南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理混沌物理3/4

非线性物理：混沌物理 ·有趣的是，帐篷映射和锯齿映射具有下列关联： ·TT=TS,TTT=TTS)=TSS,TNx)=TSY1)。证明如下： ·T(T)=T2x)=4:,TSx=T(2x=4k,0x≤I/4 T(T)=T(2x)=2-4k,TS)=T2x=2-4x,1/4x≤I/2 TTx)=T2-2x)=-2+4k,TSx)=T2-2x=-2+4x,1/2<x≤3/4 T(T)=T2-2x)=4-4k,TS=T2-2x=4-4,3/4Kx≤1 ·由此得到一个重要结论：如果wSP(w,则xp=x=Tw。 ·xp=TPKd=TP(Tw》=TP4'(wd=TSP(wd=TwW=xo

非线性物理：混沌物理 • 有趣的是，帐篷映射和锯齿映射具有下列关联： • TT(x)=TS(x), TTT(x)=TTS(x)=TSS(x), TN(x)=TSN-1(x)。证明如下： • T(T(x))=T(2x)=4x, T(S(x))=T(2x)=4x, 0x 1/4 • T(T(x))=T(2x)=2-4x, T(S(x))=T(2x)=2-4x, 1/4<x 1/2 • T(T(x))=T(2-2x)=-2+4x, T(S(x))=T(2-2x)=-2+4x, 1/2<x 3/4 • T(T(x))=T(2-2x)=4-4x, T(S(x))=T(2-2x)=4-4x, 3/4<x 1 • 由此得到一个重要结论：如果 w0=SP(w0)，则 xP=x0=T(w0)。 • xP=TP(x0)=TP(T(w0))=TP+1(w0)=TSP(w0)=T(w0)=x0

非线性物理：混沌物理 ·例如：w=1/7是锯齿映射的周期3轨道点，则x=2/7=T(1/7)就是帐 篷映射周期3轨道点。事实上，x,=2/7->x=4/7-→x26/7→x2/7。 ·关于周期3轨道有一个著名的数论定理一Sharkovsky定理：一维 映射x+f()存在下列自然数列： L1:3,5,7,9,11,13,15,.… ·L2=2*L1:6,10,14,18,22,26,30,.… ·L3=3*L1:12,20,28,36,44,52,60,. Ln=2m,.,64,32,16,8,4,2,1 如映射有周期为某数的解，就一定有排在此数后面全部数的解。 注意到，周期3的解表示系统具有全部周期解，即混沌！

非线性物理：混沌物理 • 例如：w0=1/7是锯齿映射的周期3轨道点，则x0=2/7=T(1/7)就是帐 篷映射周期3轨道点。事实上，x0=2/7x1=4/7x2=6/7x3=2/7。 • 关于周期3轨道有一个著名的数论定理－Sharkovsky定理：一维 映射 xn+1=f(xn) 存在下列自然数列： • L1: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,… • L2=2*L1: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,… • L3=3*L1: 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60,… • Ln=2n, …, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 • 如映射有周期为某数的解，就一定有排在此数后面全部数的解。 • 注意到，周期3的解表示系统具有全部周期解，即混沌！

非线性物理：混沌物理 周期3意味着混沌：Li-Yorke定理！ 一个例子是： x+1Ff=3xn(0I/3),17/9-8x,/3(132/3),1/9(23s≤。 ·因为f1/9)=1/3,f13)=L,f)=1/9,所以有周期3，即混沌。 混沌对应于统计物理中的各态历经。 ·事实上，我们前面提到的李雅普洛夫指数为正从稳定性角度描述 了这种混沌的平均行为。 福

非线性物理：混沌物理 • 周期3意味着混沌：Li-Yorke定理！ • 一个例子是： • xn+1=f(xn)=3xn (0x 1/3), 17/9-8xn/3 (1/3x 2/3), 1/9 (2/3x 1)。 • 因为f(1/9)=1/3, f(1/3)=1, f(1)=1/9，所以有周期3，即混沌。 • 混沌对应于统计物理中的各态历经。 • 事实上，我们前面提到的李雅普洛夫指数为正从稳定性角度描述 了这种混沌的平均行为

非线性物理：混沌物理 从倍周期走向混沌： ·并非一定要有周期3才能混沌。现在说明平方映射的偶数周期走 向混沌行为。 Xn+1=xn（(1-Xn） 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 02468101214161820 n

非线性物理：混沌物理 从倍周期走向混沌： • 并非一定要有周期3才能混沌。现在说明平方映射的偶数周期走 向混沌行为。 (1 ) n 1 n n x  x  x  

非线性物理：混沌物理 一些基本混沌特征：典型的倍周期分叉走向混沌。 倍周期分叉对应的参数值μ间距越来越小，Feigenbaum常数。 混沌初看模糊一片，细看可见模糊图象深浅程度不同，可区分出 不同区域。说明迭代终值并非混乱一片，而是存在一定层次。 模糊区域可见一些大大小小窗口，犹如两片乌云间有一小片蓝天 ，说明这些区域仍存在规则运动，对应于李雅普洛夫指数为负。 平方映射随参数值增加展现一幅规则一随机一规则一随机…交织 起来的丰富多彩图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次 的运动形态

非线性物理：混沌物理 • 一些基本混沌特征：典型的倍周期分叉走向混沌。 • 倍周期分叉对应的参数值间距越来越小，Feigenbaum常数。 • 混沌初看模糊一片，细看可见模糊图象深浅程度不同，可区分出 不同区域。说明迭代终值并非混乱一片，而是存在一定层次。 • 模糊区域可见一些大大小小窗口，犹如两片乌云间有一小片蓝天 ，说明这些区域仍存在规则运动，对应于李雅普洛夫指数为负。 ￾ 平方映射随参数值增加展现一幅规则―随机―规则―随机…交织 起来的丰富多彩图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次 的运动形态