黄河水利职业技术学院：《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件讲稿，第2版）第12章 拉普拉斯变换

电路分析基础 应用拳例 求指数函数()=e、f1)=em(x>0,a是常数)的 拉普拉斯变换。 解答 由拉氏变换定义式可得 at e e-ae st dt -(a+s)t 0 0 此积分在S>α时收敛,有 -at (a+s)t 0 s+a 同理可得f()=e的拉氏变换为 L[e]=.e-(a-st s-C 返节目录

L e e e dt e dt t t st s t            0 ( ) 0 [ ]    求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=e αt (α≥0,α是常数)的 拉普拉斯变换。 由拉氏变换定义式可得 此积分在s>α时收敛，有：            s L e e dt t s t 1 [ ] 0 ( )           s L e e dt t s t 1 [ ] 0 ( ) 同理可得f(t)=e αt 的拉氏变换为：

电路分析基础 应用拳例 求单位阶跃函数fD)=e(1)、单位冲激函数f()=0(0)、 正弦函数()=sin的象函数。 解答由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的拿函数为 F(s)=L[e(t)]=.c(t)e-stdt e 0 同理。单位冲激函数的象函数为 0+ F(s)=L[(t) δ(t)e-sd δ(t)e 0 0 正弦函数 sin ot的象函数为: F(s)=ino1]=「 sin ate- 0 st e S+O'(s sin ot+@ cos at)o_ S<+@ 返节目录

s e s F s L t t e dt e dt st st 1 st 1 ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0                      求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。 由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为 同理，单位冲激函数的象函数为 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 1 ( 0 ) 0 0 0               st st s F s L  t  t e dt  t e dt e 2 2 0 2 2 0 ( sin cos ) ( ) [sin ] sin                        s s t t s e F s L t te dt st st 正弦函数sin ωt的象函数为：

电路分析基础 什么是原函数? 什么是象函数? 什么是拉普拉斯 二者之间的关系 变换?什么是拉 如何? 普拉斯反变换? 原函数是时域函数, 已知原函数求象函数 一般用小写字母表示, 的过程称为拉普拉斯变 么象函数是复频域函数, 換;而己知象函数求原 用相应的大写字母表示。 函数的过程称为拉普拉 原函数的拉氏变换为象 斯反变换。 函数:象函数的拉氏反 变换得到的是原函数 返节目录

什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？ 什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？ 已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。 原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数

电路分析基础 12.2拉普拉斯变换的基本性质 学习目祘、了解拉氏变换的线性性质,微分性质和积分 性质,运用这些性质进行拉氏变换的形式。 拉普拉斯变换有许多重要的性质,利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数.同时也可以把 线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数f1()和/2(1)的象函数分别为F1(S)和F2(),则函数 f(t)=Af1(t)±Bf2(1)的象函数为 F(s)=AF1(s)±BF2(S) 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直 接利用拉普拉斯变换的定义加以证明 返节目录

了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。 拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把 线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。 1.代数性质 设函数 f1 (t)和f 2 (t)的象函数分别为 F1 (s)和F2 (s)，则函数 f (t)  Af1 (t)  Bf 2 (t)的象函数为： 上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可以直 接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。 ( ) ( ) ( ), 1 2 F s  AF s  BF s

电路分析基础 应用拳例 )求f()=SinO和/2(t)=c0O的象函数 解根据欧拉公式:em=0smt+jsnm可得: ot e cOS wts eJot e Jo sin ot 2 2 由前面例题得出L[e]= e S-e +J 故 L[sinat] st+@ s-10 St10 2 s-+0 同理:L[ cos ot]= J0 S+J 返节目录

求f1 (t)  sin t和f 2 (t)  cos t的象函数。 根据欧拉公式： e jt  cos t  j sin t可得： , 2 sin j e e t jt jt     2 cos j t j t e e t       1 [ ]   s j L e j t  由前面例题得出  1 [ ] -   s j L e j t   2 2 2 2 2 1 ) 1 1 ( 2 1 [sin ]                    s s s j s j j s j s j j 故 L t 2 2 ) 1 1 ( 2 1 [cos ]           s s s j s j 同理：L t