2.4循环群循环群必为交换群例1：(Z,+)是循环群，Z=<1>=<-1>。例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都是它的生成元
2.4 循环群 循环群必为交换群 例1：(Z, +)是循环群，Z=<1>=<-1>。 例2：Un是n阶循环群，任意一个n次单位原根都 是它的生成元
2.4循环群定理：1)当[αl=+8时:.0=e.a.aG=(a)={:为无限循环群，且与(Z,+)同构2)当a=n时,G=(a)={e, a, a?, ..为n阶循环群，且与Un同构
2.4 循环群 定理：1) 当 时， 为无限循环群，且与(Z, +)同构。 2) 当 时， 为n阶循环群，且与Un同构。 a = + 2 1 0 2 G a a a a e a a = ={ , , , , , } − − = ， a n = 2 1 = ={ , , , } n G a e a a a −
2.4循环群由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环群只有两种，即(Z,+)和Un(nEZ+)推论：n阶群G是循环群<=>G有n阶元素。对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元
2.4 循环群 由此定理可知，无限循环群彼此同构，有限同阶 循环群彼此同构，因此，在同构的意义下，循环 群只有两种，即(Z, +)和Un( )。 推论：n阶群G是循环群<=>G有n阶元素。 对n阶循环群，有且只有n阶元为生成元。 n Z+
2.4循环群对于正整数n，Eular函数β(n)是小于等于n的正整数中与n互质的数的数量。定理：无限循环群有两个生成元，即a与a-1，n阶循环群有β(n)个生成元例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元
2.4 循环群 对于正整数n，Eular函数φ(n)是小于等于n的正 整数中与n互质的数的数量。 定理：无限循环群有两个生成元，即a与a -1 ，n 阶循环群有φ(n)个生成元。 例3：4、5、6阶循环群分别有2、4、2个生成元
2.4循环群定理：循环群的子群仍为循环群。定理：无限循环群G有无限多个子群G=<a>为n阶循环群时，对n的每个正因数knG有且只有一个k阶子群，为<αk>
2.4 循环群 定理：循环群的子群仍为循环群。 定理：无限循环群G有无限多个子群 G=<a>为n阶循环群时，对n的每个正因数k， G有且只有一个k阶子群，为 。 n k a