标准误差为OuTOr部分函数的标准误差列入表绪-4：表绪-4部分函数的标准误差函数关系绝对误差相对误差u=xy+Joi+o,*下0+0 = xy+J..o;+x*.oTy2yo+2+"o.u=x"+nx"-"o,oxu=lnx6.有效数字当我们对一个测量的量进行记录时，所记数字的位数应与仪器的精密度相符合，即所记数字的最后一位为仪器最小刻度以内的估计值，称为可疑值，其它几位为准确值，这样一个数字称为有效数字，它的位数不可随意增减。在间接测量中，须通过一定公式将直接测量值进行运算，运算中对有效数字位数的取舍应遵循如下规则：(1）误差一般只取一位有效数字，最多两位。(2）有效数字的位数越多，数值的精确度也越大，相对误差越小。(3）若第一位的数值等于或大于8，则有效数字的总位数可多算一位，如9.23虽然只有三位，但在运算时，可以看作四位。（4）运算中舍弃过多不定数字时，应用“4舍6入，逢5尾留双”的法则。（5）在加减运算中，各数值小数点后所取的位数，以其中小数点后位数最少者为准。（6）在乘除运算中，各数保留的有效数字，应以其中有效数字最少者为准。(7）在乘方或开方运算中，结果可多保留一位。（8）对数运算时，对数中的首数不是有效数字，对数的尾数的位数，应与各数值的有效数字相当。(9）算式中，常数元，e及乘子/2和某些取自手册的常数，如阿佛加德罗常数、普朗克常数等，不受上述规则限制，其位数按实际需要取舍。8
8 根据 L L 、 R R 、 P P 、 0 0 ( ) m-m m-m 、 r r 、 d 2d 各项的大小，可以判断间接测量值 x 的 最大误差来源。 (2) 间接测量结果的标准误差计算 若 u=F(x，y)，则函数 u 的标准误差为 2 2 2 2 u x y y u x u + = 部分函数的标准误差列入表绪-4： 表绪-4 部分函数的标准误差 函数关系 绝对误差 相对误差 u x u x y x u u xy u x y n = ln = = = = x nx y x y y x x y n x y x y x y + + + −1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x x x n x y x y x y x x x y x y x y ln 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + 6. 有效数字 当我们对一个测量的量进行记录时，所记数字的位数应与仪器的精密度相符合，即所记 数字的最后一位为仪器最小刻度以内的估计值，称为可疑值，其它几位为准确值，这样一个 数字称为有效数字，它的位数不可随意增减。在间接测量中，须通过一定公式将直接测量值 进行运算，运算中对有效数字位数的取舍应遵循如下规则： (1) 误差一般只取一位有效数字，最多两位。 (2) 有效数字的位数越多，数值的精确度也越大，相对误差越小。 (3) 若第一位的数值等于或大于 8，则有效数字的总位数可多算一位，如 9.23 虽然只有三 位，但在运算时，可以看作四位。 (4) 运算中舍弃过多不定数字时，应用“4 舍 6 入，逢 5 尾留双”的法则。 (5) 在加减运算中，各数值小数点后所取的位数，以其中小数点后位数最少者为准。 (6) 在乘除运算中，各数保留的有效数字，应以其中有效数字最少者为准。 (7) 在乘方或开方运算中，结果可多保留一位。 (8) 对数运算时，对数中的首数不是有效数字，对数的尾数的位数，应与各数值的有效数 字相当。 (9) 算式中，常数 π，e 及乘子 2 和某些取自手册的常数，如阿佛加德罗常数、普朗克常 数等，不受上述规则限制，其位数按实际需要取舍
7.数据处理物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法：列表法、作图法和数学方程式法。(1)列表法将实验数据列成表格，排列整齐，使人一目了然。这是数据处理中最简单的方法，列表时应注意以下几点：①表格要有名称。②每行（或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位，并把二者表示为相除的形式。因为物理量的符号本身是带有单位的，除以它的单位，即等于表中的纯数字。③数字要排列整齐，小数点要对齐，公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘的形式，并为异号。④表格中表达的数据顺序为：由左到右，由自变量到因变量，可以将原始数据和处理结果列在同一表中，但应以一组数据为例，在表格下面列出算式，写出计算过程。(2）作图法作图法可更形象地表达出数据的特点，如极大值、极小值、拐点等，并可进一步用图解求积分、微分、外推、内插值。作图应注意如下几点：①图要有图名。例如“InKp一1/T图”，“V一1图”等。②要用市售的正规坐标纸，并根据需要选用坐标纸种类：直角坐标纸、三角坐标纸、半对数坐标纸、对数坐标纸等。物理化学实验中一般用直角坐标纸，只有三组份相图使用三角坐标纸。③在直角坐标中，一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴旁须注明变量的名称和单位(二者表示为相除的形式)，10的幂次以相乘的形式写在变量旁，并为异号。④适当选择坐标比例，以表达出全部有效数字为准，即最小的毫米格内表示有效数字的最后一位。每厘米格代表1，2，5为宜，切忌3，7，9。如果作直线，应正确选择比例，使直线呈45°倾斜为好。③坐标原点不一定选在零，应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。在两条坐标轴上每隔1cm或2cm均匀地标上所代表的数值，而图中所描各点的具体坐标值不必标出。③描点时，应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上，可用O、△、、X等符号表示，符号总面积表示了实验数据误差的大小，所以不应超过1mm格。同一图中表示不同曲线时，要用不同的符号描点，以示区别。③作曲线要用曲线板，描出的曲线应平滑均匀；应使曲线尽量多地通过所描的点，但不要强行通过每一个点，对于不能通过的点，应使其等量地分布于曲线两边，且两边各点到曲线的距离之平方和要尽可能相等。作图示例如图绪-2所示。图解微分图解微分的关键是作曲线的切线，而后求出切线的斜率值，即图解微分值。作曲线的切线可用如下两种方法：9
9 7. 数据处理 物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法：列表法、作图法和数学方程式法。 (1) 列表法 将实验数据列成表格，排列整齐，使人一目了然。这是数据处理中最简单的方法，列表 时应注意以下几点： ① 表格要有名称。 ② 每行(或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位，并把二者表示为相除的形式。 因为物理量的符号本身是带有单位的，除以它的单位，即等于表中的纯数字。 ③ 数字要排列整齐，小数点要对齐，公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘 的形式，并为异号。 ④ 表格中表达的数据顺序为：由左到右，由自变量到因变量，可以将原始数据和处理结 果列在同一表中，但应以一组数据为例，在表格下面列出算式，写出计算过程。 (2) 作图法 作图法可更形象地表达出数据的特点，如极大值、极小值、拐点等，并可进一步用图解 求积分、微分、外推、内插值。作图应注意如下几点： ① 图要有图名。例如“lnKp—1/T 图”，“V—t 图”等。 ② 要用市售的正规坐标纸，并根据需要选用坐标纸种类：直角坐标纸、三角坐标纸、半 对数坐标纸、对数坐标纸等。物理化学实验中一般用直角坐标纸，只有三组份相图使用三角 坐标纸。 ③ 在直角坐标中，一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴旁须注明变量的名称 和单位(二者表示为相除的形式)，10 的幂次以相乘的形式写在变量旁，并为异号。 ④ 适当选择坐标比例，以表达出全部有效数字为准，即最小的毫米格内表示有效数字的 最后一位。每厘米格代表 1，2，5 为宜，切忌 3，7，9。如果作直线，应正确选择比例，使直 线呈 45°倾斜为好。 ⑤ 坐标原点不一定选在零，应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。在两条坐标轴上 每隔 1cm 或 2cm 均匀地标上所代表的数值，而图中所描各点的具体坐标值不必标出。 ⑥ 描点时，应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上，可用○、△、□、× 等符号表示，符号总面积表示了实验数据误差的大小，所以不应超过 1mm 格。同一图中表示 不同曲线时，要用不同的符号描点，以示区别。 ⑦ 作曲线要用曲线板，描出的曲线应平滑均匀；应使曲线尽量多地通过所描的点，但不 要强行通过每一个点，对于不能通过的点，应使其等量地分布于曲线两边，且两边各点到曲 线的距离之平方和要尽可能相等。 作图示例如图绪-2 所示。 ⑧ 图解微分 图解微分的关键是作曲线的切线，而后求出切线的斜率值，即图解微分值。作曲线的切 线可用如下两种方法：
镜像法prau取一平面镜，使其垂直于图面，并通过曲线上22待作切线的点P(如图绪-3)，然后让镜子绕P点转动，注意观察镜中曲线的影像，当镜子转到某一位置，使得曲线与其影像刚好平滑地连为一条曲线时，过P点沿镜子作一直线即为P点的法线，过F点再作法线的垂线，就是曲线上P点的切线。若无2.822.842.862.8810/k2.80镜子，可用玻璃棒代替，方法相同。平行线段法图绪-2InVg—1/T图如图绪-4，在选择的曲线段上作两条平行线AB及CD，然后连接AB和CD的中点PQ并延长相交曲线于O点，过O点作AB、CD的平行线EF，则EF就是曲线上O点的切线。图绪-3镜像法示意图图绪-4平行线段法示意图(3）数学方程式法将一组实验数据用数学方程式表达出来是最为精练的一种方法。它不但方式简单而且便于进一步求解，如积分、微分、内插等。此法首先要找出变量之间的函数关系，然后将其线性化，进一步求出直线方程的系数一一斜率m和截距b，即可写出方程式。也可将变量之间的关系直接写成多项式，通过计算机曲线拟合求出方程系数。求直线方程系数一般有三种方法：①图解法将实验数据在直角坐标纸上作图，得一直线，此直线在轴上的截距即为b值（横坐标原点为零时)：直线与轴夹角的正切值即为斜率m。或在直线上选取两点（此两点应远离）(x1，J）和(x2,y2)。则Ayy2-ym=Axx-xb=y-yaxX2 -xI②平均法若将测得的n组数据分别代人直线方程式，则得n个直线方程10
10 镜像法 取一平面镜，使其垂直于图面，并通过曲线上 待作切线的点 P(如图绪-3)，然后让镜子绕 P 点转 动，注意观察镜中曲线的影像，当镜子转到某一位 置，使得曲线与其影像刚好平滑地连为一条曲线 时，过 P 点沿镜子作一直线即为 P 点的法线，过 P 点再作法线的垂线，就是曲线上 P 点的切线。若无 镜子，可用玻璃棒代替，方法相同。 平行线段法 如图绪-4，在选择的曲线段上作两条平行线 图绪-2 lnVg—1/T 图 AB 及 CD，然后连接 AB 和 CD 的中点 PQ 并延长相交曲线于 O 点，过 O 点作 AB、CD 的平 行线 EF，则 EF 就是曲线上 O 点的切线。 图绪-3 镜像法示意图 图绪-4 平行线段法示意图 (3) 数学方程式法 将一组实验数据用数学方程式表达出来是最为精练的一种方法。它不但方式简单而且便 于进一步求解，如积分、微分、内插等。此法首先要找出变量之间的函数关系，然后将其线 性化，进一步求出直线方程的系数——斜率 m 和截距 b，即可写出方程式。也可将变量之间的 关系直接写成多项式，通过计算机曲线拟合求出方程系数。 求直线方程系数一般有三种方法： ① 图解法 将实验数据在直角坐标纸上作图，得一直线，此直线在 y 轴上的截距即为 b 值(横坐标原点 为零时)；直线与轴夹角的正切值即为斜率 m。或在直线上选取两点(此两点应远离) (x1，y1) 和 (x2，y2)。则 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ; x x y x y x b x x y y x y m − − = − − = = ② 平均法 若将测得的 n 组数据分别代人直线方程式，则得 n 个直线方程