注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 C/()dx=f f(tdt=f(u)du (2)定义中区间的分法积的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b上的定积分存在时, 称f(x)在区间a,b上可积
注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (u)du （2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的. （3）当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称 f (x)在区间[a,b]上可积
存在定理 定理1当函数∫(x)在区间a,6上连续时, 称f(x)在区间a,b上可积 定理2设函数f(x)在区间a,b上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在 区间a,b上可积
定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则 f (x)在 三、存在定理 区间[a,b]上可积
四、定积分的几何意义 f(x)>0,Jf(x)t=A曲边梯形的面积 f(x)<0,f(x)dx=-A曲边梯形的面积 的负值 ∠A f(rdx=A -A2+ A3-A4
f (x) 0, = b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 f (x) 0, = − b a f (x)dx A 曲边梯形的面积 的负值 A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 f (x)dx A A A A b a = − + − 四、定积分的几何意义
几何意义: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条 直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面 积取负号
几何意义： 积取负号． 在 轴上方的面积取正号；在 轴下方的面 直线 之间的各部分面积的代数和． 它是介于 轴、函数 的图形及两条 x x x a x b x f x = , = ( ) + + − −
例1利用定义计算定积分x2d 解将{0,1l等分,分点为x 小区间x1,x1的长度Al ,(i=1,2,…,n 取5=x;,(i=1,2,…,n) ∑∫(5)Ax1=∑5Ax=∑xAx
例1 利用定义计算定积分 . 1 0 2 x dx 解 将[0,1]n等分，分点为 n i xi = ，(i = 1,2,,n) 小区间[ , ] xi−1 xi 的长度 n xi 1 = ，(i = 1,2,,n) 取 i = xi，(i = 1,2, ,n) i i n i f x = ( ) 1 i i n i = x = 2 1 , 1 2 i n i = xi x =