费曼物学讲义(第三卷) 念引伸到别的领城中去时,它们往往完全被弦曲了.因此我们将尽可能把自己的评论局限 于物理学本身 首先,最有趣的是测不准原理的概念.人们向来都知道进行观察要影响现象但是要点 在于,这种效应不可能依靠重新调整仪器来忽略、减到最小或任意减小.当我们观察一定 的现象时,不可避免地会以某一最低限度的方式来扰动它,这种扰动是物理观点的致性 所必需的.在量子力学以前的物理学中,观察者有时也是重要的,但这只是从无关紧要的意 义上来说.曾经有人提出过这样的一个问题如果有一棵树在森林中倒了下来,而旁边没有 人听到那它会发出响声吗?在一片真实的森林中倒下的一棵真实的树当然会发出声音,即 使没有任何人在那里,但即使没有人在那里听到,它也会留下其他的迹象,响声会震动 些树叶,如果我们相当仔细的话,可以发现在某个地方有一些荆棘将树叶擦伤,在树叶上留 下徵小的划痕除非我们假定树叶曾经发生振动,否则对此划痕就无法解释.所以在某种 意义上我们必须承认这棵树确实发出过声音.我们也许会问:是否有过对声音的感党呢?不 像有过,感觉大约总与意识有关.蚂蚁是否有意识以及森林中是否有蚂蚁,或者树木是否有 意识,这一切我们都不知道.对这个问题我们就谈到这里吧! 量子力学出现以来人们所强调的另一件事情是这样一个观念:我们不应当谈论那些我 们不能够测量的事情(实际上相对论也这么说过).除非一件事忙能通过测量来定义,否则 它在理论上就没有地位.由于一个定域粒子的动量的糍确值不能通过测量来确定,因此它 在量子理论上就没有地位.但是,认为经典理论的问题就出在这里是错误的.这是一种对 情况所作的粗枝大叶的分析.因为我们不能精确地测量位置和动量并不先验地意味着我们 不能谈论它们,而只是意味着我们不必谈论它们.在科学中情况是这样的:一个无法测量或 无法直接与实验相联系的概念或观念可以是有用的,也可以是无用的.它们不必存在于理 论之中.换句话说,假如我们比较物理世界的经典理论与量子理论,并假设实验上确实只能 粗略地测出位置与动量,那么问题就是一个粒子的精确位置与它的精确动量的概念是否仍 然有效.经典理论承认这些概念;量子理论则不承认.这件事本身不意味着经典物理是 错误的.当新的量子力学刚建立时经典物理学家——除去海森伯、薛定谔和玻恩以外所有 的人—一说:“看吧,你们的理论一点也不好,因为你们不能回答这样一拦问题:粒子的精确 位置是什么?它穿过的是哪一个孔?以及一些别的问题”.海森伯的答复是:“我不用回答这 样的间题,因为你们不能从实验上提出这个问题.”这就是说,我们不必回答这种问题,考 虑下述种理论(x)与(b);a)包括一个不能直接检验但在分析中要用到的概念,而(b则 不包括这个概念,如果它们的预测不一致,我们不能声称:由于(b)不能解释(a)中的那个 概念,因而它就是错的因为这个概念是一个无法直接检验的东西.知道哪些观念不能直接 检验总是好的,但是没有必要将它们完全去掉,认为我们只利用那些直接受到实验制约的 概念就能完全从事科学工作的这种看法是不正确的 量子力学本身就存在着波函数振幅,势,以及其他许多不能直接测量的概念.一门科学 的基础是它的预测能力,预测就是说出在一个从未做过的实验中会发生什么怎么能做到 这一点呢?所用的方法是假定那里会发生什么事情,而不依赖于实验.我们必须把各种实验 绪果外推到它们尚未做过的那个领域,同时必须引用我们的概念,并把它们引伸到还未得到 检验的那些地方,如果我们不这样做就谈不上预测.所以,对于经典物理学家来说,欣然 赞同将是非常明智和偷快的并且假定位置一它对棒球来说有着明显含义一一对于电子
第2章波动观点与”子现点的关系 也具有某种含义.这并不是什么笨拙,而是合情合珉的步骤.今天我们说相对论应该对所 有的能量都是正确的,但是或许有一天,有人会跑来说我们是多么笨呀:直到“惹出祸来”,我 们实在是不知道笨在哪里的,所以整个思想就是惹点祸出来.唯一能发现我仍错误的方法 是找出我们的预测是什么,这对于建立起一种概念是绝对必要的 我们已对量子力学的不确定性作过一些评论.那就是我们现在还不能预测在给定的、 尽可能仔细安排的物理条件下会发生什么物理事件.假如有一个原子处于受激态,即将发 射光子,那么我们无法说出它将在什么时侯发射光子.它在任何时刻都有发射光子的一定 振幅,我们可以预瀷的只是发射的几率;我们不熊精确地预测未来.这件事引起了种种胡扯 和关于诸如意志自由的含义的问题,还引起了世界是不确定的种种想法 当然,我们必须强调,在莱种意义上经典物琛也是不确定的.人们通常认为这种不确定 性—我们不能预言未来一是一种重要的量子力学的特色,而且据说这可用来解释心理 的行为,自由意志的感觉等等但是如果世界真是经典世界一如果力学定律是经典的 心理上也不见得会多少有些不同的感受,确实,就经典观念而言,如果我们知道了世界上 (或者在一个气体容器中)的每个原子的位置与速度,那么就应当能精确地颈言会发生什么 因此经典的世界是决定论的.然而假定我们的特确度有限而且的确不知道一个原子的确 切位置,譬如说只精确到十亿分之一,那么这个原子运动时会撞在别的原子上,由于我们所 知道的位置的精确度不超过十亿分之一,因此我们发现在碰撞后,位置的误差还会更大,当 然,在下一次磁撞时,误差又将被放大这样,如果赵先只有一点点误差的话,后来就会迅速 放大而出现很大的不确定性举个例子来说:比如一道水流从堤坝上泻下时,会飞溅开来如 果我们站得很近,常常会有一华水滴溅到我们的鼻子上.这一切看来完全是无规则的,然j 这样一种行为能由纯粹的经典定律来预序.所有水滴的精确位置取决于水流流过坝以前的 精确运动.果怎样呢?在水流落下时,极微小的不规则性都被放大了;结果就岀现了完全 的不规则性很明显除非我们绝对精确地知道水流的运动否则就不能真正预知水滴的位 置 说得更明确一些给定任一精确度,无论它精确到怎样的程度,我们都能我到一个足够 长的时间,以致无法对这么长的时同作出有效的预言.其实要点在于这段时间并不太长,如 果精确度为十亿分之一,这个时间并不是数百万年.事实上,这个时间随着误差呈对数式地 增长,结果发现只在非常、非常短的时间里我们失去了所有的信息,如果精确度提高到十亿 乘十亿再乘十亿分之一一那么不管我们说多少个几十亿,只要最后不再说下去—一我们 就能找到一个比刚才提到的精确度的数字还要短的时间一过此时间后就再也不能预言会 发生什么了!因此诸如以下的说法,什么由于人类思维的明显的自由与非决定性我们应当 认识到再也不能希望用经典的“决定论的”物理来理解它;什么欢迎量子力学将我们从“绝对 机械论的”宇宙下拯救出来啊等等都是不公正的,因为从实际的观点来说,在经典力学中 早已存在着不可确定性了
几率振幅 §3-1振幅组合定律 当薛定谔最初发现量子力学的正确定律时,他写出了一个方程,描述在不同地点找到粒 子的振幅.这个方程非常像经典物理学家原来就知道的某些方程—曾利用这些方程来描 述空气中声波的运动,光的传播以及其他一些现象,所以在量子力学建立的初期,大部分 时间都花在解这个方程上.但在同一个时期,主要是玻恩和狄喇克发展了对隐藏在量子力 学方程式背后的全新的物理概念的理解.随着量子力学的进一步发展,人们又发现还有许 多东西没有直接包含在薛定谔方程里一如电子自旋以及各种相对论现象,传统上所有的 量子力学课程都是以同一方式开始的,即顺着这一主题历史发展顺序讲解.一个人首先 得学习大量的经典力学,这样他就会懂得如何去解薛定浮方程.然后,他花很多时间去求各 种情况下薛定谔方程的解,只有在详尽地研究了这个方程之后,才接触到电子自旋这个“高 级”课题 我们原来也曾考虑过,结束这些物理课程的正确方式是给你们讲解怎样去解复杂情况 下(例如在封闭区域内声波的描述圆柱型空腔中电磁辐射的模式等等)的经典物理学方程 这是本课程的最初计划:然而,我们还是决定抛弃这个计划而代之以量子力学的导论.我 们得到这样的结论:通常认为量子力学的高级部分事实上是十分筒单的这里而所用的数学 特别简单,只包含简单的代数运算而且没有徽分方程,至多只有一些很简单的微分方程.唯 的问题是,我们必须跃过一↑缺口,这个缺口是我们不再能够详细描述粒子在空间行 为.所以,我们想要做的是:给你们讲解通常所的量子力学的“高级部分.但是我们保 证,它们是极其简单的部分—从深刻意义上来说——问时也是最基本的部分.坦白地说 这是一个教学法的实验,据我们所知,以前还从来没有这样做过 当然在这个课题中我们的困难是对物体的量子力学行为十分陌生,没有人曾在日常 经验中获得过有关物体量子力学行为的粗糙的、直观的概念.有两种介绍这一课题的方法 我们可以用较为粗略的物理方式来描述可能发生的事件,或多或少地告诉你们发生了-些 什么面不给出每一事件的精确定律;或者用抽象的方式给出精确的定律.但是,由于抽象, 你们就完全不知道它们的物通意义.后一种方法不能令人满意,因为它完全是抽象的,而前 种方法使人感到不安因为无法知道究竟哪些东西是真实的哪些是虚假的.怎样克服这 个因难我们尚无把握.事实上你们会注意到在第一和第二章里已经提出了这个问题第 章是比较精确的,而第二章是对不同现象的特征的租糙描述.在这里,我们将尝试在这两 个极端之间找到一种适当的描述方法 本章我们将首先处理一些普遍的量子力学概念.某些表述是十分精确的,另一些表述 只是部分确.当我们进行讲解的时侯很难向你们指明哪一些表述是十分精确的哪一些 是部分精确的但是当你们学完这一本书的其余部分以后再回过头来看一看就会知道哪些 部分已经掌握了,哪些部分只是简略的解释.本章以后的各章将不像本章那样不精确,事
第3几菜探幅 实上,在以后各章里,我们精心力求讲得更精确的理由之一是:要向你们指出量子力学中最 美妙的东西之 从很少的前提可推导出很多的结论 我们还是从讨论几率振幅的叠加开始.我们将用第一章的实验作为例子,并把它重新 画在图8-1上、有一个粒子(訾如说电子)源s:后面是一堵上面有两条狭缝的墙,在墙后面 有一个探测器放在某一个位置a.我们要求在a处发现粒子的几率.量子力学的第一普遍 原理是:粒子从源s发出到达a的几率能够用一个叫做几率振幅的复数的绝对值的平方来 定量地描写——在现在这个例子中,就是“从8来的粒子到达z的振帼”,量子力学中经常 用到这个振幅,我们用一个速记符号一一狄喇克所发明而在量子力学中通用的—一来播写 这个概念.我们用这样的方式来表示几率振幅 <到达a的粒子离开s的粒子> 换言之两个括号<>是与“振幅”相当的记号,竖线有边的表式总是表示初始状况左边的表 示终止状况,为了方便,有时候可以进一步缩写,各用一个字母分别表示初始状况和终止状 况例如,有时我们可以把振帽(31)写 <x|8. 我们要强调-下,这个幅当然只是己等 个单独的数字—一个复数 电于枪 在第一章的讨论中,我们已经看到, 粒子到达探测器有两条可能的路径时, 总的几率不是两个几率之和,而必须写 图3-1电子的十涉实验 成两个振幅之和的绝对值的平方两条路径都畅通的时候,电子到达探测器的几率是 P1=|中1+φ22 我们把这个结果用新的符号来表示.不过我们先要讲一讲量子力学第二普遍原理:当一个 粒子可以通过两条可能的路径到达某一给定的状态时,这个过程的总振幅是,分别考虑两条 路径的振幅之和,用新的符号表示 〈叫|s>两个小乳打洋=<aa1+(s>ata 顺便提一下,我们必须假定小孔1和2是足够地小,当我们谈及电子通过小孔的时候,我们 不必讨论通过的是小孔的哪个部分.当然我们可以把每一个小孔分割成许多部分,而电子 具有通过小孔的上部或通过小孔的底部或其他部分的一定振幅我们假定小孔是足够地小, 从而就不必为这些细节操心.这就是所涉及的粗糙部分;我们可以使之更为精确,但是在现 阶段还不镨要那么做 现在,我们要详细地写出关于电子通过小孔1到达位于a处的探测器这一过程的振幅 我们能说些什么,在这里,我们要应用第三普遍原理:如果粒子走的是某一特定的路线,对 于这条路线的振幅可以写成走过部分路程的振幅以及走过其余部分路程的振幅之乘积.对 于图31的装置,从8通过小孔1到达x的振幅等于从s到孔1的振幅乘以从孔1到如的 振幅 如8>a=〈a|11$ 这个结果也不是完全特确的.我们还应当在振幅中包含一个关于电子通过小孔1的因子, 但是,在目前的管况下这只是一个简单的小孔,我们可令这个因子等子1
曼物理学讲义(第三卷 你们要注意,式(35)是以相反的次序写的.它应当从右边读到左边.电子从器到1 然后从1到a.总结一下,如果事件是接连发生的—就是说,如果你们能够分析粒子所走 的一条路线,说它先走这一段,然后走那一段,再走另一段—则将各相继事件的振幅相乘 即算得该路线的总振幅.运用这个定律,我们可以将式(34重新写成 a|s><如|1<1|8+<a|2<2|8 现在我们要指出,只要运用这几条原理我们就能计算如图3-2所示那种更为复杂的问 题.在该图中有两堵墩,一堵墙上有两个小孔1和 2,另一堵墙上有三个小孔a、b和.在第二堵墙后 k一 Q-引面有探测器位于a处我们要求粒子到达这一探测 器的振幅.一个你们能求出振幅的方法是计算通过 这许多小孔的波的叠加或干涉但是你们也可这样 来求,认为有六条可能的路线,把走过各条路线的振 幅叠加起来.电子可以先通过小孔1,然后通过小 孔a,最后到达或者它可以先通过小孔1,然后通 图32.一个比软复杂的于涉实脸过小孔b,最后到达a,如此等等.按照上述第二 原理,对于可选择的路线其振幅相加.所以我们可以把电子从器到c的振幅写成六个单独 振幅之和另一方面应用第三原理,每一个单独的振幅都能写成三个振幅的乘积,例如,其 中有一个是从8到1的振幅乘以1到a的振幅再乘以a到的振幅.采用我们的速记符号, 从8到a整个振幅可写成 ∞8-<叫③<1<1|s+<x|b<b1<18+…+<me)(o|2(2|s 可用求和符号来节省书写 <s=∑<a|a)<a!s>. 为了用这些方法进行计算,自然必须知道从一个地点到另一地点的振幅.我们将给出 个典型振幅的粗略概念,它不考虑像光的偏振和电子自旋之类的东西,但是,除了这种特 点之外,它是十分准确的.有了这些概念你们就能够解决涉及狭缝的各种组合的问题,假 设有一个具有一定能量的粒子,在真空中以位置1走到位置T2,即这是一个不受力作用的 自由粒子.除了前面还要有一个常数因子外,从r1到T的振幅是 <rs|f少 pIrs/ (37 其中1=7-"1,P是动量,它和能量由相对论方程联系起来 p22-E2-(mo·2)2, 或者由非相对论方程式联系起来 2=动能 方程式(37实际上表示粒子具有像波一样的性质振幅就像一个具有波数等于除以动量 的波那样传播. 在最一般的情况下,振幅和相应的几率也应当包含时间对于大多数这些初步的计算我 们假设粒了源始终发射具有特定能量的粒子,所以我们不必考虑时间问题但是在一般的情 况下我们可能对另外一些问题感兴趣,假设有一个粒子在某一时刻在某一地点P被释放