西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第三章 复变函数的积分 Integrals of complex variable functions

历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY 由于fz)在曲线C上连续 ,连续 根据线积分的存在定理，下式两端极限存在： ∑f(5)△z= ∑[u(5,nE)△x6-v(5k,nk)Ayx] k=1 k=1 ∑Iv(5,7k)△x+u(5,nk)AyJ k=1 ()dz-fudx-vdy+ifvd+udy 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 12

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 12 u,v连续                n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ]          C f (z)dz   C udx vdy   C   i vdx udy 根据线积分的存在定理,下式两端极限存在： 由于f(z)在曲线C上连续

历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY 注：公式∫fz)dz=udr-v+clc+ud 在形式上可以看成是： f(z)=w+iv与dz=dr+idy相乘后求积分得到： [cfz)=∫c(u+ip(dc+) =∫udc+iwdc+iady-vdy -fudx-vdy+ifvdx+udy 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 13

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 13 f (z)  u  iv 与dz  dx  idy 相乘后求积分得到: C f (z)dz     C (u iv)(dx idy)      C udx ivdx iudy vdy d d d d .       C C u x v y i v x u y C f (z)dz   C udx vdy   C   i vdx udy 在形式上可以看成是： 注：公式

历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY 分析： f(2)d可以通过两个二元实函数 的线积分参数化计算方法计算复积分 Ccfz)=∫2{x0,(0x(④)-yx0,ey'e0dt +i∫{x(),yx'(+4x(,y(y'()dh =∫()，y(1+i训x(0,Jyx')+i(yd =∫fIz(z')dt. 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 14

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 14                i v x t y t x t u x t y t y t t f z z u x t y t x t v x t y t y t t C { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d ( )d { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d         {u[x(t), y(t)] iv[x(t), y(t)]}{x (t) iy (t)}dt [ ( )] ( )d .      f z t z t t ( )d C f z z 分析：  可以通过两个二元实函数 的线积分参数化计算方法计算复积分

历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY 参数化计算复积分： fcf(e)dz=∫f[z(z'u)d,t∈[a,B] C:z=z(t) 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 15

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 15 ( )d [ ( )] ( )d , , C f z z f z t z t t t          [ ] 参数化计算复积分： C:z=z(t)

历些毛子代枝大兽 XIDIAN UNIVERSITY 例2 求e-2m,C为以为中心r为半 径的正向圆周，n为整数 解 积分路径的参数方程为 10 =to+reie (0≤0≤2m), 美e-m-,g9 3e9a8, rn Jo 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 16

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 16 例2 解 , . d , , ( ) 1 1 0 0 径的正向圆周 为整数 求 为 以 为中心 为 半 n z C z r z z C n  z x y o r 0 z  积分路径的参数方程为 (0 2π ),  0     i z z re    C  n z z z d ( ) 1 1 0     2π 0 1 ( 1) d   n i n i r e ire d , 2π 0    in n e r i 0 i z z re   