中国科学技术大学：《微波技术基础》课程教学资源（课件讲稿）第三章 规则金属波导 Regular Metallic Waveguides

1958S3.1.1规则波导中的一些基本概念（续2）导波从数学上来说，规则波导中的导波问题（即有限空间电磁场的边理论值问题）都可归结为偏微分方程的本征值问题，其求解主要是确定基本对应特定边界条件的本征值（eigenvalue）和本征函数（eigenfunction）问题从物理上来说，规则波导中的导波问题包括两个方面：（简称导模，也称波型、1、导波理论的横向问题：导波的模式正规模、本征模等）及其在规则波导横截面内的场结构，它与规则波“个性”。导的具体横截面形状尺寸有关，体现了不同规则波导的2、导波理论的纵向问题：导波沿规则波导轴向的传输特性，不“共性”（广义传输线理论）。司的规则波导在此问题上具有一些6

6 从物理上来说，规则波导中的导波问题包括两个方面： 1、导波理论的横向问题：导波的模式（简称导模，也称波型、 正规模、本征模等）及其在规则波导横截面内的场结构，它与规则波 导的具体横截面形状尺寸有关，体现了不同规则波导的“个性” 。 2、导波理论的纵向问题：导波沿规则波导轴向的传输特性，不 同的规则波导在此问题上具有一些“共性”（广义传输线理论）。 从数学上来说，规则波导中的导波问题（即有限空间电磁场的边 值问题）都可归结为偏微分方程的本征值问题，其求解主要是确定 对应特定边界条件的本征值(eigenvalue)和本征函数(eigenfunction)。 导波 理论 基本 问题 §3.1.1 规则波导中的一些基本概念（续2）

1958s3.1.2规则波导导波场分析分析的出发点：无源形式的（频域）麦克斯韦方程组VxH=i08EV×E=-jouH传播常数k：V.E=0k? =μeV.H=0条件：规则波导的导体是理想的；波导内介质为均匀、无耗和各向同性的；远离场源（无电流和电荷）；稳态情况，电场和磁场皆为时谐场。以上的第二式取旋度，并利用第一式得V×V×E=-jouV×H=o?ueE=k?E由矢量恒等式Ax(BxC)=B(A.C)-(A.B)C可得V×V×E=V(V.E)-V?E=-V?E以上两式相等可得V?E+kE=0矢量Helmholtz方程即波动方程V?H+kH=0同理可得

§3.1.2 规则波导导波场分析 7 分析的出发点：无源形式的（频域）麦克斯韦方程组 0 0 H j E E j H E H                    条件：规则波导的导体是理想的；波导内介质为均匀、无耗和各向同性的； 远离场源（无电流和电荷）；稳态情况，电场和磁场皆为时谐场。 以上的第二式取旋度，并利用第一式得 2 2       E j H E k E    由矢量恒等式 A B C B A C A B C           可得   2 2         E E E E 以上两式相等可得 2 2    E k E 0 同理可得 2 2    H k H 0 矢量Helmholtz方程 即波动方程2 2 k   传播常数k：

1958S3.1.2规则波导导波场分析（续1）广义正交曲线坐标系（μ，，の）坐标轴：uWw;10u坐标增量：du du do;长度微分单元：l、dl、dls;度量系数（拉姆系数）：hi、hz、h3,以上三者的关系：dl=hdudl=hzddl=h3dの+ V几种常用坐标系的度量系数：h2hih3坐标系111直角坐标系(x,y,z)11圆柱坐标系(r,,z)r1rsine球坐标系 (r, , )r5?-n?3-n1椭圆柱面系（sn,z)52-11-n?注：c=ya?+b为椭圆半焦距。8

§3.1.2 规则波导导波场分析（续1） 8 广义正交曲线坐标系（，，）   坐标轴：  、、； 坐标增量： d、d、d； 长度微分单元： dl1、dl2、dl3； 度量系数（拉姆系数）： h1、h2、h3， 以上三者的关系：dl1= h1d、dl2= h2d、dl3= h3d。 几种常用坐标系的度量系数： 坐标系 h1 h2 h3 直角坐标系 (x, y, z) 1 1 1 圆柱坐标系 (r, , z) 1 r 1 球坐标系 (r, , ) 1 r rsin 椭圆柱面系 (, , z) 1 2 2 2 1 c      2 2 2 1 c      注：c a b  2 2为椭圆半焦距

1958$3.1.2规则波导导波场分析（续2）规则波导的坐标系选取根据规则波导的定义，其横截面形状和尺寸、结构材料、媒质分布等沿轴向不变，也就是与轴向无关。据此可以推断：电磁场在横截面上的分布特性应该和其所在的轴向位置无关。因此，可以建立如图所示的广义正交柱坐标系(u z），满足:ahah=0、h =10OzOzaa或者=0、hh)=0、h =1OzOzh,以上两种条件都表明z轴与另两个轴是无关的

9 规则波导的坐标系选取 根据规则波导的定义，其横截面形 状和尺寸、结构材料、媒质分布等沿轴 向不变，也就是与轴向无关。据此可以 推断：电磁场在横截面上的分布特性应 该和其所在的轴向位置无关。   z 因此，可以建立如图所示的广义正交柱坐标系（、、z），满足： 1 2 3 0 0 1 h h h z z        、 、 以上两种条件都表明 z 轴与另两个轴是无关的。   1 1 2 3 2 0 0 1 h h h h z h z              或者 、 、 §3.1.2 规则波导导波场分析（续2）

1958S3.1.2规则波导导波场分析（续3）在广义正交柱坐标系下，可将电场E和磁场H进行如下分解：E(u,V,z) = E,(u,V,z)+i,E.(u,V,z)t表示横向(transverse)H(u,V,z) =H(u,V,z) +i.H,(u,V,z2)V?E =V?(E, +i.E.)=V?E, +i,V?EV?H =V? (H, +i,H.)= V?H, +i,V?H由此可将矢量Helmholtz方程分解为一个矢量方程和一个标量方程V?E, +k?E,= 0V?E, +k?E, =0矢量方程标量方程纵向场横向场V?H, +H,=0V?H, +k'H, = 010

10 ( , , ) ( , , ) ( , , ) E z E z i E z         t z z ( , , ) ( , , ) ( , , ) H z H z i H z         t z z 在广义正交柱坐标系下，可将电场 E 和磁场 H 进行如下分解： 由此可将矢量Helmholtz方程分解为一个矢量方程和一个标量方程： 2 2 2 2 0 0 t t t t E k E H k H          2 2 2 2 0 0 z z z z E k E H k H          矢量方程 横向场 标量方程 纵向场     2 2 2 2 2 2 2 2 t z z t z z t z z t z z E E i E E i E H H i H H i H                     t 表示横向 （transverse） §3.1.2 规则波导导波场分析（续3）