应力为最大或最小值。以a,代入式(c),且令其等于零得 (o,-o,)cos2a-2r sin 2a =0 ” 解出a,a,+90°确定二个相互垂直平面。 利用 tan 2a,=,-a 2tw cos2a1=± 2t, o:-0,P+4i m2a=t6.-a+4 代入式得： ④最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的关系。 m2a,=-22 0-0 tan2a,=,-0 tan 2do=tan 20 1 故有2a=2a+号a=a,+ 即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°
应力为最大或最小值。以 1 代入式（c），且令其等于零得 ( ) xy x y x y xy 2 tan 2 cos 2 2 sin 2 0 1 1 1 − = − − = 解出 0 1 ,1 + 90 确定二个相互垂直平面。 + − = 1 1 min max sin 2 cos 2 2 xy x y 利用 ( ) ( ) − + − = − + = − = 2 2 1 2 2 1 1 4 sin 2 4 2 cos 2 2 tan 2 x y xy x y x y xy x xy x y 代入 式得： 2 2 min max 2 xy x y + − = ④最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的关系。 x y xy − = − 2 tan 2 0 xy x y 2 tan 2 1 − = 1 0 tan 2 1 tan 2 = − 故有 2 4 2 1 2 0 1 0 = + = + 即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45°
Example 1.图示为从悬臂梁中，E、F两点取出的两个单元体。 Given:(E),=70MIPa,s =50MlPa 0,=0, x =-50MPa (F),=-70MPa,=50MPa 0,=0, t =-50MPa Find:试分别确定，E、F两点的主平面的位置及主应力。 Solution: (1)E点 ①主平面位置： 。 2a0=-550 a40=-27.5°，a0+90°=62.50 ②最大应力最小应力 amld:+o,t on了 2 2 2 ③主应力：a,=6Pa，a,=0,=-26Pa (2)F点 ①主平面位置 tan 2do=- 0-0, -209-1e 2u。=550 a=27.50 4。+90°=117.50
Example 1. 图示为从悬臂梁中，E、F 两点取出的两个单元体。 Given： （E） x = 70MPa , xy = 50MPa y = 0, yx = −50MPa （F） x = −70MPa , xy = 50MPa y = 0, yx = −50MPa Find：试分别确定，E、F 两点的主平面的位置及主应力。 Solution： （1）E 点 ①主平面位置： 0 0 0 0 0 0 0 0 27.5 , 90 62.5 2 55 1.429 70 0 2 2 50 tan 2 = − + = = − = − − = − − = − x y xy ②最大应力最小应力 MPa 26 96 50 35 61 2 70 0 2 70 0 2 2 2 2 2 2 min max − = + = − + = + − + = xy x y x y ③主应力： 1 = 96MPa , 2 = 0, 3 = −26MPa （2）F 点 ①主平面位置 0 0 0 0 0 0 0 0 27.5 90 117.5 2 55 1.429 70 0 2 2 50 tan 2 = + = = = − − = − − = − x y xy
②最大应力和最小应力 -561-g ③主应力 o1-26Pa,o2=0,03=-96Pa Example2.图示为从悬臂梁中，E点取出的单元体。 Given:(E),=-70MPa,=-50MPa 0,=0, =50MPa Find:E点主平面位置及主应力 Solution: ①am2a,=a,-0y 2m-2x50.-1429 -70-0 2a0=-55°，a=-27.5°，a0+90°=62.59 @8}”四-9哪- ③a,=26Pa，a2=0,a,=-96Pa §7.4二向应力状态分析一一图解法 1.确定oa,ta
②最大应力和最小应力 MPa 96 26 35 61 50 2 70 0 2 70 0 2 2 min max − = − = + − − − + = ③主应力 1 = 26MPa , 2 = 0, 3 = −96MPa Example 2. 图示为从悬臂梁中，E 点取出的单元体。 Given： （E） x = −70MPa , xy = −50MPa y = 0, yx = 50MPa Find： E 点主平面位置及主应力 Solution： ① ( ) 1.429 70 0 2 2 50 tan 2 0 = − − − − = − − = − x y xy 0 0 0 0 0 0 2 0 = −55 , = −27.5 , + 90 = 62.5 ② ( ) MPa 96 26 50 2 70 0 2 70 0 2 2 min max − + − = − − − + = ③ 1 = 26MPa , 2 = 0, 3 = −96MPa §7.4 二向应力状态分析——图解法 1. 确定 ,
0.-00+cs2a-1,2a 2 2 。=0,0sm2a+tnc0s2a 2 上式改写为 0,-0,t0-0,0cs2a-7n5m2a 2 1.2020n2u+,ms2a 2 等号两边平方，二式相加，简化消去参数α，得 。j 此为圆的方程，若以σ为横坐标，x为 GI R 纵坐标作圆，则圆心坐标为 〔e. 圆的半径为： 2.应力圆的作法，用应力圆确定o。,t.得主应力 ①画cOr坐标系。 ②取适当比例尺确定D、D两点 ③连接DD'交轴于C点 ④以C为圆心，以cD为半径作圆，即为应力圆 ⑤得cD半径，偏转2α角，（同a方向保持一致）得E点，由E点 对应的横纵坐标即为oa,t。 ⑥4(o0以B,(o或o,0)为主应力
+ − = − − + + = sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y 上式改写为 + − = − − = + − sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y 等号两边平方，二式相加，简化消去参数 ，得 2 2 2 2 2 2 xy x y x y + − + = + − 此为圆的方程，若以 为横坐标， 为 纵坐标作圆，则圆心坐标为 + , 0 2 x y 圆的半径为： 2 2 2 xy x y + − 2. 应力圆的作法，用应力圆确定 ， 得主应力 ①画 O 坐标系。 ②取适当比例尺确定 D、D' 两点 ③连接 DD'交轴于C点 ④以 C 为圆心，以 CD 为半径作圆，即为应力圆 ⑤得 CD 半径，偏转 2 角，（同 方向保持一致）得 E 点，由 E 点 对应的横纵坐标即为 , ⑥ ( ,0), ( ,0) A1 1 B1 2或 3 为主应力
3.证明 0F=6a EF=To 证：0c-0B+1-0B)=,oa+0a-a C.01-0.0-a 2 2 正-而.+而*w Of=0C+CEcos(2a。+2a) =OC+CEcos2acos2a-CEsin 2ao sin 2 =OC+CDcos2ao)cos2a-(CDsin 2a)sin 2 OC +CAcos2a-ADsin 2a ,+a-cos2a-T sin 2a 2 2 FE=CEsin(2ao+2a） =CDsin 2acos2a+CDcos2asin 2a ADcos2a+CAsin 2a =T c0s2a+sn 2a 2 故：OF=o。FE=ta 4.证明OA1=o,OB,=0 证： OA=0C+CA=0C+CD 2 OB,=OC-CA =OC-CD
3. 证明 = = EF OF 证： ( ) ( ) 2 2 1 2 1 X Y OC OB OA OB OA OB + = + − = + = 2 2 OA OB X Y CA − = − = 2 2 2 2 2 XY X Y CE CD CA AD + − = = + = cos(2 2) OF = OC + CE 0 + ( ) ( ) cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 0 0 0 0 0 OC CA AD OC CD CD OC CE CE = + − = + − = + − cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + = ( ) sin 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 0 0 0 x y xy AD CA CD CD FE CE − = + = + = + = + 故： OF = FE = 4. 证明 1 1 2 OA1 = OB = 证： 2 1 1 2 2 xy x y x y OA OC CA OC CD + − + + = = + = + 2 1 1 2 2 xy x y x y OB OC CA OC CD + − − + = = − = −