中国科学技术大学：《微波技术基础》课程教学资源（课件讲稿）第三章 规则金属波导 Regular Metallic Waveguides

1958$3.1.2规则波导导波场分析（续4）同样，算符√和√2也可分解为：aa其中VV=V,+V.COzhaun81V?=V?+V?其中OzhhQa2a2a2V2直角坐标系20z?oy2axa2a2a21 a1722圆柱坐标系+Or20z?apOrr11

11 同样，算符 也可分解为: 2   和 2 2 2      t z 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 t z h h h h h h z                                      其中 ，      t z 1 2 1 1 , t v z z i i i h h z               其中 2 2 2 2 2 t z 2 2 2 x y z            ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 t z r r r r z                 ， 直角坐标系 圆柱坐标系 §3.1.2 规则波导导波场分析（续4）

S3.1.2规则波导导波场分析（续5）1958标量方程的分离变量法求解V?E,+k?E,=0首先考虑标量方程V?= V? + V3纵向场V?H, +k2H, = 0E,(u,V,z) = E.(t,z) = E.(t)Z(2)t是指横向今H.(u,V,z) = H.(t,z) = H.(t)Z(z)'Z(2)V'E.(t)-k2代入到方程√E.+kE,=0，则有Z(2)E.(t)上式成立的条件是左边两项应分别等于某常数，令V?E.(t) +k,E.(t) = 0VE.()V?Z(2)=-k2，YZ(2)E.(t)V:Z(z) -Z(z) = 0

§3.1.2 规则波导导波场分析（续5） ——标量方程的分离变量法求解 12 上式成立的条件是左边两项应分别等于某常数，令： ( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ( ) ) ( ) ( ) z z z z z z E z E t z E t H z H t Z t z z H Z z            令： 2 2 0    E k E z z 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t z z z E t Z z k E t Z z   代入到方程 ，则有    2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) t z z c z E t Z z k E t Z z       ， 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 t z c z z E t k E t Z z Z z           2 2 2 2 0 0 z z z z E k E H k H          首先考虑标量方程 纵向场 t是指横向 2 2 2      t z

S3.1.2规则波导导波场分析（续6）1958标量方程的分离变量法求解1、色散关系式：kc,=jβk2=k2-=k+β波数分解：V?E.(t)+k?E.(t)=02、轴向波动方程：V:Z(2) -2Z(2) =0V?Z(2)-2Z(2)=0Z(z)=Ae-"+A,e"=Ae-=，因规则波导无限长，所以通解为A,=0，该解描述了波导的传播特性，与传输线解是相似的。3、本征值方程：V?E.(t) + k,E,(t) = 0k称为横向（截止）波数k.是特定边界条件下的本征值，方程解包含了横向场的本征函数

§3.1.2 规则波导导波场分析（续6） ——标量方程的分离变量法求解 13 3、本征值方程： 2 2 ( ) ( ) 0    t z c z E t k E t kc称为横向（截止）波数 kc是特定边界条件下的本征值，方程解包含了横向场的本征函数。 2、轴向波动方程： 2 2 ( ) ( ) 0    z Z z Z z  通解为 ，因规则波导无限长，所以 A2=0，该解描述了波导的传播特性，与传输线解是相似的。 1 2 1 ( ) z z z Z A e z A e A e       1、色散关系式： 2 2 2 2 2 k k k    c c  + 波数分解： kc，    j 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 t z c z z E t k E t Z z Z z         

1958$3.1.2规则波导导波场分析（续7）同理：石磁场的本征值方程为V?H,(t)+kH,(t)= 0据此，电场E,u,v,z)和磁场Hu,v,z)可以表示为：E,(u, V,z) = AE,(t)e-r2E.(u,V,z) = AE.(t)e-r=H,(u,V,z2) = B,H,(t)e-rzH(u,V,z)= BH(t)e-r重要推论：由E，和H,的形式可以推断，规则波导中时谐电磁场的各e-rz的形式，不然沿z方向传播时电磁场个场分量随z的变化只能是结构（特别是横向场结构）将发生变化，这在横截面特性不随乙变化a/0z = -y的规则波导中是不可能的，所以电磁场各分量对z的偏导为14

14 同理：磁场的本征值方程为 2 2 ( ) ( ) 0    t z c z H t k H t 据此，电场 Ez (μ,ν,z) 和磁场 Hz (μ,ν,z) 可以表示为： 1 1 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) z z z z z z E z A E t e H z B H t e              重要推论：由Ez和Hz 的形式可以推断，规则波导中时谐电磁场的各 个场分量随 z 的变化只能是 的形式，不然沿 z方向传播时电磁场 结构（特别是横向场结构）将发生变化，这在横截面特性不随 z 变化 的规则波导中是不可能的，所以电磁场各分量对 z 的偏导为     z  z e  ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) z t t z t t E z AE t e H z BH t e              §3.1.2 规则波导导波场分析（续7）

1958$3.1.2规则波导导波场分析（续8）V?E,(t) + k?E.(t) = 0E，和H，的本征值方程：VH.(t) + k?H.(t) = 0以上方程的求解必须结合具体的规则波导，以便确定：1、横向坐标系（小v）。2、具体的边界条件。金属波导（由理想导体构成）的边界条件：E.lo=0导体表面的切向电场为零：n×El。=0（Ez是规则波导内壁的切向分量，Q为导体表面）aHn·Hlo=0 导体表面的法向磁场为零：=0anO规则波导内壁的Hz对法线方向的偏导为零n为导体表面法线方向的单位量

规则波导内壁的Hz对法线方向的偏导为零， 为导体表面法线方向的单位矢量 15 Ez 和Hz的本征值方程： 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 t z c z t z c z E t k E t H t k H t          以上方程的求解必须结合具体的规则波导，以便确定： 1、横向坐标系（、）。 2、具体的边界条件。 金属波导（由理想导体构成）的边界条件：  导体表面的切向电场为零：  导体表面的法向磁场为零： n E | 0   n H | 0   n （Ez是规则波导内壁的切向分量，Ω为导体表面） 0 E z   0 H z n     §3.1.2 规则波导导波场分析（续8）