《数学分析》第四章习题二

第十二章重积分 第四章重积分 第七节重积分例讲 7-1二重积分 例一,计算二重积分|=y-x2-yo, 其中D={xy)Ma(+)≤ 解:=4∫√-x2-ydd 1=』-x2-yab y-dy 2 I dy 18 6183 3 =Sing/2 例二,求二重积分:=d, 7Sinok4 2≤ 4 x,) 2≤_y≤4 解:Ⅰ 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 第四章 重积分 第七节重积分例讲 7-1 二重积分 例一，计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解：  = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy  = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy =   − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0  2  − =  x dx ;  = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy =   − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 =         − − +  x dx x x        = −      = − 3 1 3 2 18 1 6 4   I 例二， 求二重积分:  = D d x y I  1 , ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解：  = D d x y I  1 = y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4

第十二章重积分 2|d6 =2 sIne h I 1 p-Cos0 Sin e Cose sin Cos0 In(2ige)d(g0)=h 例三,求三重积分:1(+y(2-27m,其中 (x,y)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系 Jx= pCos y=pSin8 do=pdpde. D=(x,,x+y2sR2 g(2+y)y-x9=8()y a(x, y)l-x a(p,0)(y 0)a(x,y) 因为:cp( a(0, Cose -sIne(y Sing pCos 1(pCos pSin 0 pl-Sin@ Cos0 1=[8(+yl ax oy f g)ld9db=-8(0.,)-10.)Mp=0 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 例三， 求二重积分: ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 , 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R , ( ) lim 1 0 = → + t g t t . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( ) ( ) ( )          −  =          −   + x y x y f g y f x x f g x y y , 2 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f g x y x y f g , , , , 2 2       = ( )     − f g 2 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 =         − =        − 1 1 0 0   ( )            −   = + D d y f x x f I g x y y  2 2 = ( )     − R d d f g       2 = ( )     −       2 0 0 2 d f d g R = ( ) ( ( ) ( ))  − − = R f f d g 0 2 0,  0,   0  

第十二章重积分 例四,求二重积分 I old 是 解:如图,切点 小园园心O1|, -)- I=JIs(r, do=[irda+[jindo DUD, =2(x,y)d-J1(x,y)= 8 u2+v uav=6-2pdpde=i 16 xty x2+y2≤l 9 p3dd6=-;I=l1-l2=;丌 例五,(02)1=』md,其中 D={x)0≤x10≤xs1} 解:1=e,hh e'dh+jedh=2』e'dh 2「edd=e-1 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 例四， 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  解：如图，切点         2 2 , 2 2 A , 小园园心         4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 ,         − −         f x y = − x − y ; ( )    = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( )    − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( )  = 1 2 , 1 D I f x y d =                   + −         − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d =    +  − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv  = 16 2 8 2 1 3       − =   d d ; x y d x y I x y  +        − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y  +  − + 1 2 2 2 2 = 2 1 3      − = −   d d ;  16 9 I = I 1 − I 2 = 例五，(021)    = D Max x y I e dxdy 2 2 , ，其中： D = (x, y) 0  x 1,0  x 1。 解：    = D Max x y I e dxdy 2 2 , =   + 2 2 1 2 D y D x e dxdy e dxdy=  1 2 2 D x e dxdy = 2 1 1 0 0 2 = −   e dx dy e x x . y A O1 D1 O x D2 y D2 D1 0 x

第十二章重积分 例六,证明:0>,、G-as- 证明: D= Ma e(=) y) D y e'dos|∫e-|-』je-dos』e-do 由zr2=(2a)2,得r 由此得∫edos』 e" do s[edo -e)≤∫e-do≤x-e-) 即 a2≤eax≤√v1-e 例七,若x∈[o]f(x)>0,单调减,设 x(是y=f(x)在[]上曲边梯形的重心x坐标 x(2D是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p≥x(2) xf(kdx xf()d 证明:x(/[≥x(21台 (x∫/(xk →∫x(x/(x2x(x 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 例六， 证明； a  0, 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , 证明： ( )                = Max x y a y x D : ,       +          = 2 2 2 : x y a y x Da       +          = 2 2 2 : x y r y x Dr     − − − − − − − − =           a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2  r = 2a ,得  a r 2 = 由此得    − − − − − −   a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − −   −     ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  例七， 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx y a r

第十二章重积分 ∫y(x)/()2y()/(x →jy(x)f()-y2()/()≥0 of(x)/2()-yo)(x)] 20 ∫()2(x)-xf(x/() x(D≥x(2e 「((x)f2()-y2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/()b≥0 A: xfx)0)-y2)f(x)=f()f(Xxv)-rf(x) 则,x/(x)f2()-yf2()/(x)+y/()f2(x)-xf2(x)/() f(x)()x-yf(x)-f()≥0 例八,若x∈p]0<m≤f(x)≤M,证明: M+m)2 ≤ dxcy≤ 4Mm 0≤x≤ Syst 证明: dxdy dxd 0≤ys1 首先有:2「(b dxdy f) f(x) 0≤ys1 (需 +2ad≥2 dxdy=1 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分  xf(x)f (y)dxdy yf (y)f (x)dxdy    1 0 1 0 2 1 0 1 0 2  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( )− ( ) ( )) =  xf x f y yf y f x dxdy 1 0 1 0 2 2 (yf (y)f (x) xf (x)f (y))dxdy  − 1 0 1 0 2 2 ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + −   x f x f y yf y f x yf y f x x f x f y dxdy 因： x f(x)f (y)− yf (y)f (x) = f (x)f (y)(x f(y)− yf (x)) 2 2 则， x f(x)f (y) yf (y)f (x) yf (y)f (x) x f (x)f (y) 2 2 2 2 − + − = f (x)f (y)(x − y)(f (x)− f (y))  0 例八，若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =         1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2  =         +         −           y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ;