《数学分析》第十五讲 含参变量积分的概念与性质

第四章重积分 第四章重积分 第六节含参变量的积分 4-6-1含参积分的概念及性质 4-6-2广义含参积分 第十五讲含参变量积分的概念与性质 课后作业 阅读:第四章第六节:含参变量积分pp135-141 预习:第五章第一节:曲线积分pp.142-151 作业 1.计算下列含参变量积分的导数 (1)F(x)=e (2)F(1)= In(1+x) 2.设f(x)为可微函数,且F(x)=(x+y)()小,求F"(x) 3.求椭园积分E()=「√1-k2sm9及F(k)=n (0<k<1)的导函数, 并以函数E(k)和F(k)表示之;证明E(k)满足微分方程 E"(k)+1E(k)+(k)=0 4.计算rx2-x° sin Indx,(a>0, b>0) Inx 提示:利用 Inx 5.设∫(x)为可微分两次的函数,F(x)为可微函数,证明:函数 u(x, )=5[(x-ar)+/(x+ar]+.F()dy a2u22 满足弦振动方程 及初值条件:u(x,0)=f(x),u(x,0)=F(x) 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 1 第四章 重积分 第六节 含参变量的积分 4-6-1 含参积分的概念及性质 4-6-2 广义含参积分 第十五讲 含参变量积分的概念与性质 课后作业： 阅读：第四章 第六节: 含参变量积分 pp.135---141 预习：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 作业: 1. 计算下列含参变量积分的导数 (1) F x e x x xy dy ( ) =  − 2 2 ; (2) F t tx x dx t ( ) ln( ) = + 0 1 . 2. 设 f (x) 为可微函数, 且 F x x y f y dy x ( ) = ( + ) ( ) 0 , 求 F(x) . 3. 求椭园积分 E k k d x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1   及 F k d k x ( ) sin / = − 0 2 2 2 1   (0  k  1) 的导函数, 并以函数 E(k) 和 F(k) 表示之; 证明 E(k) 满足微分方程  +  + − E k = k E k E k k ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 2 . 4. 计算 0 1 1  −       x x x x dx b a ln sin ln , (a  0,b  0). 提示: 利用 a b y b a x dy x x x  = − ln . 5. 设 f (x) 为可微分两次的函数, F(x) 为可微函数, 证明: 函数 u x t  f x at f x at  F y dy x at x at ( , ) = ( − ) + ( + ) + ( ) − +  1 2 满足弦振动方程     2 2 2 2 2 u t a u x = 及初值条件: u(x,0) = f (x) , u x = F x t ( ,0) ( )

第四章重积分 46-1含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式,在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质,即连续性、可微性与可积性 引例椭园曲线 0≤t<2x,a>b的弧长为 y=bsin t sin-i+b- cost dT sin t at; √1+E2sn2rdr; v b 虽然积分V1+E2sn2rdr,在E≠1时,不能表成初等形式,但确定了 个E的函数,这个积分称为含参变量E的积分,其一般定义为 含参积分定义设f(xy)在矩形域D={x,y)a≤x≤bc≤y≤d} 上连续,则对任意的y∈[]积分(xy存在,并确定了y的 个函数,记作(y)=f(x,y)dk,称为含参变量y的积分 注:含参变量积分大多是不能用初等函数表示,因此,含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便,记D={x,y)≤x≤bC≤y≤d为[a[d 46-2函数的一致连续性 函数y=f(x)在x0∈(a,b)点连续的定义义是 vE>0,彐(E,x0)>0,使当{x-x<d时|f(x)-f(x0)<E 一般说来,δ的选取不仅与E有关,而且与x0有关 例f(x)=一在(0,1)内连续,设x0∈(a,b),VE>0,要使 f(x)-f(x0=-<6 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 2 4-6-1 含参积分的概念 含参积分是函数的又一种常用的表示形式, 在理论上和实际上都有重 要的作用。本章主要研究含参变量积分与广义含参变量积分的概念及由它 所定义的函数的分析性质，即 连续性、可微性与可积性。 ⚫ 引例 椭园曲线 , 0 2 sin cos      = = t y b t x a t , a  b 的弧长为:  = +     2 0 2 2 2 2 L a sin b cos d =          − +    2 0 2 2 2 2 1 sin d b a b b ; 令 2 2 2 b a − b  = , ( )  = +      2 0 2 2 f 1 sin d ; 虽然积分  +     2 0 2 2 1 sin d ，在  1 时, 不能表成初等形式, 但确定了一 个  的函数, 这个积分称为含参变量  的积分, 其一般定义为 ⚫ 含参积分定义 设 f (x, y) 在矩形域 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 上连续, 则对任意的 yc,d, 积分  b a f (x, y)dx 存在, 并确定了 y 的 一个函数, 记作  = b a I( y) f (x, y)dx , 称为含参变量 y 的积分。 注: 含参变量积分大多是不能用初等函数表示, 因此, 含参变量积分是 表示非初等函数的一个重要方法。 为方便，记 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 为 a,bc,d. 4-6-2 函数的一致连续性 ⚫ 函数 y = f (x) 在 x0 (a,b) 点连续的定义义是:   0,  (, x0 )  0, 使当 x − x0   时 f (x) − f (x0 )   . 一般说来,  的选取不仅与  有关, 而且与 x 0 有关。 例 f x x ( ) = 1 在(0, 1)内连续, 设 x0 (a,b),   0 , 要使 f x f x x x ( ) − ( 0 ) = −  0 1 1 

第四章重积分 11+ax 取 则1 >0 取(x)=m 1-ao 1+ao 则当x-xl|<(E,x0)时,|(x)-f(x0)<E 显然在区间(01)内对任意给定的E>0,没有一个与x0无关的 6(),使得x-x<引()时,(x)-f(xn)<E成立 但在](c>0内,则当xE[]时,只要取6(s)=5 此时,当x-x0|<0()时,对xo∈[c](x)-f(x0)<E都成立 对于上述两种情况,我们称∫(x)=-在(0,1)区间上不一致连续,而 在[c,区间上一致连续 定义设函数∫(x)在区间Ⅰ上连续,如果∨E>0,存在只依赖于E的 6()>0,使当x∈I且x-xo<b(E)时,Wx∈均有 (x)-f(x)<E,则称f(x)在/上一致连续 它等价命题是 VE>0,3()>0,x,x"∈1,x'-x<b(),f(x)-f(x")<E 定理有界闭区间[a,b上的连续函数一致连续 有关一致连续的定义和定理可以推广到多元,下面以二元函数为例 定义设∫(x,y)在域DcR2上连续,如果∨E>0,彐()>0,使当 (x+4,y0+)∈D,且<8,<d时,W(x02y)∈D,均有 Jf(x+Ax,y+4)-f(x,y10)<E,则称f(x,y)在域D上一致连续。 定理若∫(xy)在有界闭区域D上连续,则它在D上一致连续。 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 3 即 1 0 1 1 0 0 0 −   x +  x x x x , 取   1, 则 1− x0  0 , − −  −  −     x x x x x x 0 2 0 0 0 2 1 1 0 , 取 ( )       , x min , x x x x x x 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 1 1 0 = − +       = + , 则当 x − x0   (, x0 ) 时, f (x) − f (x0 )   . 显然,在区间 (0,1) 内对任意给定的   0 , 没有一个与 0 x 无关的  ( ) ，使得 −   ( ) 0 x x 时, f (x) − f (x0 )   成立。 但 在 c,1, (c  0) 内, 则当 x0 c,1 时, 只要取 2 ( ) 2  c   = , 此时, , 当 x − x0   () 时, 对 x0 c,1, f (x) − f (x0 )   都成立。 对于上述两种情况, 我们称 f x x ( ) = 1 在(0,1)区间上不一致连续, 而 在 c,1 区间上一致连续。 定义 设函数 f (x) 在区间 I 上连续, 如果   0, 存在只依赖于  的  ()  0 , 使 当 x I 且 x − x0   () 时 , x  I 0 均 有 f (x) − f (x0 )   , 则称 f (x) 在 I 上一致连续。 它等价命题是:   0, ()  0, x , x I, x − x  (), f (x) − f (x)   定理 有界闭区间 [a,b] 上的连续函数一致连续。 有关一致连续的定义和定理可以推广到多元, 下面以二元函数为例 定义 设 f (x, y) 在域 D  R 2 上连续, 如果   0 ,  ()  0 , 使当 (x0 + x, y0 + y) D , 且 x   , y   时 , (x0 , y0 ) D , 均 有 f (x x, y y) f (x , y ) 0 +  0 +  − 0 0   , 则称 f (x, y) 在域 D 上一致连续。 定理 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 则它在 D 上一致连续

第四章重积分 46-3含参积分的解析性质 连续性定理若f(x,y)在D:[,b][cd]上连续 则/(y2-(xy)在小上连续,即w小均有 J4)Ja/(x, y)dr= lim f(x, y)dx=/(,Mo)dx 证明设yo∈ ∫(x,y)x-f(x, =[(x,y)-f(x,y0 sU(x, y)-f(x, J,)r 由于∫(x,y)在有界闭区域D上连续,从而一致连续,因此对于上述 E,存在不依赖于(x,y)的>0,使得当ye[c4]且y-y<o时, I(x,y)-f(x,yo k< E 于是 J(x,y)-f(x,y0)女< 故I(y)在yo点连续,本定理得证。 注:上述定理表明,积分f(x,y)d对参变量y的极限运算与对变量 x的积分运算的顺序可变换,这个性质也称为积分号下求极限 可导性定理1)设几(xy)及在有界闭区域D:[a×司]上 连续,Vy∈(c,d), f(x, y)dx a∫(x,y) 证明记1(y)=f(x,y),则 (y0+4y)-/(y0)_1 小 4【(x,3+2)-f(x,) =f(xy0+Ay),(0<<1) 由于∫y(x,y)在D区域上连续,根据连续性定理,可得 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4 4-6-3 含参积分的解析性质 ⚫ 连续性定理 若 f (x, y) 在 D : a,bc,d 上连续, 则  = b a I( y) f (x, y)dx 在 c,d 上连续, 即 y c,d  0  , 均有 →  b y y a lim f (x, y)dx 0   = = → b a b y y a lim f (x, y)dx f (x, y )dx 0 0 . 证明: 设 y c,d 0  ,   0 , 由   a b a b a b f x y dx f x y dx f x y f x y dx    ( , ) − ( , ) = ( , ) − ( , ) 0 0  − a b f (x, y) f (x, y ) dx 0 . 由于 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 从而一致连续, 因此 对于上述  , 存在不依赖于 (x, y) 的   0, 使得当 y c,d 且 y − y0   时, f x y f x y b a ( , ) − ( , )  − 0  , x a,b, 于是 a b a b f x y f x y dx b a dx   −  − ( , ) ( , 0 ) =   , 故 I(y) 在 y 0 点连续, 本定理得证。 注: 上述定理表明 ,积分 a b f x y dx  ( , ) 对参变量 y 的极限运算与对变量 x 的积分运算的顺序可变换, 这个性质也称为积分号下求极限。 ⚫ 可导性定理(1) 设 f (x, y) 及 y f   在有界闭区域 D : a,b c,d 上 连续, y0 (c,d) ,   = =          =      b y y a y y b a dx y f x y f x y dx dy d 0 0 ( , ) ( , ) . 证明 记 I y f x y dx a b ( ) = ( , )  , 则   I y y I y y y f x y y f x y dx a ( ) ( ) b ( , ) ( , ) 0 0 0 0 + − 1 = + −      . =   +  b a f y (x, y y)dx 0  , (0    1) . 由于 f  x y y ( , ) 在 D 区域上连续, 根据连续性定理, 可得

第四章重积分 I(y)=m(o+Ay)-1(0) dy =mnJf"(x,y0+的y) L lim /'(x, yo+OAy)dx= f(x, yo)dx Av→0 这表明,若f(x,y)满足定理的条件,则由含参积分(x,y)定义 的函数I(y)在(c,d)内可微,且对参变量y的求导与对x的积分运算可变换 顺序,这个性质也称为积分号下求微商 可导性定理(2)设 (x,y)及,(x,y)在D:[b×小上连续 (i)a(y,B)在[c:d]上可微,且y∈[e4]时,满足asa(y)≤b ≤B(y)≤b dy Ja(yy/(r,y)dx=[) d rB(r) atn jy(x,y)dx f(B(),y)B'()-f(a(v),yka'() 证明:记I(y) f(x, y)da I()='f(, y)dx+ mf(x,y)dx+ B() f(x, y)dx 将上式等号右边的三个积分分别记为l3(y),1(y),12(y) 它们分别在y0点处的导数是 (On)= 12(y0+4y)-l2(y0) 12(y+4y) 12(y0)=lim 4 ∫(x,y+4y f(,y+△y B(o+△y)-B(0) 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 5 y I y y I y I y dy d y y y  +  − =        → = ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x y y dx y b y a lim ( , ) 0 0 =  +  →    = f x y y dx y y b a lim ( , ) 0 0  +    →  = ( , ) . f x y0 dx y b a   这表明, 若 f (x, y) 满足定理的条件, 则由含参积分 a b f x y dx  ( , ) 定义 的函数 I(y) 在 (c,d ) 内可微, 且对参变量 y 的求导与对x的积分运算可变换 顺序, 这个性质也称为 积分号下求微商。 ⚫ 可导性定理(2) 设 (i) f (x, y) 及   f y (x, y) 在 D : a,b c,d 上连续; (ii) ( y),( y) 在 c,d 上可微, 且 y c,d 时, 满足 a  ( y)  b , a  ( y)  b。 则 d dy f x y dx f x y dx y y y y y     ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )   =  + f ((y), y)(y) − f ((y), y)(y). 证明: 记 I y f x y dx y y ( ) ( , ) ( ) ( ) =   , y0 c,d, ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0    = + + y y y y y y I y f x y dx f x y dx f x y dx       将上式等号右边的三个积分分别记为 ( ), ( ), ( ) 3 1 2 I y I y I y , 它们分别在 y 0 点处的导数是：  =   I y f x y dx y y 1 0 y 0 0 0 ( ) ( , ) ( ) ( )    = + − = + → → I y I y y I y y I y y y y y 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) ( ) lim ( )       = + → +  lim ( , ) ( ) ( )     y y y y y f x y y dx 0 0 1 0 0   . = ( ) y y y y f y y y  +  − +    → ( ) ( ) lim , 0 0 0 0   