系统将变为临界稳定。 当y>0时,相位裕量相位裕度为正值;当y<0时,相位裕度为负值。为了 使最小相位系统稳定,相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分 贝和-180度。-180° ②增益裕度、幅值裕度( Gain margin)h 设系统的穿越频率( Phase cross-over frequency) 0(O2)=/G(o)H(o)=(2k+1)丌,k=0,±1 定义幅值裕度为 h (o)H(o2) 幅值裕度h的含义是,对于闭环稳定系统,如果系统开环幅频特性再增大h 倍,则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示,则有 h(dB)=-20log G(Ox)H(Ox) 当增益裕度以分贝表示时,如果h>1,则h(dB)>0增益裕度为正值;如 果h<1,则h(dB)<0增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的;负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 对于稳定的最小相位系统,增益裕度指出了系统在不稳定之前,增益 能够增大多少。对于不稳定系统,增益裕度指岀了为使系统稳定,增益应 当较少多少。 阶或二阶系统的增益裕度为无穷大,因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此,理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然, 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的,因为在推导系统方程时,忽 略了一些小的时间滞后,因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后,则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。 57.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度 的度量。因此,这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度,都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性,必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统,只有当相位裕度和增益裕度都是正值时,系统才 157
157 系统将变为临界稳定。 当 0 时，相位裕量相位裕度为正值；当 0时，相位裕度为负值。为了 使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为 0 分 贝和-180 度。180 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h 设系统的穿越频率(Phase cross-over frequency) ( x ) G( j x )H ( j x ) (2k 1) ，k 0,1, 定义幅值裕度为 ( ) ( ) 1 x x G j H j h 幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。 若以分贝表示，则有 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB G j H j 当增益裕度以分贝表示时，如果h 1，则h(dB) 0 增益裕度为正值；如 果h 1，则h(dB) 0增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是 稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。 对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益 能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应 当较少多少。 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负 实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一 阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽 略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及 这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。 5.7.3 关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0 点靠近程度 的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了 确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。 对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才
是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响,并且指明了频率值。为了得到满意的性能, 相位裕度应当在30°与60°之间,增益裕度应当大于6分贝。 例5-9已知一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= K s(1+0.2s)(1+0.05s) 试求:⑩K=1时系统的相位裕度和增益裕度。②要求通过增益K的调整, 使系统的增益裕度20logh=20dB,相位裕度y≥40°。 解 o(o)=/G(o,)H(o,)=-180°o(m。)H(o)=1 q(ox)=-900-arcg0.20x-arcg0.050x=-180° g61±g62 即arcg020+ actg005mn=90°g(01±2)1g1g2 020+0050-=∞+1-0201×050,=0→0=10 1-0.20x×0.05x 在o处的开环对数幅值为 h(dB)=-20logG(jo, )H(O ) jo3(1+j0.2ox)(1+10.05 =20log10+20 )log v1+(02×10)2+20log√1+(005×10)2 20+7+1=28dB 根据K=1时的开环传递函数,可以求出截止频率( Gain cross-over frequency) 为 (o)H(o2) G(ao o(1+10.2o)(1+j0.050 a+00431+00203 g0.050c=-104 y=180°+9(02)=180°-104°=76° ②由题意知h=10|G(0)=01 1K=0.1×10√1+4√1+0.25=25 0.04)(1+0.00250x) 验证是否满足相位裕度的要求
158 是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防 止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能， 相位裕度应当在30与60之间，增益裕度应当大于 6 分贝。 例 5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 (1 0.2 )(1 0.05 ) ( ) s s s K G s 。 试求：K=1 时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益 K 的调整， 使系统的增益裕度 20logh=20dB，相位裕度 40。 解： ( ) ( ) ( ) 180 x x x G j H j ( ) ( ) 1 c c G j H j ( ) 90 0.2 0.05 180 x x x arctg arctg 即 0.2 0.05 90 x x arctg arctg 1 2 1 2 1 2 1 ( ) tg tg tg tg tg x x x x 1 0.2 0.05 0.2 0.05 1 0.2 0.05 0 x x 10 x 在x 处的开环对数幅值为 ( ) 20log ( ) ( ) x x h dB G j H j (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 20log x x x j j j 2 2 20 log10 20 log 1 (0.2 10) 20 log 1 (0.05 10) 20 7 1 28dB 根据 K=1 时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gain cross-over frequency) 为c ( ) ( ) 1 c c G j H j (1 0.2 )(1 0.05 ) 1 ( ) c c c c j j j G j 1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 1 2 2 c c c 1 c ( ) 90 0.2 0.05 104 c c c arctg arctg 180 ( ) 180 104 76 c 由题意知h 10 ( ) 0.1 x G j 0.1 (1 0.04 )(1 0.0025 ) 2 2 x x x K K 0.110 1 4 1 0.25 2.5 验证是否满足相位裕度的要求