哈尔滨建筑大学：《计算结构力学基础》第四章 弹性力学平面问题

4.2常应变三角形单元 L =-(a;+b;x+c) 2A 1=;Vk=yXki,j,k=1,2,3 2 Vi-yk Ci=-xitrK 2)矩阵表达 时团【20 i=1,2,3 NN][-L呼-M

( ) 2 1 i i i i L  a  b x  c  i j k j k a  x y  y x i j k b  y  y i j k c   x  x i, j,k  1,2,3          T T 3 T 2 T d e  d1 d d     i i d i  u v T         N  N1 N2 N3        N d e d  u v  T          i i i L L N 0 0 i 1,2,3

4.2常应变三角形单元 423单元列式 1)微分算子矩阵 a 平面应力问题 ay 0 IS:=DvC ay ax b 2)应变、应力矩阵 2 2 E [小式中D0=21v 弹性矩阵:] 1 DIE]-[sldl I_→E1=y

                 y x x y A 0 0           A d  B d e T  弹性矩阵：D          D  S d e           B  B1 B2 B3          i i i i i c b c b B 0 0 2 1                 i i i i i i c b c b S D B D 0 0 2 1           i i i i i i ' i c b c c b b S D 2 1 2 1     2 (1- ) 2   E D'         1- 1 2 E; E

4.2常应变三角形单元 由此可见,单元应变、应力都是常量 当所分析的问题具有初应变时,单元的弹性应变 为|e|={-eol,应力为|al=Dl 3)单元应变能 4)单元外力势能 J[kdA代入位移后,经整理可 2 得 将上述应变、应力代入 P=1-tSLEJINKA =2时4

         dA 2 1 T U t        d e S B d e t U T T 2           (    dl) dA T T T       ij l e e f b F d t d P t F d              e l e f b F t N d P t F N ij ( dl)] [ dA T T T        

4.2常应变三角形单元 5)令总势能一阶变分等于零,推导单元刚度方程 4s-∫NA LB[ DIE HA(S [N Ohs 当有初应变时结果如何? 具体显式表达式见教材 同=NA P。47式(3,2-39) (+f, IN lols)

k t S B e T         e i j kij t S B T   i, j 1,2,3       (    ds) dA T T     ij l e b t N P t N F             (    ds) 0 dA T T T        ij l e b F N t S B d N F                (    ds) dA T T T      ij l e b t N t S B d F t N F                   dA(    ds) dA T 0 T T T        ij l e b t B D t N t S B d F t N F     

4.2常应变三角形单元 7)关于等效结点荷载 等效结点荷载可用公式积分计算,但由于形函数 的图形是一平面(边界处为一直线),因此可证明也 可按杠杆原理通过静力等效来求。 如P48图3-4所示 424解答的收敛性准则 1)位移模式(也称位移函数)必须包含刚体位移。 2)位移模式必须包含常应变位移 3)位移模式必须保证单元间位移协调 1)、2)对平面问题也即要求具有常数项和坐标一 次项,这称作“完备性准则”。 3)称作“协调性准则”。既完备又协调的单元 定是收敛的。但不等于说非协调单元一定不收敛