江苏科技大学：《船舶结构力学》课程教学资源（教案讲义）第九章 矩形板的弯曲理论

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论2、简形板的复杂弯曲5fy图9-4横骨架式甲板板与船底板，受横向载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力（中面力），在这种情况下仍将发生筒形弯曲，在板中取出板条梁将处于复杂弯曲状态，板条梁复杂弯曲的微分方程式及基本关系式为：Dw(4) + Tw"= qDw"=M（式中T前“-”拉力，“+”压力）(9-10)Dw"Tw'=N1 FEt3D=E,I=u=2VD12(1-μ)注：板条梁的弯曲要素与单跨梁的复杂弯曲情况下的弯曲要素完全一样，查附录B5 ql*1vC-Jo(u)384 D例如：两端自由支持的板条梁，梁的中点挠度与弯矩分别为：(9-11)q12MCgo(u)82Et31 T,D=EI=式中：u=2 VD12(1-μ)6M.板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力的代数和，即：mx=。+t2梁的复杂弯曲中曾指出，船体中的梁刚度EI较大故而参数u的值很小（一般u≤0.5），从而辅助函数接近于1，因此实际计算时可以不计轴向力对弯曲要素的影响。对船体板，因板厚不大，板条梁的刚度D较小，使得板条梁在复杂弯曲时的参数u相当大（对一般海船板条梁的u比梁的u值大10倍左右）辅助函数与1相差很大，因此中面力对板的影响很大不可忽略。中面拉力它将减小板的弯曲应力，是有利的：中面压力它将增大板的弯曲应力，是不利的。计算步骤：筒形弯曲？D代替EI受中面力柔性板板条梁复杂弯曲单跨梁（查表B）是中面力已知5

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 5 2、筒形板的复杂弯曲 横骨架式甲板板与船底板，受横向载荷外还在长边受到作用于板平面内的均布的总弯曲应力（中面 力），在这种情况下仍将发生筒形弯曲，在板中取出板条梁将处于复杂弯曲状态，板条梁复杂弯曲的 微分方程式及基本关系式为： (4) Dw Tw q Dw M Dw Tw N          （式中 T 前“  ”拉力，“+”压力） （9-10） 2 l T u D  ， 3 1 2 12(1 ) Et D E I     注：板条梁的弯曲要素与单跨梁的复杂弯曲情况下的弯曲要素完全一样，查附录 B 例如：两端自由支持的板条梁，梁的中点挠度与弯矩分别为： 4 0 2 0 5 ( ) ( ) 2 384 ( ) ( ) 2 8 l ql v f u D l ql M u     （9-11） 式中： 2 l T u D  ， 3 1 2 12(1 ) Et D E I     板条梁的总应力为弯曲应力与中面应力的代数和，即： max max 0 2 6M t    梁的复杂弯曲中曾指出，船体中的梁刚度 EI 较大故而参数 u 的值很小（一般 u  0.5 ），从而辅 助函数接近于 1，因此实际计算时可以不计轴向力对弯曲要素的影响。对船体板，因板厚不大，板 条梁的刚度 D 较小，使得板条梁在复杂弯曲时的参数 u 相当大（对一般海船板条梁的 u 比梁的 u 值 大 10 倍左右）辅助函数与 1 相差很大，因此中面力对板的影响很大不可忽略。中面拉力它将减小板 的弯曲应力，是有利的；中面压力它将增大板的弯曲应力，是不利的。 计算步骤： 受中面力柔性板 筒形弯曲？ 是 板条梁 D EI 代替 中面力已知 复杂弯曲单跨梁（查表 B）

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论例：设有一两端自由支持的板条梁，1=1000mm,t=10mm,受均布荷重g=0.05N/mm2，并有中面应力。=100N/mm2，计算此板条梁的最大应力。材料的弹性模数E=2×10°N/mm2。1[12(1 - μ)00 = 3.710ot解：假设为拉应力，计算参数u：u2VD2iVE由附录表B-3得P(u)=0.14,ql?1x0.05x1000*×0.14=-875N.mm/mm则板条梁终点的最大弯矩为：MCPo(u)=8826M.6x87552.5N/mm2最大弯曲应力为：Obmaxt102最大的总应力为：0max=0。+Obmax=152.5N/mm2:-6250N·mm分析：如果板不受中面力，则板条梁的最大弯矩为：MC-X6M375N/mm2）235N/mm最大的总应力为：Omax12Et3=1.83x10'N/mm2D=E,I=12(1-μ)5qlt=35.6mm梁中点的挠度“)384D结论：板若无中面拉力，就不能承受g=0.05N/mm2的横向荷重，更不能承受中面压力。中面力对弯曲要素的影响：①、中面拉力对变形有利：中面压力对变形不利：1oot②、板条梁的长影响大，u=2VD③、板的复杂弯曲，中面力对板的弯曲要素的影响显著：（板的D很小、u>>0.5辅助函数和1相差较大，中面力不能忽略）讨论：从例题可以看出：（1）中面拉力对板的承载起了很大的作用：V（2）如果没有中面力，板在横载荷下就会发生很大的应力和变形：X（3）板似乎不能承受中面压力。×对于（2）（3），由于骨架相当强，板不能自由趋近，因此，板变形会自身产生中面力。6

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 6 例：设有一两端自由支持的板条梁， l 1000mm,t 10mm, 受均布荷重 2 q  0.05N/mm ，并有中 面应力 2 0  100N/mm ，计算此板条梁的最大应力。材料的弹性模数 5 2 E  2 10 N/mm 。 解：假设为拉应力，计算参数 u ： 3.7 12(1 ) 2 2 0 2 0     t E l D l t u    由附录表 B-3 得 0 (u)  0.14， 则板条梁终点的最大弯矩为： 2 2 0 1 ( ) ( ) 0.05 1000 0.14 875N mm/mm 2 8 8 l ql M u            最大弯曲应力为： 2 max 2 2 6 6 875 52.5N/mm 10 b M t      最大的总应力为： 2 max 0 max       b 152.5N/mm 分析： 如果板不受中面力，则板条梁的最大弯矩为： 1 2 2 ( ) 6250N mm 2 8 l M ql      最大的总应力为： 2 max 2 6 375N/mm M t    〉 2 235N/mm 3 7 2 1 2 1.83 10 N/mm 12(1 ) Et D E I       梁中点的挠度 4 5 ( ) 35.6mm 2 384 l ql w D   结论：板若无中面拉力，就不能承受 2 q  0.05N / mm 的横向荷重，更不能承受中面压力。 中面力对弯曲要素的影响： ①、中面拉力对变形有利；中面压力对变形不利； ②、板条梁的长影响大， D l t u 0 2   ③、板的复杂弯曲，中面力对板的弯曲要素的影响显著；（板的 D 很小、 u  0.5 辅助函数和 1 相 差较大，中面力不能忽略） 讨论：从例题可以看出： （1）中面拉力对板的承载起了很大的作用；√ （2）如果没有中面力，板在横载荷下就会发生很大的应力和变形；  （3）板似乎不能承受中面压力。  对于（2）（3），由于骨架相当强，板不能自由趋近，因此，板变形会自身产生中面力

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论3、筒形板的大度弯曲解释图9-7，图9-8板弯曲时支座对板边的趋近有阻碍作用，因而产生中面力，该中面力是未知的（静不定的中面力），需要根据弯曲变形的大小来决定。下面具体讨论中面力与挠度之间的关系：在板条梁中取一长度为dx的微段，变形厚的长度为ds，( d) = dr 1+((dw)ds2 = dx2 +(dxdxdx~1+ds=1+/dx=dx+-w"2dx21w'2dx微段变形后的伸长量：ds一dx：2wdx整个梁的伸长量：△s=2JAs.-T设板条梁长度方向的应变为8，则：6TEE,TI"w"dx(9-15)E,t确定静不定纵向力的补充方程，板在筒形弯曲时的变形协调方程（中面力与挠度的关系）将上式中带入板条梁的复杂弯曲微分方程式Dw(4)-Tw"=q求出挠曲线方程w(x)，再回代到上式求得中面力T。21chu(1ql4ql'x（1)、板条梁两端自由支持受均布荷重时：w(x)=(1-x)16uD8u'Dchu927 th'u135135thu将w(x)代入（9-15）式积分得：(9-17)16u8u16u°16u82xchu(1-ql4ql'x11（2)、板条梁两端刚性固定受均布荷重时：w(x)=(I- x)8u'D16u'Dthuchu7

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 7 3、筒形板的大挠度弯曲 解释图 9-7，图 9-8 板弯曲时支座对板边的趋近有阻碍作用，因而产生中面力，该中面力是未知的（静不定的中面 力），需要根据弯曲变形的大小来决定。下面具体讨论中面力与挠度之间的关系： 在板条梁中取一长度为 dx 的微段，变形厚的长度为 ds ，                   2 2 2 2 2 ( ) 1 dx dw dx dx dx dw ds dx 2 2 2 1 1 1 2 1 2 dw dw ds dx dx dx dx dx w dx                               微段变形后的伸长量： 1 2 2 ds dx w dx    整个梁的伸长量： 2 0 1 2 l  s w dx   设板条梁长度方向的应变为 x  ，则： 0 1 1 x s T l E tE       2 0 1 1 2 Tl l w dx E t    （9-15） ——确定静不定纵向力的补充方程，板在筒形弯曲时的变形协调方程（中面力与挠度的关系） 将上式中带入板条梁的复杂弯曲微分方程式 (4) Dw Tw q    求出挠曲线方程 w(x) ，再回代到上式 求得中面力 T 。 （1）、板条梁两端自由支持受均布荷重时： 4 2 4 2 2 (1 ) ( ) 1 ( ) 16 8 x chu ql ql x l w x l x u D chu u D                将 w(x) 代入（9-15）式积分得： 2 8 2 2 9 8 3 6 135 27 135 9 (1 ) 16 16 16 8 E t thu th u  q l u u u u                  （9-17） （2）、板条梁两端刚性固定受均布荷重时： 4 2 3 2 2 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) 16 8 x chu ql ql x l w x l x u D thu chu u D               

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论8127279E将w(x)代入（9-15）式积分得：(9-19)16u'thu16ushu4u8u(1-μ)q4u'DT由（9-17）及（9-19）求得u后，板的中面力为：712H以 bg10 * JU实际应用中我们查表求u，具体见表9-7、表9-8所示。令：U=1-为竖轴，以u为水平轴绘出log10*Ju～u的关系曲线。.5+:4et因11na山a推线A-出线A#自014自线B-南4到5：山线C#车用12结论：当板的柔性大（1个,t），且外载荷大时，中面力增加（U,u个,T个)；当板的柔性小（1,个)，且外载荷小时，中面力减小（U个,u,T）：简形板的大挠度弯曲的计算步骤：E1、求U=a-)g2、查log104/U~u曲线得u：3、求T=4u°D124、板条梁的复杂弯曲求解。8

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 8 将 w(x) 代入（9-15）式积分得： 2 8 2 7 6 2 8 6 81 27 27 9 (1 ) 16 16 4 8 E t  q l u thu u sh u u u                   （9-19） 由（9-17）及（9-19）求得 u 后，板的中面力为： 2 2 4u D T l  。 实际应用中我们查表求 u ，具体见表 9-7、表 9-8 所示。令： 2 8 2 (1 ) E t U  q l               ，以 4 log10 U 为竖轴，以 u 为水平轴绘出 4 log10 ~ U u 的关系曲线。 结论：当板的柔性大（ l ,t  ），且外载荷大时，中面力增加（ U ,u ,T  ）； 当板的柔性小（ l ,t  ），且外载荷小时，中面力减小（ U ,u ,T  ）； 筒形板的大挠度弯曲的计算步骤： 1、 求 l K t q E U 1 (1 ) 2 8 2                 ； 2、 查 log10 U ~ u 4 曲线得 u ； 3、 求 2 2 4 l u D T  ； 4、 板条梁的复杂弯曲求解

《船舶结构力学》讲稿第九章矩形板的弯曲理论例：前面例题，如无中面力，计算板有弯曲变形而产生的中面力，并计算板的应力和变形。E计算出U：解：先按公式U(1-1-22×105=19.32×10-4(1-u)g(1-0.32)x0.05100log104/U=log439.5=2.643查图9-7得u=2.604×2.62×2×105×103T=4u'D12(1-0.3)=495N1210002T495=49.5N/mm2C。tx1105ql查附录B的板条梁中点最大的挠度与弯矩为：384岁6(u)=9.51mmql?MC-(u)=-1590N·mm/mm826M95.4N/mm2ObmaxOmx =O。+b,max =144.9N/mm2讨论：1、实际结构应是介于完全可以自由趋近与完全不可趋近之间，因此实际结构中的中面力应比上式计E算的结果要小，为考虑这点令U式中：K称为“支撑系数”在0到1之间(1-μ2)gK变化：①、K=1时，表示板边完全不可趋近：②、0<K<1时，板可以趋近一些但不可完全趋近，这时U比K=1时的U要大些，从而u减小，即板的中面力小些；③、K=0时U→u=0，表示板没有中面力实际中当0<K<1时，对中面力的影响不太大，只有K=0,1时影响大些两者的辅助函数相差不大，一般计算时取K=0.59

《船舶结构力学》讲稿 第九章 矩形板的弯曲理论 9 例：前面例题，如无中面力，计算板有弯曲变形而产生的中面力，并计算板的应力和变形。 解：先按公式 2 8 2 (1 )               l t q E U  计算出 U ： 4 2 8 2 5 2 8 2 19.32 10 100 1 (1 0.3 ) 0.05 2 10 (1 )                                  l t q E U  log10 log 439.5 2.643 4 U   查图 9-7 得 u  2.60 N l u D T 495 1000 12(1 0.3 ) 2 10 10 4 2.6 4 2 2 5 3 2 2 2         2 0 49.5 / 10 495 1 N mm t T      查附录 B 的板条梁中点最大的挠度与弯矩为： 4 0 5 ( ) ( ) 9.51mm 2 384 l ql w f u D   2 0 ( ) ( ) 1590N mm/mm 2 8 l ql M u       2 ,max 2 6 b 95.4N/mm M t    2 max 0 ,max       b 144.9N/mm 讨论： 1、实际结构应是介于完全可以自由趋近与完全不可趋近之间，因此实际结构中的中面力应比上式计 算的结果要小，为考虑这点令 l K t q E U 1 (1 ) 2 8 2                 式中： K 称为“支撑系数”在 0 到 1 之间 变化； ①、 K 1 时，表示板边完全不可趋近； ②、 0  K 1 时，板可以趋近一些但不可完全趋近，这时 U 比 K 1 时的 U 要大些，从而 u 减小，即板的中面力小些； ③、 K  0 时 U  ,u  0 ，表示板没有中面力。 实际中当 0  K 1 时，对中面力的影响不太大，只有 K  0,1 时影响大些两者的辅助函数相差不大， 一般计算时取 K  0.5