注4同理:当被积函数是=f(xy),积分区域D(Y一型 区域)是x平面上由直线y=cy=d(C<d)与曲线x=w(y) x=v2(y)所围成, v2(y) v1(y)≤xsv2(y) 即D为 yI 此时,f(xy)的二重积分为先对x再对y的累次积分 常简写为 v2(y) f(, y)do= dy f(x,y)dx v1(y)
6 注4 同理：当被积函数是z=ƒ(x,y),积分区域D(Y―型 1 2 ( ) ( ) y x y c y d 即D为 1 x y = ( ), 此时, ƒ(x,y)的二重积分为先对x再对y的累次积分. 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y D f x y d dy f x y dx = y=c,y=d(c<d)与曲线 O x D d c 2 ( ) y 1 ( ) y y 区域)是xy平面上由直线 2 x y = ( ) 常简写为 所围成
注5若D既不是X一型区域也不是Y一型区域(如图), 则可将D分成若千个部分,使每个部分不是Y一型区域 就是Y一型区域,再利用二重积分对积分区域的可加性 进行计算 f(x,yodo=ll f(x, ydo+ll f(x,ydo+ll f(x, y)do
7 注5 若D既不是X―型区域也不是Y―型区域,(如图), x y O D2 D1 D3 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d = + + 则可将D分成若干个部分,使每个部分不是X―型区域 就是Y―型区域, 再利用二重积分对积分区域的可加性 进行计算
注6综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y 作两次定积分的计算 化二重积分为二次积分的关键是 “选择积分次序和确定积分上、下限” 如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢? 同学们会感觉困难 因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程, 再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式
8 注6 综上所述二重积分的计算就是分别对变量x和y 因而应先画出积分区域D的图形,并写出D的边界方程, 作两次定积分的计算. 化二重积分为二次积分的关键是: “选择积分次序和确定积分上、下限” 如何根据区域D来确定两次定积分的上、下限呢? 再由D的形状找出区域D内点的坐标所满足的不等式. 同学们会感觉困难!