171 Bessel函数的基本性质 因此 1 C r(u+1)2r(-+1)2-r(-u+1)2-r(u+1)2 r(u+1)r(-+1)r(u)r(1-v) 所以就证得 W[(x),J-(x) ★当〃≠整数时,W[J-(x),J-(x≠0,J(x)和J-(x)线性无关 ★当v=整数n时,W[Jn(x),J-n(x)=0,Jn(x)和J-n(x)线性相关 7. Bessel函数J(x)和J-(x)的递推关系 xJ(x)]=x"J-1(x), dnx-“J(x)=-x-J+(x) 证直接从 Bessel函数的级数表达式出发.由于级数在全平面收敛,所以可以逐项微商 d d d(2=xkI(k+u+1)2 HT(+D)2+ r Jv-1aL 这就是第一式.同样 a[-J(]-= k!r(k++1) 92k+D (k-1)1(k++1)2k+ k!r(k+u+2)22k+u+1 I Ju+1(a) 这样就又证明了第二式.口 从这两个递推关系中消去J(x)或J(x),又可以得到两个新的递推关 J-1(x)-J+1(x)=2J(x) J-1(x)+J+1(x)=-J(x)
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 5 页 因此 C = 1 Γ (ν + 1) 1 2 ν · 1 Γ (−ν + 1) −ν 2−ν − 1 Γ (−ν + 1) 1 2−ν · 1 Γ (ν + 1) ν 2 ν = − 2ν Γ (ν + 1) Γ (−ν + 1) = − 2 Γ (ν) Γ (1 − ν) = − 2 π sin πν. 所以就证得 W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν. F 当ν 6=整数时，W [Jν(x), J−ν(x)] 6= 0，Jν(x)和J−ν(x)线性无关； F 当ν = 整数 n时，W [Jn(x), J−n(x)] = 0，Jn(x)和J−n(x)线性相关． 7. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的递推关系 d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x), d dx £ x −ν Jν(x) ¤ = −x −ν Jν+1(x). 证 直接从Bessel函数的级数表达式出发．由于级数在全平面收敛，所以可以逐项微商． d dx [x ν Jν(x)] = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k+2ν 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν) x 2k+2ν−1 2 2k+ν−1 = x ν Jν−1(x). 这就是第一式．同样， d dx h x −ν Jν(x) i = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k 2 2k+ν = X∞ k=1 (−) k (k − 1)! Γ (k + ν + 1) x 2k−1 2 2k+ν−1 = X∞ k=0 (−) k+1 k! Γ (k + ν + 2) x 2k+1 2 2k+ν+1 = − x −ν Jν+1(x). 这样就又证明了第二式． 从这两个递推关系中消去Jν(x)或J 0 ν(x)，又可以得到两个新的递推关系： Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2J0 ν(x), Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x).
171 Bessel函数的基本性质 第6页 特别是,令u=0 8. Bessel函数的渐近展开. Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型.一种适用于x→ Ju(r) r(+1)(2)+ 这可以直接由 Bessel函数的级数表达式得到.另一种渐近展开适用于x→∝ J()~V∞(x-2-2),1mg科< 为什么J(x)描述的是柱面波? 正如性质5中所作的那样,令x=kr,并且把r理解为柱坐标系中的坐标变量,把k理解为 波数,取时间因子为e-,则当r足够大时,J(kr)所描述的波动过程的相位就是 COS A7一 t exp 等相位面是柱面 干wt=常数, 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波.而且,由于 Ju(kr) larg(kr)<丌 中还含有与√成反比的振幅因子,波动过程的能流密度与r成反比,由于圆柱的侧面积与r成正 比,所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变.这就是说,描述的还是一个不衰减的 柱面波 9.实数阶 Bessel函数的零点:当u>-1或为整数时,Jl(x)有无穷多个零点,它们全部都 是实数,对称地分布在实轴上 关于J(x)零点的存在性,这里不证 只证明后两个结论.而且不必讨论负整数阶的 Bessel函数 所以,只需讨论>一1的情形 ★J(x)的零点不可能是纯虚数,因为当x是纯虚数时,J(x)的无穷级数表示是一个正项级 数,级数和不可能为0
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 6 页 特别是，令ν = 0， J 0 0(x) = −J1(x). 8. Bessel函数的渐近展开．Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型．一种适用于x → 0， Jν(x) = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν + O ³ x ν+2´ . 这可以直接由Bessel函数的级数表达式得到．另一种渐近展开适用于x → ∞， Jν(x) ∼ r 2 πx cos ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| < π. 为什么Jν(x)描述的是柱面波？ 正如性质5中所作的那样，令x = kr，并且把r理解为柱坐标系中的坐标变量，把k理解为 波数，取时间因子为e −iωt，则当r足够大时，Jν(kr)所描述的波动过程的相位就是 cos ³ kr − νπ 2 − π 4 ´ e −iωt = 1 2 ½ exp h i ³ kr − νπ 2 − π 4 − ωt´i + exp h −i ³ kr − νπ 2 − π 4 + ωt´i ¾ , 等相位面是柱面 kr − νπ 2 − π 4 ∓ ωt = 常数, 分别描述的是等相位面随着时间不断扩大或收缩的发散或会聚的柱面波．而且，由于 Jν(kr) ∼ r 2 πkr cos ³ kr − νπ 2 − π 4 ´ , | arg(kr)| < π 中还含有与√ r成反比的振幅因子，波动过程的能流密度与r成反比，由于圆柱的侧面积与r成正 比，所以单位时间内通过每个圆柱面流过的总能量不变．这就是说，描述的还是一个不衰减的 柱面波． 9. 实数阶Bessel函数的零点：当ν > −1或为整数时，Jν(x)有无穷多个零点，它们全部都 是实数，对称地分布在实轴上． 关于Jν(x)零点的存在性，这里不证． 只证明后两个结论．而且不必讨论负整数阶的Bessel函数． 所以，只需讨论ν > −1的情形． F Jν(x)的零点不可能是纯虚数，因为当x是纯虚数时，Jν(x)的无穷级数表示是一个正项级 数，级数和不可能为0．
171 Bessel函数的基本性质 ★设a是J(x)的一个零点,即J(a)=0,则a的复共轭a*也一定是J(x)的零点 J(a*)=[J(a)=0. 即J(ax)和J(ax)均以x=1为零点.它们分别满足方程 1 d[dJv(a2+ r dr J(ar)=0, l dJv(aa) n-J (a'x)= 将两个方程分别乘以xJ(a*x)和xJ(ax),相减,再在区间0,1上积分,即得 rJv(ar)Jv(a .)dr -Jm(o' dJv(azl-JvardJ(ar)ll=0 由于 rJ(a)Jv(ar)=rJ(ar)1220, 且不恒为0,所以当>-1时,积分 J(ax)J(a,x)dx≠0 这样就证得 即a2是实数 ★这时有两个可能 a2≥0即a为实数 a2<0即a为纯虚数, 但由于a不可能为纯虚数,所以a一定是实数 ★一旦J(a)=0,则由J(x)的级数表达式可以看出,也一定有JL(-a)=0.所以J(x)的 零点对称地分布在实轴上.口 更进一步,根据递推关系和Roll定理,就可以知道J(x)的相邻的两个零点之间,必定 有J士1(x)的一个零点
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 7 页 F 设α是Jν(x)的一个零点，即Jν(α) = 0，则α的复共轭α ∗也一定是Jν(x)的零点， Jν(α ∗ ) = [Jν(α)]∗ = 0. 即Jν(αx)和Jν(α ∗x)均以x = 1为零点．它们分别满足方程 1 x d dx · x dJν(αx) dx ¸ + · α 2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(αx) = 0, 1 x d dx · x dJν(α ∗x) dx ¸ + · α ∗2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(α ∗ x) = 0. 将两个方程分别乘以xJν(α ∗x)和xJν(αx)，相减，再在区间[0, 1]上积分，即得 ³ α 2 − α ∗2 ´ Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx = −x · Jν(α ∗ x) dJν(αx) dx − Jν(αx) dJν(α ∗x) dx ¸¯¯ ¯ ¯ 1 0 = 0. 由于 xJν(αx)Jν(α ∗ x) = x |Jν(αx)| 2 ≥ 0, 且不恒为0，所以当ν > −1时，积分 Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx 6= 0, 这样就证得 α 2 = α ∗2 , 即α 2是实数． F 这时有两个可能： α 2 ≥ 0 即α为实数 和 α 2 < 0 即α为纯虚数， 但由于α不可能为纯虚数，所以α一定是实数． F 一旦Jν(α) = 0，则由Jν(x)的级数表达式可以看出，也一定有Jν(−α) = 0．所以Jν(x) 的 零点对称地分布在实轴上． 更进一步，根据递推关系和Rolle定理，就可以知道Jν(x)的相邻的两个零点之间，必定 有Jν±1(x)的一个零点．
§172 Neumann 第8页 172 Neuman函数 ★Bese方程的两个解J±v(x)当v≠整数时是线性无关的, WJ,(r),J-v(a) 2 sIn Tv, 方程的通解可以表示为J±u(x)的线性组合; ★当〃=整数n时,J±n(x)是线性相关的,因此还需要重新求出方程的第二解 ★从原则上来说,最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解,代入方程定系数 ★比较巧妙的办法是当υ≠整数时,把第二解也不是简单地取为J-n(x),而是仍然取 为J±(x)的线性组合.完全可以适当地选择组合系数,例如取 2(x)=d()-1=(, 就一定有 WJ(,()=2 这样,即使v→整数n,y2(x)仍然与Jn(x)线性无衣xx ★当〃→整数n时,解式y(x)的分母 sIn VaT→0,因此还必须适当选择另一个组合系数c, 使得y2(x)的分子也变为0,解式才可能有意义 ★考虑到 J-n(a)=(-"Jn(a)=cos nTN(a), 故可取c= COS VT 这样就定义了 Neumann函数① (x) 不论v是否为整数,它总可以取为 Bessel方程的第二解. 整数阶的 Neuman函数Nn(x),应该理解为u→n时N(x)的极限 Nn(a)= lim coS vT Jv(a)-J-v(a slnU丌 aJv(a) ()naJ-v(a) v-n Jn(r)In (n+6Ap(n+k+1) 2k+n +ψ(k+1) ①在有的文献中也写作Yv(x
§17.2 Neumann 函数 第 8 页 §17.2 Neumann 函数 F Bessel方程的两个解J±ν(x)当ν 6= 整数时是线性无关的， W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν, 方程的通解可以表示为J±ν(x)的线性组合； F 当ν = 整数 n时，J±n(x)是线性相关的，因此还需要重新求出方程的第二解． F 从原则上来说，最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解，代入方程定系数． F 比较巧妙的办法是当ν 6= 整数时，把第二解也不是简单地取为J−ν(x)，而是仍然取 为J±ν(x)的线性组合．完全可以适当地选择组合系数，例如取 y2(x) = cJν(x) − J−ν(x) sin νπ , 就一定有 W [Jν(x), y2(x)] = 2 πx . 这样，即使ν → 整数n，y2(x)仍然与Jn(x)线性无关． F 当ν → 整数n时，解式y2(x)的分母sin νπ → 0，因此还必须适当选择另一个组合系数c， 使得y2(x)的分子也变为0，解式才可能有意义． F 考虑到 J−n(x) = (−) n Jn(x) = cos nπJn(x), 故可取c = cos νπ． 这样就定义了Neumann函数① Nν(x) = cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ , 不论ν是否为整数，它总可以取为Bessel方程的第二解． 整数阶的Neumann函数Nn(x)，应该理解为ν → n时Nν(x)的极限． Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 1 π · ∂Jν(x) ∂ν − (−) n ∂J−ν(x) ∂ν ¸ ν=n = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (n + k)! £ ψ(n + k + 1) + ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , | arg x| < π. ①在有的文献中也写作Yν(x)．
§172 Neumann 第9页 并且约定,当n=0时要去掉右端第二项的有限和 当x→0,Rev>0时,N(x)的渐近行为完全由J-p(x)决定 T(v) 而对于No(x No(a)N-In 所以,不论v是否为整数,Nu(x)在x=0点都是发散的 当x→∞时, Neumann函数的渐近表达式是 Nv(r) sin(= argr<丌 因此,N(x)也可以用来描写柱面波,同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加 Nu(x)的递推关系的形式和 Bessel函数完全相同 d x"N(x)=xN-1(x), xN(x)]=-xN+1(x) Bessel函数又称为第一类柱函数, Neumann函数又称为第二类柱函数 No(x),N1(x)和N2(x)的图形见图172 图172 Neumann函数 在历史上, Hankel也曾把 Bessel程的第二解取为 J(x)-(-)2J-(2) mJ(2)-(-)J-(2)=lim[(2)-n(2-(-)yJ-(2)-J-n(2) 0J(z) ( Watson,§3.5)
§17.2 Neumann 函数 第 9 页 并且约定，当n = 0时要去掉右端第二项的有限和． 当x → 0, Re ν > 0时，Nν(x)的渐近行为完全由J−ν(x)决定， Nν(x) ∼ − Γ (ν) π ³ x 2 ´−ν . 而对于N0(x)， N0(x) ∼ 2 π ln x 2 . 所以，不论ν是否为整数，Nν(x)在x = 0点都是发散的． 当x → ∞时，Neumann函数的渐近表达式是 Nν(x) ∼ r 2 πx sin ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| < π. 因此，Nν(x)也可以用来描写柱面波，同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加． Nν(x)的递推关系的形式和Bessel函数完全相同． d dx [x νNν(x)] = x νNν−1(x), d dx £ x −νNν(x) ¤ = −x −νNν+1(x). Bessel函数又称为第一类柱函数，Neumann函数又称为第二类柱函数． N0(x), N1(x)和N2(x)的图形见图17.2． 图17.2 Neumann函数 在历史上，Hankel也曾把Bessel方程的第二解取为 Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n . 当ν → n时 limν→n Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n = limν→n · Jν(z) − Jn(z) ν − n − (−) n J−ν(z) − J−n(z) ν − n ¸ = · ∂Jν(z) ∂ν − (−) n ∂J−ν(z) ∂ν ¸ ν=n = π Nn(z). (Watson, § 3.5)