此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即： {x,y,z}=v{x(u),y(u),z(u)}+(1-v){,o,zo} x=vx(u)+(1-v)xo y=vy(u)+(1-v)yo z=vz(u)+(1-v)zo 此为锥面的坐标式参数方程，4，y为参数。 §4.3旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： (1): x-1=y+1_2-1绕=上=一1旋转 1-12°1-12 (20: ==-绕==二旋转 21-11-12 (3) X一1-二=号绕2轴旋转： 1-33 2=x2 (4)空间曲线 绕z轴旋转。 x2+y2=1 解：()设M,(G,水，2)是母线一="+↓=二上任一点，过M的纬圆为： 1-12 (x-x)-(y-4)+2(z-z)=0 () x2+y2+(z-102=x2+2+(6-102 (2) 又M,在母线上。 -+1=名-1 1-12 从(1)一(3)消去，乃，乙，得到： 5x2+5y2+2z2+2y+4yz-4xz+4x-4y-4z-8=0 此为所求的旋转面方程。 (2)对母线上任一点M,(x,片，z),过M1的纬圆为： (x-x)-(y-y)+2(z-)=0 (①) 2+y2+(z-1)2=x2+y2+(a-1)2 (2)
因M在母线上， =业=3- (3) 21-1 从(1)—(3)消去x,,乙，得到： 5x2+5y2+23z2-12xy-24z+24xz-24x+24y-46z+23=0 此为所求的旋转面的方程。 (3)对母线上任一点M(x,y,z),过该点的纬圆为： z=Z (1) x2+y2+z2=x2+y2+z2 (2) 又M在母线上，所以： -1=五= (3) 1-33 从(1)—(3)消去x,,3,得到： 9(x2+y2)-10z2-6z-9=0 此为所求的旋转面方程。 (4)对母线上任一点M(x,,),过M1的纬圆为： z=21 (①) x2+y2+z2=x2+y2+z2 (2) 又M在母线上，所以 3=x2 (1) x2+2=1 (2) 从(1)一(3)消去，，，得到： x2+y2=1 z=Z1=x2≤1.0≤z≤1 即旋转面的方程为：x2+y2=1(0≤z≤1) 2、将直线士='一卫-绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就Q,B可能的值讨论这是什 a01 么曲面？ 解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点M1(x,,),过M1的纬圆为：
2= (1) x2+y2+z2=2+y2+z2 (2) 又 ￥=乃-卫= (3) a0-1 从(1)—(3)消去x,,乙，得到： x2+y2-a2z2-B2=0 此即为所求旋转面的方程。 当a=0,B≠0时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴）： 当α≠0，阝=0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点）： 当a,阝≠0时，旋转面变为z轴： 当α=0，B≠0时，旋转面为单叶旋转双曲面。 3、已知曲线「的参数方程为x=x(u),y=y(u),z=z(),将曲线厂绕z轴旋转，求旋转曲 面的参数方程。 解：图，设M(x(W),y(),z(u)为T上任一点，则对经过M的纬圆上任一点p(x,y,z), 令p在xoy面上的射影为p' 令∠(i,0p)=0,则y=op=0p'+p'p M(x(),y(u),z(u) 而p=Vx2(0)+y2( 0 op=x2(u)+y2(u)cos0.+x(u)+y2(u)sin0.j p 而pp=z(u)k =x(u)+y(u)cos0+x(u)+y(u)sin0.j+z(u)k 此即为旋转面的矢量式参数方程，4，v为参数。 其坐标式参数方程为： x=/x2(u)+yi(u)cos0 y=x'(u)+y(u)sin0 (0≤0<2π) 2=z(u)