结构理论 可以看到，力多边形与索多边形一起使用，平面力系的三种情况完全可以通过几何法来 研究。如果力多边形是不闭合的，那么已知力系化简为一个合力。如果力多边形是闭合的， 但是索多边形第一条边和最后一条边是平行但不重合的，那么力系化简为一个合力偶。如果 力多边形是闭合的，并且索多边形第一条边和最后一条边是重合的，也就是索多边形也是闭 合的，那么力系平衡。因此力系平衡的几何条件是：力多边形和索多边形都自行闭合。 [例1]确定承载梁AC在支座A和B处的约束反力，如图1.39a所示。在图1.39b中， 从自由矢量AB表示的载荷P开始，并且选择极点O,可以建立射线1和2，然后画出索多边 形相应的两条边ab和bc,如图1.39a所示。那么，这个索多边形的闭合边ac决定了图 1.39b中相应的射线3的方向，约束反力R。和R,分别由矢量BC和CA几何确定。同预想的 一样，约束反力R,的方向是向下的。 a) b) 图1.39 [例2]我们以屋顶桁架ABC为例，支撑和载荷如图1.40a所示。这里，为求得支座A 和B的约束反力，我们从力多边形ABCDEF开始，选择一极点O,画如图1.40b所示的射线 1到6。现在，在这种情况下，当建立图1.40a所示的索多边形时，应注意铰链A是R,作用 线上惟一的已知点。因此，必须从这点开始建立索多边形。那么，由于载荷P也通过A点， 则索多边形相应于射线1的边消失。否则，用普通方式建立索多边形，我们得到如图1.40a 所示的闭合边4b。之后，我们返回到图1.40b,可以由射线7（平行于索多边形的闭合边）和 已知垂直方向的力R。的交点得到力多边形的顶点G。那么，所求约束反力完全可以由如图 1.40b所示的矢量FG和GA确定。 0 b) 图1.40
第1章平面静力学基础 习题 1,用几何法确定简支粱的约束反力R。和R。的大小，栽荷如图1.34a所示。 2.如图1.27所示结构，用索多边形确定支座A和B的约束反力的大小。 3.用索多边形确定简单析架中1、2和3杆的轴力，载荷 如图1.25所示。 4.如果较链A是辊轴支座，较链B是固定较支座，用几 何法确定如图1.40a所示简单浙架中支座A和B的约 束反力。假定AB=40t,∠CAB=∠CBA=15°，P =1,000lbf。 5.如图1.41所示，用几何法确定支撑梁AB的1、2和3 图1.41 杆的轴力，假定P=1,000lbf。 1.6索多边形的应用 在前面的各节中，我们仅仅在分析一个平面内的力的几何组成和求解反力时，将索多边 形作为一种工具而应用。然而，我们已经看到，索多边形自身具有一定的物理意义，即在已 知力系作用下，绳索平衡的几何组成。这个概念在一定程度上可以概括成我们假想存在一种 既能承受拉力也能承受压力的绳索。因此，举例来说，索多边形abedef(见图1.42a)可以看 作一个铰接杆系，在α和f支撑而形成一个拱，在已知力系作用下平衡。有时我们需要建立 满足特定条件的索多边形，例如通过2个或3个给定的点。这个普遍问题可以被简化为如下 定理描述： 定理如果对于一个平面的给定力系在两个不同的极点O和O'画两个任意的索多边形， 则多边形的相应边的交点在平行于两极点连线O0'的直线上。 图1.42 定理证明如下：令F1、F2、F3…(见图1.43a)为平面任意力系，令ABCDE…(见图 1.43b)为相应的力多边形，0和0'是两个任意极点，1、2、3、4…和1'、2'、3'、4'…为相 应的射线。然后，由在力系作用平面内的任意两点a和a'开始，相应于极点O和O'的两个 索多边形abcde…和a'b'c'd'e'…就可以用通常的方式构建。现在按照l.5节的讨论，在b点 (见图1.43a)将力F,用分力1、2来代替，分力由矢量A0和B0来表示（见图1.43b)。同理， 在b'点，用由矢量B0'和A0'表示的分力2'和1'，作为F,的平衡力。因此，力1、2、1'和2 (见图1.43a)是四个平衡力。由此，可以推断出：如果在力系作用平面内的m点，用力1'和
结构理论 1代替由矢量00'表示的合力（见图1.43b),而在n点处用力2和2'代替由矢量00'表示的合 力（见图1.43b),这两个合力大小相等、方向相反，因此它们必定在同一条直线上。也就是 说，两个索多边形相应的第一条边和第二条边上的交点m和n在两个极点连线O0'的平行直 线上。同理，对于力F2,可推断出两个素多边形相应的第二条边和第三条边上的交点n和 O,也在两个极点连线O0'的平行直线上，等等。因此，点m、n、o、p、9…全部处在平行 于O0'的直线上。定理证明完毕。 a)】 b) 图1.43 过三点的索多边形借助于上述定理，对于任意平面力系，建立一个索多边形，让其三 条边过力系作用面内三点是可能的。如图1.44a所示，首先由两个共面力P和Q开始，我 们希望建立一个索多边形，让其三条边分别通过给定点m、n和p。首先我们建立力多边形 ABC,如图1.44b所示。然后，不是任意选择一个极点，而是先建立索多边形的两条边ab 和bc,让这两个边分别过给定点m和n,如图1.44a所示。由具有确定位置的相应索多边形 的极点0开始可得到所谓的试探索多边形，即有射线1和2（见图1.44b)的交点开始，分别 画通过顶点A和B平行于试探索多边形的边ab和bc。在极点O,画射线3，然后做平行于 射线3的试探索多边形的相应边cd,如图1.44a所示。通常情况下，试探索多边形的最后一 条边不经过给定点。然而，从试探索多边形和上面的定理可以很容易地确定给定力P和 Q,三条边分别经过给定点m、n和p的索多边形，这个索多边形就是真正的素多边形。为 画出真正的索多边形，必须注意试探索多边形的最初两条边分别经过给定点m和，因此， 真正的索多边形的最初两条边必须也经过这些点。因此，直线mn(见图1.44a)必是真正索 多边形和试探索多边形的相应的交线。延长试探索多边形的第三条边cd到直线mn的交点 q,我们得到的真正索多边形第三边必经过这一点。真正索多边形的第三边也必经过点P, 这样可得到如图1.44a所示的边c'd'的位置。现在通过力多边形的顶点C,可画出平行于 c'd'的射线3'，过O点画出平行于直线mng的一条直线。两线交点决定了真正索多边形上的 极点0'。画出射线1'和2'并构建索多边形a'b'c'd',如图1.44a所示。这个索多边形，正如 所期望的那样，三条边分别经过给定的三点m、n和P。 如果在平面内有几个力，并希望构建一个通过给定的m、n和p三点的索多边形，应首 先取m和n的合力P,还有n和p的合力Q,然后进一步进行分析，如图1.44所示
第1童平面静力学基础 图1.44 经过三个给定点的索多边形在确定三铰拱的支反力时有其实用价值，如图1.45所示。 首先应用力P和Q构建一个索多边形a'b'c'd',其三边分别通过饺链中心A、C和B。索多 边形的建立如图1.45a所举实例。显然，射线1'、2'、3'作为矢量时（见图1.45b),表示反 力R4,Rc=R:和R。因此，当反力在点A、C和B处分别作用时，不论拱是作为整体还是 部分，它们都能够满足平衡条件。 D a) b) 图1.45 习题 1.长为1的绳子ACB挂在两垂直的墙之间，如图1.46所示。绳子上有一个小滑轮C,吊一 重物栽荷P,滑轮在绳子上无摩擦滚动。当1=2a=4b时，求系统平衡时的构成并采用几 何方法求解。 2.起重机的提升缆绳上有一系列的滑轮a、b、c、d和e,如图 1.47a所示。用绳索作滑轮作用在起重机结，点上的力系的索多边 形，证明这些力系由多边形ABCDEF完全确定，如图1.47b 所示。 3.确定如图1.48所示平面析架的上弦杆abcdefgh的正确形状，从 而当在给定栽荷系P作用下，所有斜杆是被动杆。当1=70、k =18时，求相应弦杆力的大小。 4.过A、B、C三点建立素多边形，确定拱肋为半圆孤的三较拱上 图1.46 支座处的反力，如图1.49所示
结构理论 5.系在A点的柔顺无重绳索，在D点穿过一个滑轮，在自由端承受载荷P,如图1.50所 示。带小棍子的刚性杆BC两端承受栽荷P和Q,沿着绳索杆能自由滚动。忽略摩擦，确 1 定系统的平衡构成。已知数据如下：a=18f,b=4f,c=8t,P=2Q。求BC杆的压力S, 用几何法完全求解。 a 图1.47 图1.48 2tn ) 225 40 40 图1.49 图1.50 1.7分布力作用下的索曲线 在前面的讨论中已经研究了集中力的各种情况。有时，还需要考虑在分布力作用下的结 构的平衡问题。例如，考虑等截面直梁AB(见图1.51a),梁的重量沿梁的长度均匀分布。 这种分布力完全由载荷集度9来定义，9表示梁单位长度的 重量。从几何上，它由矩形AabB表示，这称作载荷图。在 通常的情况下，载荷并不沿粱的长度均匀分布，这种载荷 》 的分布情况，也能够完全被图1.51b的载荷图表示。在这 里，每点载荷集度由相应的纵坐标表示。 任何给出的载荷图都能被近似地表示为一系列的梯形 单元，如图1.51b所示。如果9在△x上的载荷集度是均匀 △x 的，那么，相应的梯形单元可表示为力△P=q×△x,且力 b) 的作用线过单元形心。用这种方法可以得到一系列平行力， 它们的大小由相应的梯形面积来表示；它们对于任一点的 图1.51