西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第三章 复变函数的积分 Integrals of complex variable functions

历柴毛子代枚大学 2.积分的性质 XIDIAN UNIVERSITY 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 1∫c[kf(a)+kg(z]-k∫cf(a)k+kcg(a) 2∫cf(z)k=-∫cf(z)k 3设C=C+C2+…+Cm, Sf(z)d=Sf(z)+Sf(z)++Sf(z)d 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 7 1 2 1 2         C C C   k f z k g z dz k f z dz k g z dz         1 2     C C f z dz f z dz      3 C C C C ,     1 2 n 设         C C C C 1 2 n f z dz f z dz f z dz f z dz     则    复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 2. 积分的性质

历安毛子代枝大学 2.积分的性质 XIDIAN UNIVERSITY (4)f()dsf(d=()dssML, 其中，M=max|f(z川， 第一类曲线积分 L为曲线C的弧长。 证明 ()(s(c.). . 取极限得：cf(a)≤∫c(zs≤M=ML 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 8 证明       1 1 1 n n n k k k k k k k k k f z f z f s                   C C C f z dz f z ds M ds ML    取极限得：    第一类曲线积分    C C (4) | f (z)dz| | f (z)||dz|   C | f (z)|ds 其中， M max | f (z)|, zC  L为曲线C的弧长。  ML , 2. 积分的性质

历要毛子代枝大” 2.积分的性质 XIDIAN UNIVERSITY 刚设c沿直线0→3+4求 的一个上界。 3+4i 解 C:=3t+i4t 0≤t≤14 zs'热 而在C上： 间- 5 3 又=5小x=胃 3 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 9 1 0 3 4 . , C dz C i z i    例 设 沿直线从 求  的一个上界。 解 C : z  3t  i4t 0  t 1 ds z i dz z i C C    1 1 则 而在C上：   1 1 z i 3 4 1 t t i     x  3 4  3 4  i C 2 1 5 3 4 9 25 25 25 t            5 C 又 ds 5 25 3 C 3 3 dz z i       2. 积分的性质

历安毛子代枚大等 3.积分存在的条件极其计算 XIDIAN UNIVERSITY 定理1.积分存在性定理： 如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在按段光滑曲线 C上连续，则积分∫f(2)d一定存在。 证： 设光滑曲线C由参数方程给出 z=z(t)=x(t)+iy(t),≤t≤B 并且z'(t)≠0，t∈(C,B), 设5k=5k+i训k, 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 10

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10 证: ( ) ( ) ( ), C z z t x t i y t t        设光滑曲线 由参数方程给出 ( ) ( , ) ( , ) , ( )d C f z u x y iv x y C f z z    如果 在按段光滑曲线 上连续 则积分 一定存在。 定理1. 积分存在性定理： 并且 ( ) 0, ( , ), z t t      , k k k 设     i 3. 积分存在的条件极其计算

历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY 因为△Zk=乙k-Zk-1=Xx+yk-(化k-+yk-1) =△比k+iyk, 所以∑f5x)AzE k=1 =2u(5,x)+iv5,7:l△+) =2Iu(5,x)Ax&-5,n:)Al +i∑Iy(5,1k)△x+u(5k,nk)Ay] 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 11

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 11 ( )  k  k  k1  k  k  k1  k1 因为 z z z x iy x iy , k k  x  iy k n k k  f z 1 所以 ( )       n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( )             n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ]        