河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 定积分

∑ ∑ ln(n+1)(2n+1) nn i= 3 1+-‖2+ 九→0→n→>Q x=imE2△ 元→>0 lim1+-‖2+ 3

n n i n i 1 2 1        = =  = = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + =  n n n n , 1 2 1 1 6 1        +      = + n n  → 0  n →  x dx  1 0 2 i i n i =  x = → 2 1 0 lim          +      = + n→ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 =

2 例2利用定义计算定积分 解在1,2中插入分点q,q2,…,q"1 典型小区间为q,q,(i=1,2,…,n 小区间的长度△x;=q-q=q-(q-1), 取=q,( n ∑∫(5Ax=∑Ax=∑14(q-1) i=1

例2 利用定义计算定积分 . 2 1 1 dx x  解 在[1,2]中插入分点 2 1 , , , n− q q  q , 典型小区间为[ , ] i 1 i q q − ，（i = 1,2,  ,n） 小区间的长度 ( 1) 1 1  = − = − − − x q q q q i i i i , 取 −1 = i  i q ，（i = 1,2,  ,n） i i n i  f x = ( ) 1  i n i i =  x =1 1  ( 1) 1 1 1 1 = − − =  − q q q i n i i

∑(q-1)=m(q-1)取q"=2即q=2 ∑f(5)x;=n(2n-1 2x-1 lim x(2-1)=lim 9 x+0 x→+0 n→0 2 f dx =lim2EAx,=limn(2m-1)=In2 n→0

 = = − n i q 1 ( 1) = n(q −1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 (2 1), 1 = − n n lim (2 1) 1 − →+  x x x  x x x 1 2 1 lim 1 − = →+ = ln2, lim (2 1) 1  − → n n n = ln2, dx x  2 1 1 i n i i =  x = → 1 0 1 lim   lim (2 1) 1 = − → n n n = ln2. i i n i  f x = ( ) 1 

例3设函数∫(x)在区间[0,1上连续,且取正值 试证mimn/r(1)2 In f(x)dx 证明利用对数的性质得 n n→0 n n→0

例 3 设函数 f ( x)在区间[0,1]上连续，且取正值. 证明 n n n n f n f n f                   →  1 2 lim                         → = n n n n f n f n f e  1 2 ln limn n n n f n f n f                   →  1 2 试证 lim . 1 0 ln ( )  = f x dx e 利用对数的性质得

极限运算与对数运算换序得 ((1 lim >In n→>0 n→0 = 指数上可理解为:Inf(x)在0,1区间 上的一个积分和.分割是将{0,1等分 分点为x2=,(i=1,2,…,n)

       = = → n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1        = = → 指数上可理解为：ln f (x)在[0,1] 区间 上的一个积分和． 分割是将[0,1]n等分 分点为 n i xi = ，（i = 1,2,,n）                         → = n n n n f n f n f e  1 2 lim ln 极限运算与对数运算换序得