6-1解题过程 图6-5所示的矩形波如解图所示,它表示为 f()= 1(0<<z) -1(x<1<2x) 在[O2x]内 f(ocos(nt)dr ∫neos(m)+[-cos(m)d sin(nt)--sin(nt) (n=,23…) 故有f()与信号cos,cos(2)…,cos(m)正交(n为整数)。 6-2解题过程 在区间(0,2x)内,有 coSIn,LcOS (n2)d(n≠n2,且n2均为不为零的整数) J [cos(n,+n2)[+cos(, -, )4 ] dt sin(n,+n2)/+ 2x 1+ cos(2nt cos ntal= dt aI= 7 满足正交函数集的条件,故cost,cos(2)…,cos(m)正交(n为整数)是区间(0,2z)
6-1 解题过程： 图 6-5 所示的矩形波如解图所示，它表示为 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 π π π ⎧⎪+ << = ⎨ ⎪− << ⎩ t f t t 在[0, 2π ]内 () ( ) () () ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 0 cos cos cos 1 1 sin sin 0 1,2,3 π π π π π π = +−⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − = = ∫ ∫ ∫ " f t nt dt nt dt nt dt nt nt n n n 故有 f ( )t 与信号cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（n 为整数）。 6-2 解题过程： 在区间( ) 0 2，π 内，有 () ( ) ( ) 2 1 2 1 2 12 0 cos cos π ≠ ∫ n t n t dt n n n n ，且 均为不为零的整数 ()() ( ) ( ) 2 12 12 0 2 2 12 12 12 12 0 0 1 cos cos 2 11 11 sin sin 2 2 0 π π π = ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =⋅ + +⋅ − + − = ∫ n n t n n t dt n nt n nt nn nn ( ) 2 2 22 ( ) ( ) 2 0 0 00 1 cos 2 cos 2 1 2 22 nt nt cos nt dt dt dt dt π π ππ π + = =+ = ∫ ∫ ∫∫ 满足正交函数集的条件，故cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）是区间( ) 0 2，π
中的正交函数集。 6-3解题过程 在区间0,内 cos(m)os(n2)ld(n≠n,且nn均为不为零的整数) 2008(1+n2)t+cos(-n2)|d sin(n,+n2) H1+n2 -n(一鸟川 z(n1+n2) (n1-n2 h1-n2 2 只有当(n1+n2)和(n1-n2)均为偶数时上式为零,因此不满足函数之间的正交性条件, coSt,cos(2)l…,os(m)正交(n为整数)不是区间0,中的正交函数集 6-4解题过程 在区间(0,1)内,有 xx(≠j∈{0.2,3}) i+j+11i+j+1 不满足正交函数集所要求的第一个条件,故1x,x2,x3不是区间(0,)上的正交函数集。 6-5解题过程: 由题62结论有cos,cos(21),…,cos(m)正交(n为整数)是区间(0,2x)内的正交 函数集。以下考察其完备性 取x()=sint,在区间(0,2z)内有 , sin td=[2x1-cos(21) 2 =丌<0 且有
中的正交函数集。 6-3 解题过程： 在区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 内 () ( ) ( ) 2 1 2 1 2 12 0 cos cos π ≠ ∫ n t n t dt n n n n ，且 均为不为零的整数 () () ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 12 0 2 2 12 12 12 12 0 0 12 12 12 12 1 cos cos 2 11 11 sin sin 2 2 11 11 sin sin 2 22 2 π π π π π = ++ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =⋅ + +⋅ − + − ⎡⎤ ⎡⎤ + − =⋅ +⋅ ⎢⎥ ⎢⎥ + − ⎣⎦ ⎣⎦ ∫ n n t n n t dt n nt n nt nn nn nn nn nn nn 只有当( ) n n 1 2 + 和( ) n n 1 2 − 均为偶数时上式为零，因此不满足函数之间的正交性条件， cos ,cos 2 , cos t t nt () () ", 正交（n 为整数）不是区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 中的正交函数集。 6-4 解题过程： 在区间( ) 0 1， 内，有 ( ) { } 1 0 ≠ ∈ , 0,1, 2,3 ∫ i j x x dx i j i j ， 1 1 1 0 0 1 0 1 1 i j i j x x dx ij ij + + + = = =≠ ++ ++ ∫ 不满足正交函数集所要求的第一个条件，故 2 3 1, , x x x, 不是区间(0 1，) 上的正交函数集。 6-5 解题过程： 由题 6-2 结论有cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）是区间( ) 0 2，π 内的正交 函数集。以下考察其完备性。 取 x ( )t t = sin ，在区间( ) 0 2，π 内有 2 2 ( ) 2 0 0 1 cos 2 sin 2 π π π − = = <∞ ∫ ∫ t tdt dt 且有
Jo sintcos(n)dt =J. 2x sin(n+1t|+SI cos(n+1)t cos(1-n) n+1 不符合完备正交函数集的定义,故cost,cos(2),…,cos(m)正交(n为整数)不是区间 0,|内的完备正交函数集。 9解题过程: 令e≈at2+bt+C,则均方误差 e'-at2+bt+cdt 2 It'+bt+cI dt=0 了(2ar-2e+2b+2)=0 e'-at+bt+cdt=0 「!(2b2-24+2ar2+2a)h=0 4 a82 a ∫[-a+b+a}=0 (2c-2e+2ar2+2br)d=0 (1)(2)(3)式联立有
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 sin 1 sin 1 sin cos 2 1 cos 1 cos 1 21 1 0 π π π ⎡ ++ − ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ + − =− + ⎢ ⎥ + − ⎣ ⎦ = ∫ ∫ n t nt t nt dt dt n t nt n n 不符合完备正交函数集的定义，故 cos ,cos 2 , cos t t nt ( ) ", ( ) 正交（ n 为整数）不是区间 0 2 ⎛ ⎞ π ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 内的完备正交函数集。 6-9 解题过程： 令 2 ≈ ++ t e at bt c ，则均方误差 1 2 2 2 1 1 2 ε − = − ++ ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ t e at bt c dt 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt a a ( ) 1 42 3 2 1 22 22 0 − − ++ = ∫ t at t e bt ct dt 4 4 1 2 10 5 3 − a ce e + =− （1） 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt b b ( ) 1 2 32 1 2 22 2 0 − − ++ = ∫ t bt te at ct dt 4 1 2 4 3 − bc e + = （2） 2 1 2 2 1 1 0 2 ε − ∂ ∂ ⎧ ⎫ = − ++ = ⎨ ⎬ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ⎩ ⎭ ∫ t e at bt c dt c c ( ) 1 2 1 22 2 2 0 − −+ + = ∫ t c e at bt dt 4 1 4 22 3 − c a ee + =− （3） （1）（2）（3）式联立有
44 b+2c=4e-1 解得b=3e 4c+=a=2e-2e-1 c=-(-3e+3e 6-10解题过程 取x(t)=cos(2),则x()满足 在拉德马赫( Rademacher)函数集中任取一函数Rad(n,t),波形如解图 ↑Rad(n,) xo Rad(n, t)dr cos(2ri ) dr cos(2ntdt+. cos(2rtdt sIn +sin 2n*si、3 2小-1-…+Sn sinan- sInz 0 故存在x()使「x()Rnd(ml)d(m为任意正整数)为0,拉德马赫函数集不是(0,) 上的完备正交函数集。 6-11解题过程 当f(1)=cos(or),f2(t)=sin(on)同时作用于单位电阻时产生的能量 E=[cos(on)+sin(on)] cos(on)+2 sin(or )cos(or)+sin(ot)]dr ∫[+sn(2a)jdt
1 1 1 4 4 2 10 5 3 4 2 4 3 4 4 22 3 − − − ⎧ + =− ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎪ + =− ⎪ ⎩ a ce e bc e c a ee 解得 ( ) ( ) 1 1 1 15 4 3 1 3 33 4 − − − ⎧ = − ⎪ ⎪⎪ ⎨ = ⎪ ⎪ = −+ ⎪⎩ a ee b e c ee 6-10 解题过程： 取 x () ( ) t t = cos 2π ，则 x ( )t 满足 ( ) 1 2 0 0 < <∞ ∫ x t dt 在拉德马赫（Rademacher）函数集中任取一函数 Rad(n,t)，波形如解图 () ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 11111 1 1 , cos 2 cos 2 cos 2 1 2 3 2 21 sin sin sin sin sin sin 22 2 2 2 2 2 12 1 sin sin 0 2 ππ π π ππ π π π π π π π π − −−−−− − − = − +− ⎛ ⎞ − = − + + − −+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = == ∫ ∫∫ ∫ " " n n n n n n nnnnn n n n x t Rad n t dt t dt t dt t dt 故存在 x ( )t 使 () ( ) 1 0 , ∫ x t Rad n t dt（n 为任意正整数）为 0，拉德马赫函数集不是( ) 0 1， 上的完备正交函数集。 6-11 解题过程： 当 f1 ( )t cos = (ωt) ， f2 ( )t sin = (ωt) 同时作用于单位电阻时产生的能量 () () () () () () ( ) 2 2 2 cos sin cos 2sin cos sin 1 sin 2 ω ω ω ωω ω ω +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =+ + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ E t t dt t t t t dt t dt Rad n t ( ) , 1 -1 1 2n 2 2n 2 1 2 n n "" −
取一个周期(0,7)其中7=,则sin(2a)在(,T)内积分为零,有 E=[1+s(20)m=T 当f(t),f2(t)分别作用于单位电阻时各自产生的能量为(仍取(0,7)内) E,= cos(or)dt=J T l+ cos(2or) T 2 E,=n sin(on)dt=5a 2 E1 +E、=T 即两信号同时作用于单位电阻所产生的能量等于f(t)和f2(t)分别作用时产生的能 量之和。当f(1)=cos(am),()=cos(a+45)时,同时作用时有 ot+ot+45 ot-ot-45 2 coS dt 丌 dt 2T cos2 分开作用时 E,=Jo cos(on)ds[1+cos(2ot)at=2 T 1+cos 2ot+- Ex dt d 4 1-sin(201 T E1+E2≠E 即当f()=cos(om),()=cos(a+45)时上述结论不成立,其原因是cos(am)和 cos(an+45)相互间不满足正交关系,而cos(am)和sin(am)满足正交关系 6-16解题过程
取一个周期( ) 0，T 其中 2π ω T = ，则sin 2( ωt) 在(0，T ) 内积分为零，有 ( ) 0 =+ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 1 sin 2ω ∫ T E t dt T 当 f1 ( )t ， f2 ( )t 分别作用于单位电阻时各自产生的能量为（仍取(0，T ) 内） ( )2 ( ) 1 0 0 1 cos 2 cos 2 2 ω ω + == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt ( )2 ( ) 2 0 0 1 cos 2 sin 2 2 ω ω − == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt 故 EE T 1 2 + = 即两信号同时作用于单位电阻所产生的能量等于 f1 (t) 和 f2 (t) 分别作用时产生的能 量之和。当 f1 () ( ) t cos = ωt ， 2 (t cos 45 ) = + (ω )D f t 时，同时作用时有 ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0 2 cos cos 45 45 45 2cos cos 2 2 4cos cos 8 8 2 cos 8 ω ω ωω ωω π π ω π = ++ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ −− = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ∫ ∫ ∫ D D D T T T E t t dt tt tt dt t dt T 分开作用时 ( )2 ( ) 1 0 0 1 cos 2 cos 2 2 ω ω + == = ∫ ∫ T T t T E t dt dt ( ) 2 2 0 0 0 1 cos 2 2 cos 4 2 1 sin 2 2 2 π ω π ω ω ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − = = ∫ ∫ ∫ T T T t E t dt dt t T dt EE E 1 2 + ≠ 即当 f1 () ( ) t cos = ωt ， 2 ( )t cos 45 = + (ω )D f t 时上述结论不成立，其原因是 cos( ) ωt 和 cos 45 ( ) ω + D t 相互间不满足正交关系，而cos(ωt) 和sin (ωt)满足正交关系。 6-16 解题过程：