信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 实际上,任意函数都可分解为奇函数和偶函数 两部分,即f(t)=f(+f,(t 由于f(-t)=fa(-t)+f。、()=-fo(t)+f(t)所以 f(0)=0=f(0,0=0+C2 3.ft为奇谐函数—f(t)=-f(t±T/2) f(t) 此时其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量,而不含偶次谐波分 0T/2 T t 量即a0=a2=…=b2=b:=…=0 第42页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-21页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t od 2 ( ) ( ) ( ) f t f t f t e v 3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2) f(t) t 0 T/2 T 此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0 =a2 = … =b2 =b4 = … =0 实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数 两部分，即 f(t) = f od (t) + f ev(t) 由于f(-t) = f od (-t) + f ev(-t) = -f od (t) + f ev(t) 所以
信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 、傅里叶级数的指数形式 角形式的傅里叶级数,含义比较明确,但运 算常感不便,因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 可从三角形式推出:利用cosx=(eix+e-)2 f(t) Ao +∑ A cOS(n2t+n) n=1 +∑[e1+0)+e(0+1 +∑4,e"em+∑4 JPno-inS2t ee 第422页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-22页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 三、傅里叶级数的指数形式 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运 算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 可从三角形式推出：利用 cosx=(e jx + e –jx)/2 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 1 0 ( ) ( ) [e e ] 2 n 2 n j n t j n t n n A A 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j jn t n n j jn t n n n A A A
信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 上式中第三项的n用一n代换,因为An=An,qn=-φn 则上式写为 +∑ ne nQ2 t ine2 t 令A=Ae9o,q=0 所以 JOng nS2t n=-00 令复数1 enel n=Ee 称其为复傅里叶系数,简称傅里叶系数 第423页144 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-23页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 上式中第三项的n用–n代换，因为A– n =An，– n = – n 则上式写为 1 1 0 e e 2 1 e e 2 1 2 n j jn t n n j jn t n n n A A A 令A0 =A0e j0，0 =0 n j jn t n n f t A e e 2 1 ( ) 所以 令复数 n n j An F F n n e e 2 1 称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数
信号与系统电都 4.2傅里叶级数 Jp (An COS n+Ja, sin omn)=(a,-jbmn) f(t)cos(ns2tdt-jm f(t)sin(nsr )dt pFF(tener d t 指数型傅立叶级数为()=∑Fem 2 复傅立叶系数为 T(te jinn dt 2 0,士1,土2, 表明:任意周期信号(可分解为许多不同频率的虚指数信号之 和。F0=A0/2为直流分量 44贝|4 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-24页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 ( ) 2 1 ( cos sin ) 2 1 2 1 n n n n n n j n n F A e A jA a jb n 2 2 2 2 2 2 ( ) e d 1 ( )sin( ) d 1 ( ) cos( ) d 1 T T jn t T T T T f t t T f t n t t T f t n t t j T n jn t Fn f (t) e n = 0, ±1, ±2，… 2 2 ( )e d 1 T T jn t n f t t T F 表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之 和。 F0 = A0 /2为直流分量。 指数型傅立叶级数为 复傅立叶系数为
信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 指数型傅立叶级数也可以写为 ()=∑Fem=∑F j(n2t+(n2) =F+∑2 F cos(ng+q,) 由此可见,三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不 同,实际上性质相同,都表示将一周期信号分解为直流分 量和各次谐波分量的和。把 的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱,虽然出现了负的分 量,但只是将n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之 和。 42贝|4 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-25页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 的关系分别称为双边振幅频谱和相位频谱，虽然出现了负的分 量，但只是将n次谐波的正弦分量写为两项虚指数函数分量之 和。 指数型傅立叶级数也可以写为 由此可见，三角傅立叶级数和指数傅立叶级数虽然形式不 同，实际上性质相同，都表示将一周期信号分解为直流分 量和各次谐波分量的和。把 2 cos( ) ( ) 1 0 ( ) n n n n j n t n n jn t n F F n t f t F e F e n F n n n n n ~ , ~