三.积分性质设：: LLf(t)I= F(S), (t)dt-F(S) 证: 令, f(t)dt)=p(s)L()I-"J" f(t)dt)dt0(S)-F(S)F(S) = sp(s)- If(t)dtTt=0S: Li(0 - f,e(a-2[r’e(t)] =2, tdt例2: LIF’s(0)1 =
三.积分性质 ( ) 1 [ ( ) ] 0 F S S L f d t = − [ ( )] [ ( ) ] 0 − = t f d dt d L f t L F(S) − − = = − 0 0 ( ) ( ) t t s s f d [ ( ) ] ( ) 0 L f d s t = 证：令 − S F S S ( ) ( ) = 例1：L[t (t)] S S 1 1 = 2 [ ( )] 2 例 ：L t t = − t t t tdt 0 2 [ ( )] 2 3 2 S = 设：L[ f (t)] = F(S) [ ( ) ] 0 − = t L t dt
四.平移性质设： LIf()I= F(S)1.时域平移(延迟定理f(t)e(t-to)f(t-to)e(t-to)f(t)e(t)LIf(t- to)e(t - t,) = e-so F(S)e-sto延迟因子证:Jo- f(t - t,)s(t -to)e-"dt= Jm- f(t - tole-s(r-t0)e-so dt令t-to= t=e" f(t)e"dt=e-so F(S)
四.平移性质 1.时域平移(延迟定理) f(t)(t) t t f(t-t0 )(t-t0 ) t0 f(t)(t-t0 ) t t0 [ ( ) ( )] ( ) 0 L f t t 0 t t 0 e F S −st − − = f t t t t e dt −st − − − 0 0 0 证： ( ) ( ) f t t e e dt s t t st t 0 0 0 ( ) 0 ( ) − − − = − − e f e d st s = − − − 0 ( ) 0 ( ) 0 e F S −st = − = 0 令t t 设：L[ f (t)] = F(S) e −st0延迟因子
例1：f(t)f (t) = ε(t) - e(t -T)-STF(S) =SS例2：tf(t)f(t) =tls(t)-s(t-T)le-STF(S)-?ss1f(t)=ts(t)-(t-T)(t -T)-Te(t-T)-STSTF(S)三S2S
例 1 ： 1 T t f(t) f (t) = (t) − (t − T) ST e S S F S − = − 1 1 ( ) T T f(t) f (t) = t[ (t) − (t − T)] 2 2 1 ( ) Se S F S −ST = − ? f (t) = t (t) − (t − T) (t − T) − T (t − T) ST ST e ST e S S F S − − = − − 2 2 1 1 ( ) T t 例 2 ：
例3：周期函数的拉氏变换设f()为第一周函数f(t)LIfi()I=F(S)则:LLf(t)I=F(S)T21-e-ST证: f(t) = fi(t)+ f(t - T)e(t -T)+ f(t - 2T)e(t -2T)+LIf(t)I= F(S)+e-ST F(S)+e-2ST F(S) +- Fi(S)le-ST +e-2ST +e-3ST+..-STFi(S)
例3：周期函数的拉氏变换 . t f(t) 1 T/2 T 设f1 (t)为第一周函数 [ ( )] ( ) L f 1 t = F1 S ( ) 1 1 [ ( )] F1 S e L f t −ST − 则： = ( ) = ( ) + ( − ) ( − ) + ( − 2 ) ( − 2 ) + 证：f t f 1 t f 1 t T t T f 1 t T t T = + + + − − [ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 2 L f t F1 S e F1 S e F S ST ST ( )[ ] 2 3 1 = + + + −ST − ST − ST F S e e e ( ) 1 1 F1 S e −ST − =
1LLf (t)I=1-e-sT Fi(S)2例: i(t)(t)(tST/2F(S)SS--s(+es)则: LIf(t) =1-e-sr F(S)2.频域平移性质设： LIf(t)I= F(S)Lle-o f(t)l= F(S +α)J. e" f(t)e-"dt = Je (s+a)" f(t)dt=F(S+α)
/ 2 1 1 1 ( ) ST e S S F S − = − ( ) 1 1 [ ( )] 1 F S e L f t −ST − 则： = 2.频域平移性质 e f t dt s t = − + − 0 ( ) ( ) ) 2 ( ) ( ) ( 1 T 上例：f t = t − t − ( ) 1 1 [ ( )] F1 S e L f t −ST − = ) 1 1 ( 1 ST / 2 S e − + = [ ( )] ( ) = + − L e f t F S t e f t e dt t −st − − ( ) 0 设：L[ f (t)] = F(S) = F(S +)