Xidian Univ PK公式 P-K公式证明的思路是基于对平均剩余服务时间(Mean Residual Service Time)的求解。设第i个用户到达系统 时，第1个用户正在接受服务，其剩余服务时间为Ri,此 时等待队列中有i个用户， i-N, 服务员 第1个用户正在接受服务 第个用户 到达 N个用户 1正在接受服务 第个用户到达剩余服务时间R 等待服务 (a) () Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University
Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University P-K公式 P-K公式证明的思路是基于对平均剩余服务时间（Mean Residual Service Time）的求解。设第i个用户到达系统 时，第l个用户正在接受服务，其剩余服务时间为Ri，此 时等待队列中有Ni个用户
Xidian Univ. i-1…i-W 服务员 PK公式 第个用户 到达 N个用户 1正在接受服务 等待服务 设第k个用户的服务时间为X,则由图可知，用户的等待时间为 W=R,+N,个用户的服务时间=R+ k=i-N ·对上式求平均得 -ER)E x ER)+X.EN,} W=lim W;R=lim ER)No =E Ni) i-→00 W-R+XNo-R+-Ng-R+2W-R+pW W R 1-0 roadband Wireless communications caboratory.xidian university
Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University P-K公式 设第k个用户的服务时间为Xk，则由图可知，用户i的等待时间为 对上式求平均得 i i W W →∞ = lim ∑ − = − = + = + i 1 k i N i i i i k i W R N 个用户的服务时间 R X { } { i} { i} i k i N Wi E Ri E X k E R X E N i = + • = + ∑ − = − 1 W R XN Q R N Q R λW R ρW µ µ = + = + = + = + 1 1 − ρ = 1 R W { i} i R E R →∞ = lim N Q = E{Ni}
Xidian Univ. PK公式 ÷假定系统有稳态解，且具有各态历经性，则剩余服务时间 可用下图表示 空闲 时间t M Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University
Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University P-K公式 假定系统有稳态解，且具有各态历经性，则剩余服务时间 可用下图表示 空闲
Xidian Univ. PK公式 为了方便起见，取为 rt)=0的时刻，则[0，t1区间 的平均剩余服务时间为 时间平均=集合平均 R=加2 式中，M()表示[0，t]区间内已服务的用户数。 上式可 以写成 M(t 系统稳态时，到达率=退去率 1 M( R,=2 i=1 M( 式中第二项为平均到达率，第三项为i的二阶矩。 时间x
Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University P-K公式 为了方便起见，取t为 的时刻，则[0,t]区间 的平均剩余服务时间为 式中，M(t)表示[0，t]区间内已服务的用户数。 上式可 以写成 式中，第二项为平均到达率，第三项为Xi的二阶矩。 r(t) = 0 ( ) ( ) 2 1 0 2 1 1 1 i M t i t t X t r d t R ∫ ∑= = τ τ = ( ) ( ) M (t) X t M t R M t i i i ∑= = • • 1 2 2 1 时间平均=集合平均 系统稳态时，到达率=退去率 Rt
Xidian Univ. PK公式 g令t>0 ,得R=x R Ax2 W= Wax2 1-p 21-p) ÷即使P<1，如果X2o，则 W→0 。它说明，如果有少量用户有非常长的服务时间，一旦这些用 户被服务，将导致队列非常长。 Broadband Wireless Communications Laboratory,Xidian University
Xidian Univ. Broadband Wireless Communications Laboratory, Xidian University P-K公式 令 ，得 即使 ，如 果 ，则 它说明，如果有少量用户有非常长的服务时间，一旦这些用 户被服务，将导致队列非常长。 t → ∞ 2 2 1 R = λ X ( ρ) λ ρ − = − = 1 2 1 2 R X W 2 W ∝ X ρ < 1 → ∞ 2 X W → ∞