323向量组线性相关的充分必要条件 定理1向量组a1,a2….an(m≥2)线性相关的 充分必要条件是:向量组a,a2…am中至少有 个向量可由其余m-1个向量线性表示 例1讨论向量组 23 2 32 的线性相关性 解设有一组数x1,x2,x3,使 x1+x2a2+x3O3=0
3.2.3 向量组线性相关的充分必要条件 定理1 向量组 线性相关的 充分必要条件是：向量组 中至少有 一个向量可由其余 个向量线性表示． 例1 讨论向量组 的线性相关性． 解 设有一组数 ，使 1 2 , , , m ( 2) m≥ 1 2 , , , m m−1 1 2 3 2 1 3 3 , 2 , 2 1 1 1 = = = − 1 2 3 x x x , , x x x 1 1 2 2 3 3 + + = 0
n则有方程组 2x1+x2+3x3=0, 3x1+2x2+2x3=0, x+x2-x3=0 因其系数行列式 32-15 D=322|=3-15=0 100 所以方程组有非零解,从而ax12a2a3线性相关
则有方程组 因其系数行列式 所以方程组有非零解，从而 线性相关． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0, 3 2 2 0, 0. + + = + + = + − = x x x x x x x x x 2 1 3 2 1 5 3 2 2 3 1 5 0 1 1 1 1 0 0 − = = − = − D 1 2 3 ,
■例2讨论维向量组 0 0 的线性相关性,通常称e1,e2,…,en为基本单位 向量组 解设有一组数k2k2,…k,使 大e,+kg+…+ke=0
例２ 讨论维向量组 的线性相关性，通常称 为基本单位 向量组． 解 设有一组数 ，使 1 2 1 0 0 0 1 0 , , , 0 0 1 e e e = = = n 1 2 e e e , , , n 1 2 , , , n k k k 1 1 2 2 e e e + + + = 0 n n k k k
0 0(0 0 0||0 k1|.|+k2.+…+k 得(k,k2…,kn)=0,从而k=k2=…=kn=0, 故,e2,…,en线性无关
即 得 ，从而 ， 故 线性无关． 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 n k k k + + + = T 1 2 ( , , , ) = 0 n k k k 1 2 0 n k k k = = = = 1 2 e e e , , , n
例3设向量组a1,a2,…an线性无关,讨论 向量组 B1=a1+a2,B2=a2+a3,…Bn1=an=1+an,Bn=an+ax1 的线性相关性. 解设有一组数x1,x2,…,xn,使 xB1+x2B2+…+x,B2=0 x(a1+a2)+x2(a2+a3)+…+x(an+ax1)=0 从而有 (x+x)a1+(x+x2)x2+…+(xn1+xn)an=0
例３ 设向量组 线性无关，讨论 向量组 的线性相关性． 解 设有一组数 ，使 即 从而有 1 2 , , , n 1 1 2 2 2 3 = + = + , , , 1 1 1 , n n n n n − − = + = + 1 1 2 2 + + + = 0 n n x x x 1 2 , , , n x x x 1 1 2 2 2 3 1 ( ) ( ) ( ) + + + + + + = 0 n n x x x 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) + + + + + + = − 0 n n n n x x x x x x