·58· 数值分析（第2版） 于是方程组(3.8)的系数矩阵为 1 n+1 H= 2 3 n+2 (3.11) n+n+22m+] 这个矩阵称为Hilbert(希尔伯特)矩阵，记d=（d,d1,…,d.)T,a=(a。,a1,…an)T,则 Ha=d (3.12) 的解au=a(k=0,l,2,…,n)即为所求. 例3.1定文内积f,B）=F✉g).试在H,=span(1,中寻求对于 f(x)=√丘的最佳平方通近元素P(x). 解这里实际上要求的是(0,1)上的一次最佳平方通近多项式P(x) 利用式(3.12)求出d=(d,d)T. 4=f,)=小Edr=号4=，)-Edz-号， 得法方程组为 解得a一言i-号所求的最佳平方逼近元素为 P(x)=希+号，0<x<1. 平方误差 I8=n-2om）=a-2ad, =-×号-号×号=-0.o022 对于一般的基底%，9，，P,当n稍大时，计算法方程组中的(9，%)以及求解法 方程组的计算量都是很大的，若采用1，x,·,x作基底，当p(x)三1时，虽然(p,%)= (丈，x)容易计算，但由此形成的法方程组系数矩阵(3.11)当n≥4时是病态矩阵，用单 字长在计算机上求解法方程组，其结果往往不太可靠，为避免上述的弊端，可采用正交 基底.为此，先介绍正交多项式
第3章函数温近与曲线拟合 ·59· 3.3正交多项式 定义3.7若首项系数a.≠0的n次多项式g.(x),满足 0, j卡k, pgaa=A>0,-,k=012m 就称多项式序列g(x),g(x),…在[a,b]上带权p(x)正交，并称g,(x)是[a,b]上带权 p(x)的n次正交多项式. 定理3.3设g(x)(k=0,1,2,…)是k次多项式，则多项式系{g(x)》是[a,b]上 带权(x)的正交多项式系的充分必要条件是，对任何次数不超过(k一1)的多项式 P(x),都有(x)P(x)g:(x)dz=0(k=1,2,…),即g4(x)与任何次数不超过(k-1) 的多项式P(x)在[a,b]上带权p(x)正交. 3.3.1正交多项式的性质 设{g(x)}为[a,b]上的正交多项式序列，其中g:(x)为k次正交多项式，则具有下 列基本性质. 性质1{g.(x)》是线性无关的. 性质2g:(x)的零点都是实的、相异的（即单重的），且全部在区间(a,b)内部. 性质3首项系数为1的正交多项式序列(g:(x)》中任何相邻3个多项式 8-(x8(x),g+1(x),存在如下递推关系： g+(x)=(x-a+1)g(x)-bg-1(x),k=1,2,…, (3.13) 其中a4,b都是与x无关的常数，且 a-gk=01,2 (3.14) (g4,g:) 6。=0,6=g2g)'6=12,… 一般说来，当权p(x)及区间[a,b们给定后，就可构造出正交多项式，下面我们介绍 几类， 3.3.2 Legendre(勒让德)多项式 当区间为[一1,1门，权函数p(x)=1时，由{1，x,…,x,…}正交化得到的多项式就 称为Legendre(勒让德)多项式，并用P(x),P(x),…,P.(x),…表示.这是Legendre 于1785年引进的.1814年Rodrigul(罗德利克)给出了简单的表达式 B)=1,R.）=a壶-，n=12,, (3.15)
·60· 数值分析（第2版） 由于(x2-1)"是2n次多项式，求n阶导数后得 R.(x)=2a(2m)(2n-1)(n+1Dx+a-1r1+…+a, 于是得首项r的系数a,=瓷显然最高项系数为1的Lkde多项式为 .a=c-1 (3.16) Legendre多项式有下述几个重要性质. 性质1正交性 0, LP.()P-()ir- m≠n: 2 (3.17) (2n+1'm=n 证明令p(x)=(x2-1),则· p®（±1）=0，k=0,1,2,,n-1. 设Q(x)是在区间[一1,1]上有n阶连续可微的函数，由分部积分知 八P(eax=0xpea (()ds ds 下面分两种情况讨论， (1)若Q(x)是次数小于n的多项式，则Q0(x)=0,故得 P.(xR.(x)d证=0，当n≠m (公者Qa)=P()-a-r+, (-P ( 于是 ∫awa=2-=,a-r 由于 儿1-rr-cosa=e 2·4·…·(2n)
第3章函数通近与曲线拟合 ·61· 八P(x)dz=2n中' 于是式(3.17)得证. 性质2奇偶性 P.(-x)=(-1)"P.(x). (3.18) 由于(x)=(x2一1)"是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求 导则为奇次多项式，故n为偶数时P.(x)为偶函数，n为奇数时P,(x)为奇函数，于是式 (3.18)成立. 性质3递推关系 考虑n+1次多项式xP(x),它可表示为 xPn(x)=aP(x)+a1P1(x)+…十a+iP+(x) 两边乘P.(x),并从一1到1积分，得 SxP.(2P.(z)dz-aPi(z)dz. 当k≤n一2时，xP.(x)次数小于等于n一1，上式左端积分为0，故得a4=0.当k=n 时，xP(x)为奇函数，左端积分仍为0，放a.=0.于是 xP.(x）=a-1P.-1(x)十a1P+1(x), 其中 a-2a2R(ap-a)=n2·n7=2 Zn a=2a士R.✉Pa -如士·n+ 2(n+1) 2 从而得到以下的递推公式 (n+1)P(x）=(2n+1)xP.(x)-nP.1(x）,n=1,2,…, (3.19) 由P(x)=1,P1(x)=x,利用式(3.19)就可推出 P(x)=(3x2-1)/2, P,(x)=(5x3-3x)/2, P,(x)=(35x-30x2+3)/8, P(x)=(63x5-70x3+15x)/8, P,(x)=(231x5-315x+105x2-5)/16, 图3.1给出了P。(x),P1(x),P2(x),P(x)的图形
·62· 数值分析（第2版） 性质4P.(x)在区间[-1,1]内有n个不同 的实零点 P() 性质5在所有最高项系数为1的n次多项 式中，Legendre多项式P.(x)在[-1,1]上与零的 平方误差最小. 3.3.3切此雪夫(chebyshev)多项式 当权函数p(x)= √-专区间为[-1,1订时， 1 由序列{1，x,,x”,…}正交化得到的正交多项式 图3.1 就是Chebyshev(切比雪夫)多项式，它可表示为 T.(z)=cos(narccosz),1.(3.20) 若令x=cos0,则T,(x)=cosn0,0≤≤x. Chebyshev多项式有很多重要性质， 性质1递推关系 T+1(x)=2xT,(x)-T-1(x),n=1,2, T(x)=1,T1(x)=x (3.21) 这只要由三角恒等式 cos(n+1)8=2cos0cosn8-cos(n-1)8(n≥1)， 令x=cos0即得.由式(3.21)就可推出 T2(x)=2x2-1, T(x T3(x)=4x3-3x, T T(x)=8x-8x2+1, Ti(x) T5(x)=16x3-20x3+5x, T6(x)=32x-48x+18x2-1, T。(x),T1(x),T2(x),T(x)的函数图形见图 3.2. 由递推关系(3.21)还可得到T.(x)的最高次项系 图3.2 数是2-1(n≥1). 性质2 Chebyshev多项式{T(x)}在区间[-l,l]上带权p(x)=1I-x正交，且 0,n≠m: √I-x2 2,n=m≠0； (3.22) n=m=0