西安电子科技大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第4章 连续系统的频域分析（2/2）

信号与系统起4.1信号分解为正交函数 为使上式最小,求导数 a8. ∫[(0)-2c,9、() dt=0 aC. aC 展开上式中的被积函数,并求导。其中只有两项不为0, aC 212 [-2C1f(t)1(t)+Cq2(D)dt=0 2f(ro, (tdt+2C(r)dt=0 所以系数/)(Od 122(tdt f(to ( tdt K.Jt 第4页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第4-11页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 为使上式最小，求导数 [ ( ) ( )] d 0 2 1 1 2 2          t t n j j j i i f t C t t C C   展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为0，       2 1 [ 2 ( ) ( ) ( )]d 0 2 2 t t i i i i i C f t t C t t C   即      2 1 2 1 2 ( ) ( ) d 2 ( ) d 0 2 t t i i t t i f t  t t C  t t 所以系数      2 1 2 1 2 1 ( ) ( )d 1 ( )d ( ) ( )d 2 t t i i t t i t t i i f t t t t t K f t t t C   

信号与系统起4.1信号分解为正交函数 最小均方误差(推导过程见教材) f()d-∑Ck20 当用正交函数去逼近f时,取的项数越多,即n越大,则均方误 差越小。当n→∞(为完备正交函数集)时,均方误差为零。有 ∫(0d=∑CK ● 称为( Parseval泊塞瓦尔公式。表明:在区间(t,t2)f(所含能量 恒等于貿在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 函数t可分解为无穷多项正交函数之和 f()=∑C0(t) 第4页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第4-12页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 最小均方误差（推导过程见教材） [ ( )d ] 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1       n j j j t t f t t C K t t  当用正交函数去逼近f(t)时，取的项数越多，即n越大，则均方误 差越小。当n→∞（为完备正交函数集）时，均方误差为零。有      1 2 2 2 1 ( )d j j j t t f t t C K 称为(Parseval)泊塞瓦尔公式。表明：在区间(t 1 ,t 2) f(t)所含能量 恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。     1 ( ) ( ) j j j f t C  t 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和

信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 4.2傅里叶级数 、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t),其周期为T,角频率Ω=2π/T,当 满足狄里赫利( Dirichlet)条件时,它可分解为如下三角级 数—称为f(t的傅里叶级数 f()=0+∑ a. cOs(ng2)+∑ b sin(n2) Ω2称为基波角频率,系数an,b称为傅里叶系数 角函数集{1,cos(n2t,sin(nΩ2t},n=1,2,.为(0,T) 上完备正交函数集。 第4页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第4-13页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 4.2 傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式 设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当 满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 。            1 1 0 cos( ) sin( ) 2 ( ) n n n n a n t b n t a f t 系数an , bn称为傅里叶系数 三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)}，n=1,2,…为（0，T) 上完备正交函数集。 称为基波角频率

信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 71( f(tcos(nQt)dt, n=1, 2, f(tsin(net)dt, n=1, 2, 积分区间可取(0,T)或(to,tn+T。因此,只要求 出系数anbn,即可得到f(t)的三角级数展开式。 从表达式可见,an是n的偶函数,b是n的奇函数。 414 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第4-14页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 ( ) cos( )d ， 1,2， 2 2 2     f t n t t n T a T n T ( )sin( )d ， 1,2， 2 2 2     f t n t t n T b T n T 从表达式可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。   2 2 0 ( )d 2 T T f t t T a 积分区间可取(0,T)或(t0 ,t0+T)。因此，只要求 出系数an ,bn ,即可得到f(t)的三角级数展开式

信号与系统电来案 4.2傅里叶级数 将上式同频率项合并,可得到 f()=+∑ A,, coS(nQ2+qn) 上式表明,周期信号可分解为直流和许多余弦分 量。其中,A0/2为直流分量; A1cos(9t!p1)称为基波或一次谐波,它的角频率与原周 期信号相同; A2c0S(29q2)称为二次谐波,它的频率是基波的2倍; 般而言, A cos(n2tpn)称为n次谐波 C西安电子科技大学电路与系统教研中心

信号与系统 第4-15页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.2 傅里叶级数 将上式同频率项合并，可得到        1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t  上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分 量。 其中， A0 /2为直流分量； A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周 期信号相同； A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(nt+n )称为n次谐波