第3章函数通近与曲线拟合 ·63· 事实上，令x=cos9,则dx=一sind0,于是 (0,n≠m: 了TeT2k-eos0 ocomd的=径，n=m≠0： -1 √1-x π，n=m=0. 性质3Tu(x)只含x的偶次幂，T+1(x)只含x的奇次幂， 这性质由递推关系直接得到. 性质4T.(x)在区间[-1,1]上有n个零点 -os2,k=1,2 此外，实际计算中时常要求x用T。(x),T(x),,T(x)的线性组合表示，其公 式为 [] x”=2- (2).. (3.23) 这里规定T。(x)=1,n=1,2,…,6时的结果如下. 1=T(x), x=Ti(z), (T.(z)+T;()), x=(3T(x)+T(x), x=8(3T(x)+4T,(x)+T(x), x=G10T(x）+5T(x)+T,(x), x=32(10T(x)+15T:(x)+6T,(x)+T,(x). 3.3.4其他常用的正交多项式 一般来说，如果区间[a,b们及权函数p(x)不同，则得到的正交多项式也不同.除上 述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式. l.第二类Chebyshev多项式 在区间[-l,l]上带权p(x)=√I一x的正交多项式称为第二类Chebyshev多项 式，其表达式为 U.()-sin[(n+1)arccosz] (3.24) √1-x
·64· 数值分析（第2版） 令x=cos0,可得 U.(xU-(z)/I-dr-S.sin(n+10sin(m+100- 0,m≠n: 2,m=n, 即{U.(x)}是[一1,1]上带权/I一x的正交多项式族.还可得到递推关系式 U(x)=1,U1(x)=2x, U1(x)=2xU.(x)-U-1(x),n=1,2,… 2.Laguerre(拉盖尔)多项式 在区间[0，十o∞)上带权e的正交多项式称为Laguerre多项式，其表达式为 L)=e(xe. (3.25) 它也具有正交性质 m≠n: 0.Ldx={代，m=黑 和递推关系 L(x)=1,L(x)=1-x, Lt1(x)=(1+2n-x)L(x)-n2L,1(x),n=1,2,…. 3.Hermite(埃尔米特)多项式 在区间（一o∞，十o∞）上带权e的正交多项式称为Hermite多项式，其表达式为 Ha)-(1re是e (3.26) 它满足正交关系 0, ∫redH.(xH.(d= m卡n 2nlW元，m=n, 并有递推关系 H(x)=1,H(x)=2x, H1(x)=2xH.(x）-2nHn1(x),n=1,2,… 3.4用正交函数系作最佳平方逼近 若(g(x)}(k=0,1,2,…)是带权p(x)正交的函数系，即 (g,g)=Jp(x)g(xg(x)=0G≠)