第2章波动观点与粒子观点的关系 了波列中与最前端相距为L的一点.所以为了使在我们的光谱中能有一条与一定 的动量对应的锐线[其测不准量由式(2.4)给出],我们必须有一列长度至少为五的波列 如果波列太短,我们就没有用到整个光.形成光谱的波只是从光栅中很短的扇形区反射 的波,光栅的作用没有很好发挥—我们将得到一个很大的角展度,为了得到较窄的角展 度,我们必须利用整个光栅,这样至少在某些时刻整个波列应同时从光栅的各部分散射出 来.因此为了使波长的测不准量小于式(25)所给出的值,波列的长度必须为工.顺便说一 因此 d (27) 这里L是波列的长度 这意味着,如果有一长度小于L的波列,那么在波数上的测不准量必然超过2/D,.或 者说波数的测不准量乘以波列的长度—暂时我们称之为4--将大于23,我们之所以 称波列长度为4是因为这是粒子在位置上的测不准量.如果波列只存在于有限长度之中, 那么,这就是我们能找到粒子的区域在测不准量da范围以内.波的这种性质,即波列的长 度乘以相应波数的测不准量至少为2这一点,是每个研究波的人都知道的,这与量子力学 毫无关系,这只是说,如果我们有一长度有限的波列的话,没有办法很精确地数出波的数 目.我们试从另一途径来看看其中的理由 假定我们有一长为L的有限波列;那么,由于它在两端必定减少(如图2-1所示),所以 在长度L中波的数目是不确定的,其测不准量约为±1,但在长度L中的波数是k/2x, 可见h是不确定的,我们又重新得出式(2.7)的结果它只是波的一种特性.无论波是在空 间传播,}是每厘米的弧度数,J是波列的长度,还是波在时间上展开,ω是每秒的振动数, 2是波列持续的时间“长度”都会出现同样的情况.这就是说:如果只是持续一定的有限时 间型的波列,那么频率的测不准量则由下式确定: =2/ 我们已经着重指出,这些都只是波的性质例如,在声学理论中就已为人们所熟知了 要点在于,在量子力学中,我们将波数解释为对粒子动量的一种量度,即P=M,这样, 式(27就告诉我们如≈/4.因此,这就表明了经典动量概念的适用界限.(显然,如果 我们想用波来表示粒子的话,动量的概念必定受到某种限制!)我们发现了一条规则使我们 对于经典概念在何时失效具有一些认识,这的确很好 §8晶体衍射 下面我们考虑粒子波在晶体上的反射.晶体是一块厚厚的东西,它全部由排列得很好 的相同原子组成(我们将在后面包括一些较复杂的情况).问题是对于一束给定的光(X射 线)、电子、中子等等,怎样布置原子的排列才能在某给定方向上得到强的反射极大值.为 了得到强的反射,来自所有原子的散射都必须是同位相的.同相波的数量和反相波的数量 不能相等,不然波会相互抵销掉.正如我们已经说明过的那样,解决这个问题的方法是找出 等相位的区域;它们就是一些对入射方向和反射方向成相等角度的平画(图2-4)
18 受物理学讲义(第三卷) 考虑图24中两个平行平面,从这两个平面散射的波,但若其波前所经过的距离为波 长的整数倍,则散射波的位相同.可以看出,距离差为2dsin6,这里d是两平面间的垂直 距离.于是都于反射的条件是 2dsin6=m3.(n=1,2,…) (2.9) deine 比方说,如果晶体中原子刚巧分布在遵从式 2.0)(其中n=1)的平面上,那么就会出现强反射 然而,如果有性质相同(密度相同)的其他原子位于 原备对平面的中间,那么这些中间平面的散射也 同样强烈,并将与其他的散射相干,致使总效果为 零,所以(2.9)式中的d必须指相邻平面的距离;我 们不能取两个相距五层的平面再应用这个公式 图24都汽对波。衍射 有趣的是,实际的品体遥常并不那么简单,好像 只是以一定方式豆复排列的同一原子.假如我们作一个二维类比的话,它们很像印了 某种重复图亲的糊墙纸,对原子来说,所谓“图案”就是指可能包含有相当大量原子的某种 排列,例如,碳酸钙的图案包含有一个钙原子,一个碳原子和三个氧原子等等,但不管是什 么,这些案都按一定的形式重复.这种基本案称为品胞 重复的基本形式决定了我们所称的点阵类型;只要观察反射波和我出它们的对称性,就 能立即确定点阵类型,换句话说,只要终发现任何反射,就可确定点阵类型,但是为了确 定晶格的每个组元的组城,就必须考虑各个方向上的放射强度.向哪个方向散射取决于点 阵的类型,但各个散射的强度则由每个品胞内有些什么素决定,品体的结构就是用这种方 式得出的 图2-5和图2-8是两幅X射线衍射图样的照片,它们分别表明岩盐与肌珠蛋白的散 射 25 图26 附带提一下,如果最华近的两个平面间的距离小于M/2,就会发生一件有趣的事.在这 种情况下,式②2.9)对“就没有解.因比,如果A大于相邻平面之间距高的二倍,就没有两侧 份射图料,光—或者别的什么一将直接穿过材料,而不散开或有所损失,所以,在可见 光的情况下,A远大于间隔,当然它就直接通过,面不会出现从品面反射的图样 这个事实在产生中子的核反应堆情况下也引起有趣的结(中子显然是粒子,谁都会这 么说1).假如我们引出这些中子使它们进入一根长石墨棒,它们就会扩散,并且级慢地穿过
第2章被动观点与粒子观点的关 λ中子 强度 中子源 石愚 长入中子 短中子 图2-7反应堆中子通过石墨块的扩散 图2-8从石墨棒出来时中子强度与波长的关系 石星棒(图27),它们之所以扩散是因为被原子弹开,但严格地说,按照波动论,它们之 所以被原子弹开是由于品面的衍射,结果表明,假如我们取一根长石墨棒的话,从运端跑出 的中子都具有长的波长!事实上,假如我们把中子强度作为波长的函数作图的话,只有在波 长大子某个极小值时才出现曲线(图2-8).换句活说,我们可以用这种方法得到极慢的中子 只有最慢的中子才会通过;它们没有被石墨棒的晶面所衍射或散射,而是像光线通过玻璃一 样径直穿过石墨棒,没有向两边散射出去.还有许多其他证据也说明中子波和别的粒子波 是真实的 §24原子的大小 现在我们来看一下由式(2.3)所表示的测不准关系的另一个应用.在这里不用过分认 真;概念是正确的,但所作的分析并不很精确。这个念涉及到确定原子的大小,以及按经 典谎法,电子将不断辐射出光,因而一直作螺旋运动,直至最后落到原子核上这一事实,但 是这种说法不符合量子力学的观点,因为那样一来我们就同时知道每一个电子的所在以及 它运动得有多快 假定我们有一个氢原子,现在要测量电子的位置;我们肯定不能精确地预言电子的位 置,不然动量的扩散将会达到无限大,每当我们观察电子时,它是在某处,但是它在各个不 同邀方都有一定的掀幡,因而在那些地方都可能找到它.这些位置不可能全都在原子核处, 我们将假定位置有一定的扩展其大小约为a.这就是说电子离原子核的距离通常约为a 我们将由原子的总能量取极小值这个条件来确定a的教值 由于测不准关系,动量的散布约为b/,这样如果我们打算用某种方式去测量电子的 动量,譬如使它散射x射线,然后寻找运动散射体的多普勒效应,那么可以预期并不会每 次都得到零——电子并不是静止不动的—一但它的动量一定约为P≈b/,于是动能约为 1/2m2=y3/2m-b/2ma2.(在某种意义上,这是一种量纲分析,用以找出动能是以何种方 式取决于普朗克常数,质量m,以及原子的大小a.我们毋需顾虑答案中2、m等这类因子上 的出入事实上,我们甚至还没有很精确地定义过a)现在,势能为-e除以离原子中心的 距离即一e/a这里的6大家记得就是电子电荷的平方除以46.要点就在于,如果a变 小,势能就变小,但a越小由于测不准关系,所需的动量也就越大,因而动能也越大,总能 量是 E- erode-a 我们不知道a究竟为多大,但我们却知道原子本身会进行安排,以取得某种折衷办法使能量 尽可能地小.为使玿保持役小我们求B对a的微商,令此微商等于零后再解出a,E的 微商是
费曼物理学讲义(第三卷 d ina 令B-0,求得a值为 b-0.528块—0,528×10-1)米. (2.12) 这一个特殊的距离称为波尔半径.我们因此得知原子的大小约为埃的数级,这个结论是 正确的:这是一件挺不错的事—一实际上,这是一件令人惊奇的事,因为在这以前,我们还没 有推断原子大小的根据!从经典的观点来看,由于电子会螺旋式地落到原子核上,原子完全 不可能存在 现在,如果将(2.12)的值代入(2.10)去求能量,结果得出 E zo 18.6电子伏特 能量为负意味着什么?这意味着,当电子在原子中时的能量比自由状态下的能量小.这就是 说,它是受東缚的,也就是说,要把电子“踢出去”需要能量:要电离一个氢原子大约需要 136电子伏特的能量.我们没有理由认为所需的能量不是这个值的2倍、8倍或方倍、 a)倍因为我们这里所用的是十分粗略的论证.然而我们在这里悄悄地这样来使用所有 的常数,使得正好得出正确的数字!136电子伏特这个数竽称为一个里德伯( Rydberg)能 量,它是氬原子的电离能 所以,我们现在懂得了为什么不会掉到地板下面去,当我们行走时,鞋子中的大量原子 推斥着地板中的大量原子.为了把原子挤得更革近一些,电子必须被限制在一个较小約空 间,由测不准关系,平均而言它们的动量将变得大些,这就意味着能量变大;抵抗原子压缩的 是一种量子力学效应,面不是经典效应.按照经典的观点,如果使所有电子与质子更为靠 近,我们应预期能量会进一步降低,因此,在经典物理学中,正电荷与负电荷的最佳排列就是 互相紧靠在一起.这些在经典物理学中是很清楚的,但是由子原子的存在又令人困惑,当 然,早先的科学家发明过一些办法来摆脱这个因境—一不过别去管它,我们现在找到了一种 正确的方法!(也许如此,) 顺便提一下(虽然眼下我们还不具备理解它的基础),在有许多电子的场合中,这些电子 总是试图彼北离开,如果某个电子正占据着某一空间,那么另一个电子就不会占据同一空 间.说得更精确一些,由于存在着两种自旋的情况,因此两个电子有可能紧靠在一起,一个 电子沿一个方向自旋,而另一个电子则沿反方向自旋.但此后我们在该处再也不能放进更 多的电子,我们必须把其他电子放到别的位置上,这就是物质具有强度的真正原因.假如 我们有可能将所有电子放在同一个地方,那么它们将会比现在更为凝聚.正是由于电子不 可能全都紧靠在一起这个事实,才使得桌子和其他种种东西变得坚固. 十分明显,为了理解物质的性质,我们必须用量子力学经典力学在这方面是不会令人 满意的, 825能级 我们已讲过处在可能具有的最低能量状态下的原子,但是结果表明电子可以具有别种
第2章波动观点与粒子观点的关系 状态,它能以更有力的方式旋转与振动,因此原子可以有多种不同的运动.按照量子力学 在稳定状态下原子只可能有确定的能量.我们作了一个图(图2-9),其中垂直方向标绘能 量,每一个允许的能量值画一条水平线.当电子是自由电 子,即它的能量为正时,它可以具有任何值,并能以任何速 率运动、但是束缚能不能取任意值.原子必须取如图2-9 所示的一组允许值中的某一个能量 现在我们称这些能量的允许值为B,E1,因2,E.如 果原子本来处于B1,E等“激发态”之一时,它不会永远保图2-9原子的能级图(表 霖这种状态.迟早它会掉到较低的状态中去,并以光的形 示翼种可能的跃迁 式辐射出能量.发射出的光的频率可由能量守恒关系加上量子力学的一个关系式[即光的 频率与光的能量之间的关系式(2,1)]来确定.因此,譬如说从能量E8到能量E1的跃迁所 释放的光的频率即为 (E8-E1)/h 于是,这就是原子的一个特征频率它确定了条发射谱线,另一种可能跃迁是从E3至B 这时就有一个不同的频率 (3-E0/ (215) 另一个可能性是,如果原子已被激发到E1态,它可能掉回到基态Eo,而发射出的光子的频 率是 t=(1-E0)/1 我们举出三种跃迁的情况是为了指出一个有趣的关系,由式(2,14),(2.16)和(216)很容 易看出 0)30=oa1+o0. 一般来说,如果我们找到了两条谱线,可以预期在颗率之和(或之差)处将找到另一条谱线 而且通过找到这样一系列能级,使每条谱线对应于其中的某一对能级的能量差,那么所有的 谱线就能得到理解.在量子力学出现以前人们就已注意到这种在谱线频率上出乎意外的巧 合,它称为里兹(R2组合原则.从经典的观点来看,这又是不可思议的,不过,我们别再 唠叨经典力学在原子领域中的失败,看来我们已讲得很够了 前面已经谈到量子力学可以用振幅来阐述,振幅的行为很像波,它们具有一定的频率和 波数.让我们看一下,从振幅的观点怎样会得出原子具有确定的能量状态.从我们至今所 说过的那些事情出发是无法理解这一点的,但是我们都知道被限制的波具有确定的频率,例 如,若声音限制在一个风琴管或任何类似的东西中时,声波振动的方式就不止一种,但对每 种方式都有一个确定的频率.这样,将波限制在其中的物体有某些确定的谐振频率,所以 这是被限制在一定空间中的波的一个性质—一这个课题我们将在以后详细地用公式来讨沦 这些波只能具有一些确定的频率,由于振幅的频率与能量间存在着一般关系,我们发 现束缚在原子内的电子具有确定的能量就不足为奇了 §26哲学含义 我们简单地谈谈量子力学的某些哲学含义.通常问题总是有两个方面:一个是对于物 理学的哲学含义,另一个是把哲学上的问题外推到其他领域,在把跟科学相联系的哲学观