例1求齐次线性方程组 x1+2x2+4x3-3x4=0, 3x1+5x+6x,-4x1=0 4x1+5x2-2x3+3x4=0 的一个基础解系和通解 解将系数矩阵A施行初等行变换,化其为行最 简形矩阵 255 4-3)(1087 A=3 6-4|→016-58 4 23 0000
例1 求齐次线性方程组 的一个基础解系和通解． 解 将系数矩阵 施行初等行变换，化其为行最 简形矩阵 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0, 3 5 6 4 0, 4 5 2 3 0 x x x x x x x x x x x x + + − = + + − = + − + = A 1 2 4 3 1 0 8 7 3 5 6 4 0 1 6 5 4 5 2 3 0 0 0 0 A − − = − → − −
R(A)=2<4,基础解系由两个线性无关的解构 成.与原方程组同解的方程组为 x,-8x,+7x1=0 x2+6x3-5x4=0, 8x2-7 =-6x2+5x (3yx4为自由未知数)(1) 令 1)(0 ,代入(1),得 x 86 7
，基础解系由两个线性无关的解构 成．与原方程组同解的方程组为 即 （ 为自由未知数）(1) 令 ，代入 (1) ，得 R A( ) 2 4 = 1 3 4 2 3 4 8 7 0, 6 5 0, x x x x x x − + = + − = 1 3 4 2 3 4 8 7 , 6 5 , x x x x x x = − = − + 3 4 x x, 3 4 1 0 , 0 1 x x = ， 1 2 8 7 , 6 5 x x − = −
从而得到一个基础解系为 501 0 故方程组的通解为 x=k51+k252(k,k2∈R)
从而得到一个基础解系为 故方程组的通解为 1 2 8 7 6 5 , 1 0 0 1 − − = = 1 1 2 2 1 2 x = + k k k k R ( , )
例2求齐次线性方程组 x x+ 5x 0 x+x2-2x2+3x4=0, 3x1-x2+8x3+x4=0, x+3x2-9x+7 0 的通解 解将系数矩阵A施行初等行变换,有 1-15 1-15 11-232--3102-74 A 3-181n-702-74 04-148
例2 求齐次线性方程组 的通解． 解 将系数矩阵 施行初等行变换，有 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0, 2 3 0, 3 8 0, 3 9 7 0 x x x x x x x x x x x x x x x x − + − = + − + = − + + = + − + = A 2 1 3 1 4 1 , 3 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2 3 0 2 7 4 3 1 8 1 0 2 7 4 1 3 9 7 0 4 14 8 r r r r r r A − − − − − − − − − = → − − − −
0 r4-2n2,3-F2 01 2×= 0000 0000 R(4)=2<4,基础解系由两个线性无关的解 构成.与原方程组同解的方程组为 x +-x2+x 2 +2 4
4 2 3 2 2 1 2 2 , 1 , 2 3 1 0 1 2 7 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r − − + → − ，基础解系由两个线性无关的解 构成．与原方程组同解的方程组为 R A( ) 2 4 = 1 3 4 2 3 4 3 0, 2 7 2 0, 2 x x x x x x + + = − + =