信号与系统电来案 第四章连续系统的频域分析 4.1信号分解为正交函数 矢量正交与正交分解 矢量Ⅴ=(vx,Vx2,Vx3)与Ⅴy=(vy,vy2,Vy3)正交的定义: 其内积为0。即 y=∑ 0 由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为正交矢量集 第46贝14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-6页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 第四章 连续系统的频域分析 4.1 信号分解为正交函数 一 、矢量正交与正交分解 矢量Vx = ( vx1 , vx2 , vx3)与Vy = ( vy1 , vy2 , vy3)正交的定义： 其内积为0。即 0 3 1 i xi yi T x y V V v v 由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集
信号与系统起4.1信号分解为正交函数 如三维空间中,以矢量 (2,0,0)、ⅴ=(0,2,0)、v=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集 例如三维空间的矢量A=(2,5,8),可以用一个三维 正交矢量集{vvy,v分量的线性组合表示。即 A=v+2.5v. +4 v 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间,在信 号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号, 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组 第47页14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-7页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 如三维空间中，以矢量 vx =（2，0，0）、vy =（0，2，0）、vz =（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。 例如三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维 正交矢量集{ vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即 A= vx + 2.5 vy + 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信 号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号， 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组 合
信号与系统电来4.1信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 定义: 定义在(t1,t2)区间的两个函数φ1(t)和φ2(t,若满足 ∫。0(m2(O)dt=0(两函数的内积为0) 则称p(和q2(t)在区间(t1,t1)内正交。 2.正交函数集: 当这些函数在区间〔t,t)内满足a(构成一个函数集, 若n个函数{φ1(t),φ2(t),…, (t)01(t)dt K:≠0 则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集 第48贝14 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-8页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 二、信号正交与正交函数集 1. 定义： 定义在(t 1，t 2)区间的两个函数 1(t)和 2(t),若满足 2 1 ( ) ( ) d 0 * 1 2 t t t t t (两函数的内积为0) 则称 1(t)和 2(t) 在区间(t 1，t 2)内正交。 2. 正交函数集： 若n个函数{ 1(t)， 2(t)，…， n (t)}构成一个函数集， 当这些函数在区间(t 1，t 2)内满足 2 1 0, 0, ( ) ( )d * t t i i j K i j i j t t t 则称此函数集为在区间(t 1，t 2)的正交函数集
信号与系统起4.1信号分解为正交函数 3完备正交函数集: 如果在正交函数集{q(t),φ2(t),…,φn(t}之外, 不存在函数q(t)(0)满足 q(t)o、(t)dt=0(i=1 则称此涵数集为完备正交函数集。 例如:三角函数集{1,cos(n92t,sin(nΩ?t),n=1,2,}和 虚指数函数集{ei,n=0,±1,±2,…}是两组典型的 在区间(t,t+T)(T=2m/92)上的完备正交函数集。 第49贝1 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-9页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 3. 完备正交函数集： 如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n (t)}之外， 不存在函数(t)(≠0）满足 则称此函数集为完备正交函数集。 例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 和 虚指数函数集{e jnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型的 在区间(t 0，t 0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。 2 1 ( ) ( ) d 0 t t i t t t ( i =1，2，…，n)
信号与系统起4.1信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 2构成一个正交函数集。任函数o(,t)用这m个 正交函数的线性组合来近似,表示为 f(t)C191+C2q2+…+Cnn 如何选择系数C使f(与近似函数之间误差在区 间(t,t2)内为最小? 通常选误差的方均值(均方误差),使之最小。 ∫[(0)-∑c9)dt 404 C西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 第4-10页 ■ ©西安电子科技大学电路与系统教研中心 电子教案 4.1 信号分解为正交函数 三、信号的正交分解 设n个函数{ 1(t)， 2(t)，…， n (t)}在区间(t1， t2)构成一个正交函数集。任一函数f(t)(t 1，t 2)用这n个 正交函数的线性组合来近似，表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn 如何选择系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区 间(t 1，t 2)内为最小？ 通常选误差的方均值(均方误差)，使之最小。 f t C t t t t t t n j [ ( ) j j ( )] d 1 2 1 2 2 1 1 2