例今有一理想气体，始态为P始=405.2kPa，V始=1.00dm3T始=273K，理想气体物质的量n=0.178mol，经过下图所示的三种不同途径等温膨胀为终态，求不同途径膨胀系统作的功。途径1：一步膨胀++++P终=101.3kPa P =101.3kPaPs: 405.2kPaV=4dm3Pa:1:00dmT=273KT:273K途径2：二步膨胀终态始态P=-202.6kPaP =101.3kPa202.6kPaP2:2.00dm3P21T:273K细砂途径3：可逆腾胀，即经过无穷步体系无限多次达到平衡态，即每时每刻都无限接膨胀，比如每步减去一粒砂子近平衡态，这是所有途径中最特殊的一种，称为P:405.2kPa无限多步膨胀可逆途径。Pe:1.00dmT:273KP外=P内-p
今有一理想气体，始态为P始=405.2kPa，V始=1.00dm3 , T始=273K，理想气体物质的量n=0.178mol，经过下图所示的三种不同途径 等温膨胀为终态，求不同途径膨胀系统作的功。 例 P 终 = 101.3kPa V =4dm3 T=273K 无限多步膨胀 p外 = p内 －δp 体系无限多次达到平衡态，即每时每刻都无限接 近平衡态，这是所有途径中最特殊的一种，称为 可逆途径
一步膨胀系统对外作的功：途径1：一步膨胀W,=P外V=101.3×103Pa×(4.00-1.00)×10-3m3++++P终=101.3kPaP=101.3kPa=304(J)P:405.2kPaV=4dm3P#:1.00dm3T=273K二步膨胀系统对外作的功：T:273K途径2：二步膨胀W,=W()+W(II)终态始态N=202.6×103×(2-1)×10-3+101.3×103×(4-2)×10-3.Pμ-202.6kPaP=101.3kPaP2: 202.6kPa=405(J)P2. 2.00dm3T:273K无限多步可逆膨胀时，系统对外作的功：细砂途径3：可逆膨胀，即经过无穷步W,=lp外dv= (P内 - op) dv膨胀，比如每步减去粒砂子=lp肉dv- Jop dvP:405.2kPa无限多步膨胀1.00dmPa:T:273K= JP肉dv=JnRT/ VdyP外=P内-Sp= nRT JI/ V dy= nRT In(V/ V )=0.178×8.314×273×ln(4×10-3/1.0×10-3)=560(J)
W r =∫p外dv = ∫(p内 - δp) dv =∫p内dv - ∫δp dv = ∫p内dv = ∫nRT/ V dv = nRT ∫1/ V dv = nRT ln(V2 / V 1 ) = 0.178 × 8.314 × 273 × ln(4×10－3/1.0 × 10－3 ) = 560 (J) 无限多步可逆膨胀时，系统对外作的功: P 终 = 101.3kPa V =4dm3 T=273K 一步膨胀系统对外作的功: W1 =P外V=101.3×103Pa×(4.00-1.00)×10-3 m3 = 304(J) 二步膨胀系统对外作的功: W2 =W（I）+W（II） =202.6×103×(2-1) ×10-3 +101.3×103×(4-2)×10-3 = 405(J) 无限多步膨胀 p外 = p内 －δp
始态n=0.646mol,T=298K终态P,=16×105PaP2=1.0×105PaV,=1.0×10-3mVz=16×10-3m3途径1：一步膨胀P外=1.0×105Pa，W=P外4V=1.0×105×15×10-3=1.5×103()一步压缩P外=16.0×105Pa，W=16.0×105×(1-16)×10-3=-24×103(J)途径2：二步膨胀P外=2.0×105Pa，P外=1.0×105PaW=P外·△V+P外”·△V'=2.0×105×7×10-3+1.0×105×8×10-3=2.2×103(J)二步压缩P外=2.0×105Pa，P外”=16.0×105PaW=P外△V+P外”·△V=2.0×105×(8-16)×10-3+16.0×105×(1-8)×10-3=-12.8×103(J)
始态 n=0.646mol，T= 298K 终态 p1 = 16×105Pa p2 = 1.0×105Pa V1 = 1.0×10-3m → V2 = 16×10-3m3 途径1：一步膨胀 P外 = 1.0×105Pa，W= P外·△V = 1.0×105×15×10－3 = 1.5×103 (J) 一步压缩 P外 =16.0×105Pa, W=16.0×105×(1-16)×10-3=-24×103 (J) 途径2：二步膨胀 P外 = 2.0×105Pa，P外 ’ = 1.0×105Pa W = P外·V + P外 ’·V’ = 2.0×105×7×10－3 + 1.0×105×8×10－3 = 2.2×103 (J) 二步压缩 P外 = 2.0×105Pa，P外 ’ = 16.0×105Pa W = P外·V + P外 ’·V’ =2.0×105×(8-16)×10-3 +16.0×105×(1-8)×10-3=-12.8×103 (J)
始态n=0.646mol,T=298K终态Pi=16×105PaP2=1.0×105PaVz=16×10-3m3V,=1.0×10-3m无限多步膨胀P外=P内-op无限多步压缩P外=P内+opW,=lp外dv= (P内 +op) dvW,=lp外dv= [(P内 - 8p) dv=lp肉dv- Jop dv=lp肉dv +Jop dv=JP内dv= JnRT/Vdy= JP内dv = J(nRT/ V)dv= nRT J(1/ VW)dy= nRT J1/ V dy= nRT In(V2/ V i)= nRT In(V/ V 2)=0.646 × 8.314 ×298 ×ln(1×10-3/16.0 ×10-3)=0.646×8.314×298×ln(16×10-3/1.0×10-3)= -4.4×103 (J)= 4.4×103 (J)
始态 n=0.646mol，T= 298K 终态 p1 = 16×105Pa p2 = 1.0×105Pa V1 = 1.0×10-3m → V2 = 16×10-3m3 无限多步膨胀 p外 = p内 －δp W r =∫p外dv = ∫(p内 - δp) dv =∫p内dv - ∫δp dv = ∫p内dv = ∫(nRT/ V )dv = nRT ∫(1/ V)dv = nRT ln(V2 / V 1 ) = 0.646 × 8.314 × 298 × ln(16×10-3 /1.0 × 10-3 ) = 4.4×103 (J) 无限多步压缩 p外 = p内 + δp W r =∫p外dv = ∫(p内 +δp) dv =∫p内dv +∫δp dv = ∫p内dv = ∫nRT/ V dv = nRT ∫1/ V dv = nRT ln(V1 / V 2 ) = 0.646 × 8.314 × 298 × ln(1×10-3 /16.0 × 10-3 ) = -4.4×103 (J)
步骤数膨胀功（×103J）压缩功（×103J）1.5-24二2.2-12.84.4无限多步-4.4有限多步：膨胀功<|压缩功体系向环境做的功小于环境向体系做的功，环境留下痕迹一一不可逆途径无限多步：膨胀功=1压缩功经过一次无限慢长的膨胀和压缩循环之后，体系和环境都恢复原态而没有变化可逆途径
步骤数 膨胀功（×103 J） 压缩功 （×103 J） 一 1.5 -24 二 2.2 -12.8 . 无限多步 4.4 -4.4 有限多步：| 膨胀功 | < | 压缩功 | 体系向环境做的功小于环境向体系做的功，环境留下痕迹——不可逆途径; 无限多步：| 膨胀功 | = | 压缩功 | 经过一次无限慢长的膨胀和压缩循环之后，体系和环境都恢复原态而没有变化——可逆途径