5.2习题解答设二进制符号序列为110010001110.试以矩形脉冲为例,分别画出相应的单极性波形，双5-1极性波形，单极性归零波形，双极性归零波形，，二进制差分波形及八电平波形。5-2设二进制随机脉冲序列有余组成，出现gi(t)的概率为p，出现g2(t)的概率(1-p)。证明：如果
5.2 习题解答 5-1 设二进制符号序列为 110010001110. 试以矩形脉冲为例,分别画出相应的单极性波形，双 极性波形，单极性归零波形，双极性归零波形，二进制差分波形及八电平波形。 5-2 设二进制随机脉冲序列有余组成，出现 g1 (t)的概率为 p ，出现 的概率(1 )。 证明： ( ) 2 g t − p 如果
1k（与t无关）P:1- g(0)g2(t)且0<k<1，则脉冲序列将无离散譜证明已知1kp=1- gi(0)g2(0)则有pgi(t)+(1- p)g2(t) = 0将上式两边做傅里叶换，得pG,()+(1- p)G,()= 0其中，G,(f)和G,(f)分别为g,(t)和gz(t)的傅里叶变换。令f=mf，得到pG,(mf,)+(1- p)G,(mf,)= 0将上式代入二进制随脉冲序列的功率谱密度表达式（5-2）中，显然离散部分将为0。5-3设随机二进制序列中的0和I分别由g(t)和-g()组成，它们的出现概率分别为p及(1-p)()求其功率谱密度及功率。(2）若g(t)为如图5-6(a)所示波形，T,为码元宽度，问该序列存在离散分量fs=1/T否？(3）若g(t)改为图5-6(b),回答题（2）所问。解(）双极性波形的功率谱密度为P,()=4f,p(1- P)G() + I s[(2p-1)G(mf.)'8(F -mf.)其功率s-rm-L es=[4f,p(1- p)G() +Z.[(2p-1)G(mf,) (f -mf,)]af= 4f p(1- ) G()df + J (2p-1)"G(mf.)(2)若
）若（ 其功率 （）双极性波形的功率谱密度为 解 ）若（ 改为图 回答题（ ）所问。 ）若（ 为如图 所示波形， 为码元宽度，问该序列存在离散分量 否 求其功率谱密度及功率。 设随机二进制序列中的 分别由和 和 组成，它们的出现概率 及分别为 部分将为 。 将上式代入二进制随脉冲序列的功率谱密度表达式（ ）中，显然离散 令 ，得到 和 分别为 和 的傅里叶变换。 其中， 将上式两边做傅里叶换，得 则有 已知 证明 且 ，则脉冲序列将无离散譜 无关与 2 mfG12pfdffGp1p4f dfmffmfG12pffGp1pf4 dffPdwwP 2 1 S mffmfG1fs[(2p fGp1p4ffP 1 b65tg3 2 a65tg2 T T1fs 1 35 tgtg10 p1p 0 2-5 mfpG mfGp mff tgtgfGfG fGpfpG tgptpg k tg tg p 1k0 tk tg tg p 2 s 2 2 s 2 s s 2 s s 2 s s s s 2 s m 2 s s s s s s s ∫ ∑ ∫ ∑ ∫∫ ∑ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞+ ∞− ∞+ −∞= −= −+ = − + − − = = −= + − − − − = − − − −+ = = −+ = =−+ = − = << = − = )()()()( )]()]()[()()([ )()( )()()( )()]() )( ),( )( )( ?/ )( )()( )( 0)()1()( )()()()( 0)()1()( 0)()1()( )( )( 1 1 )( )( )( 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 δ π δ
g(t)[0,其它g(t)傅里叶变换G(f)为G()=T, sin/T,元fT,sinf,T,元=T, sin =0T因为G(f)=TfT,元由题（）中的结果知，此时的离散分量为0。(3)若80=1.X0.其它g(t)的傅氏变换G(J)为Sin2G(f) =2T2fT,sinsinIT+022-因为G(f)2fI2元元元f221所以该二进制序列存在离散分量f，=T.5-4设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如图5-7(a)所示。图中T，为码元间隔，数字信息“1”和“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等：(1)求该数字基带信号的功率谱密度，并画出功率谱密度图；(2)能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率f=1/T，的分量？若能，试计算该分量的功率
≤ 0,其它 2 T g(t)=1, t s 所以该二进制序列存在离散分量 。 因为 的傅氏变换 为 其它 （ ）若 由题（）中的结果知，此时的离散分量为 。 因为 傅里叶变换 为 s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s T 1 f 0 T 2 2 sin 2 T 2 Tf 2 fT sin 2 T G f 2 Tf 2 fT sin 2 T G f g t G f 0, 4 T g(t)=1, t 3 1 0 0 sin T fT sin f T G f T fT sin fT G f T g t G f = = = = ≠ = ≤ = = = = π π π π π π π π π π π π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5-4 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲， 如图 5-7(a)所示。图中 Ts为码元间隔，数字信息“1”和“0”分 别用 g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的 概率相等： (1) 求该数字基带信号的功率谱密度，并画出功率 谱密度图； (2) 能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的 频率 fs=1/Ts 的分量？若能，试计算该分量的功 率
解随机脉冲(1)对于单极性基带信号，g;(t)=0,g2()=0=g(t),序列的功率谱密度为P,(f)= f,p(1- p)G() + Zf.(1- p)G(mf.)s(f -mf.)当 p=1/2时,g(0=IG()+ IG(m)(f-mf)NN=由图5-7(a)得[4-2g(t) =0,其它tg(t)的傅里叶变换G(f)为4sa(G(f)=22代入功率谱密度函数式，得ATsaATrmf,T,P(f)=T8(f -mf.)2224.2A'Ts'a)+s'a(m)s(f -mf.)2162162其功率谱密度图如图5-7(b)所示。(2）由图5-7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率f=1/T,的离散分量，故可以提取码元同步所需的频率f=1/T，的分量。由题(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为P(w)为A2Fs'a()8(f-mf.)Pv(f) =L16当m取土1时，即f土f.时，有
解 (1) 对于单极性基带信号，g ( ) 0, ( ) 0 ( ), 1 2 t = g t = = g t 随机脉冲 序列的功率谱密度为 ∑ ∞ =−∞ = − + − − m s s s s mfs p ( f ) f p(1 p)G( f ) f (1 p)G(mf ) ( f ) 2 2 δ 当 p=1/2 时, = + 2 ( ) 4 ( ) G f fs g t ∑ ∞ =−∞ − m s s s f mf f G mf ( ) 4 ( ) 2 2 δ 由图 5-7(a)得 其功率谱密度图如图 （ 所示。 代入功率谱密度函数式，得 的傅里叶变换 为 其它 5 7 b) ) f mf 2 m s a( 16 A 2 fT s a( 16 A T f mf 2 mf T s a( 2 AT 4 f 2 fT s a( 2 AT 4 f P f 2 fT s a( 2 AT G f g(t) G f t T t t T A g t s m 4 2 s 4 s 2 s m 2 s 2 s s 2 s 2 s s 2 s s s 2 s s s − = + − = + − = − ≤ = ∑ ∑ +∞ =−∞ +∞ =−∞ ) ( ) ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) 0, 2 ), 2 (1 ( ) δ π π δ π π π (2) 由图 5-7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率 fs=1/Ts的离散分量， 故可以提取码元同步所需的频率 fs=1/Ts 的分量。 由题(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为 Pv(w)为 ( ) ( )s m 4 2 ) f mf 2 m s a( 16 A Pv f = ∑ − +∞ =−∞ δ π 当 m 取±1 时，即 f=±fs时，有
A-4sa()元sta)s(f+f,)Pv(f):)s(f-f.+161622所以该频率分量的功率为A?s'a()+42A2s'a(3)=2S=-元42161625-5设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由及表示，且“1”与“0”出现的概率相等，是升余弦频谱脉冲，即元cos(-T元-sa(g(t):n1_43TT.（1）写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图：(2）从该数字基带信号中能否直接提取频率f=1/T，的分量。(3）若码元间隔T,=10-s，试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。解（1）当数字信息“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度P()=fG()cos(1)一T.其傅氏变换为已知g(t)=-sa().21_ 4t2T1-T.?[(1+ cos T,)≤1ATG(f)=3[0,其它f代入功率谱密度表达式中，有(1+cos TT,)P()=16T如图5-8所示。5-6设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图5-9(a)所示。它是一个高度为1，宽度得矩形脉冲，且已知数字信息“1”的出现概率为3/4，“0”的出现概率为1/4。(1)写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图；(2)由该双极性信号中能否直接提取频率为f=1/T，的分量？若能，试计算该分量的功率
16 A Pv f 2 ( ) = ) ( ) 2 ) ( ) ( 2 ( 4 4 s 2 s s a f f 16 A s a f − f + δ + π δ π 所以该频率分量的功率为 S = 16 A2 4 2 4 4 2 ) 2 ) ( 2 ( π π π A s a 16 A s a 2 + = 5-5 设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由 及 表示，且“1” 与“0”出现的概率相等， 是升余弦频谱脉冲，即 ( ) 4 1 cos( ) 2 1 ( ) 2 2 s s s T t sa T t T t g t π π − = (1) 写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图； (2) 从该数字基带信号中能否直接提取频率 fs=1/Ts的分量。 (3) 若码元间隔 Ts=10-3 s, 试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。 解 (1) 当数字信息“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度 2 P ( f ) f G( f ) s = s 已知 ( ) 4 1 cos( ) 2 1 ( ) 2 2 s s s T t sa T t T t g t π π − = ，其傅氏变换为 + ≤ = f T fT f T G f s s s 0,其它 1 (1 cos ), ( ) 4 π 代入功率谱密度表达式中，有 Ps ( f ) = s s s T fT f T 1 (1 cos ) , 16 2 + π ≤ 如图 5-8 所示。 5-6 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图 5-9(a)所示。它是一个高度为 1， 宽度 得矩形脉冲，且已知数字信息“1”的出现概率为 3/4，“0”的出现概率为 1/4。 (1) 写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图； (2) 由该双极性信号中能否直接提取频率为 fs=1/Ts的分量？若能，试计算 该分量的功率