2-1、设随机过程≤(t)可表示成≤(t)=2cos(2元t+)，式中θ是一个离散随变量，且P(0 = 0)=1/2、P(0 = 元/2)=1/2,试求 E[(1)]及 R:(0,1)。=×2cos(2元+元/2)=1；×2cos(2元+0)+解：E)=221=×2cos(0)2cos(2元+0)+×cos(元/2)2cos(2元+元/2)=2。R, (0,1) = E[(O)E(1)] =222-2、设Z(t)=X,coswot-X,sinwot是一随机过程，若X,和X，是彼此独立且具有均值为0、方差为？的正态随机变量，试求：(1) E[Z(t)]、E[Z(t)] ;(2）Z()的一维分布密度函数f(=)：(3) B(t),t2)和R(t1,t2)。解: (1) E[Z()] = E[X, coswot -X, sin wot] = coswotE[X,]-sin w.tE[X,]= 0因为X,和X，是彼此独立的正态随机变量，X,和X，是彼此互不相关，所以E[X,X,]= 0E[Z'(t] = E[X cos’ wot + X? sin’ wot]= cos’ wotE[X?]+ sin" wotE[X?]又 E[X ]=0: D[X,]=E[X]-E'[X]=α?= E[X?]=α?同理E[X]=代入可得E[Z?(1)]=2E[Z(0)]=0: E[Zz?()]=α?(2) 由又因为Z(t)是高斯分布D[Z(t)] = α2可得122exp(-f[=(t)] =2g?2元g(3) B(tr,t2) = R(t),t2)- E[Z(t,)]E[Z(t2)] = R(t),t2)=E[(X, coswot, -X, sinwot,)(X, coswot2 -X, sin wot2)]
2-1、设随机过程 ξ (t) 可表示成 ξ (t) = 2cos(2πt +θ ) ，式中θ 是一个离散随变量，且 P(θ = 0) = 1 2 、 P(θ = π 2) = 1 2 ，试求 E[ξ (1)]及 Rξ (0,1) 。 解： 2cos(2 2) 1 2 1 2cos(2 0) 2 1 E[ξ (1)] = × π + + × π +π = ； cos( 2)2cos(2 2) 2 2 1 2cos(0)2cos(2 0) 2 1 Rξ (0,1) = E[ξ (0)ξ (1)] = × π + + × π π +π = 。 2-2、设 是一随机过程，若 和 是彼此独立且具有均值 为 0、方差为 的正态随机变量，试求： Z t X w t X w t 1 0 2 0 ( ) = cos − sin 2 σ X1 X 2 （1） E[Z(t)] 、 [ ( )] ； 2 E Z t （2） Z(t) 的一维分布密度函数 f (z)； （3） B(t1 ,t2 ) 和 R(t1 ,t2 ) 。 解：（1） E[Z(t)] = E[X1 cosw0t − X 2 sin w0t] = cosw0tE[X1 ] − sin w0tE[X 2 ] = 0 因为 X1和 是彼此独立的正态随机变量， 和 是彼此互不相关，所以 1X X 2 = 0 X1 X 2 [ ] E X 2 [ ( )] [ cos sin ] cos [ ] sin [ ] 2 0 2 2 2 0 1 2 0 2 2 0 2 2 2 1 2 E Z t = E X w t + X w t = w tE X + w tE X [ ] 0 E X1 = 2 1 2 2 1 1 D[X ] = E[X ] − E [X ] = σ 2 2 1 又 ； ⇒ E[X ] = σ 同理 2 2 2 E[X ] = σ 代入可得 2 2 E[Z (t)] = σ （2）由 E[Z(t)] = 0 ； 又因为 是高斯分布 2 2 E[Z (t)] = σ Z(t) 可得 2 D[Z(t)] = σ ) 2 exp( 2 1 [ ( )] 2 2 πσ σ z f z t = − （3） ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 B t t = R t t − E Z t E Z t = R t t = E[( cos sin )( cos sin )] 1 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 2 X w t − X w t X w t − X w t
=E[Xcos(wot))cos(wot2)+X, sin(wot)sin(wot2)]=coswo(t-t2)=coswot令ti=t2+t2-3、求乘积Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为R,(t)、R,(t)。解：因X(t)与Y(t)是统计独立，故E[XY]=E[X]E[Y]Rz(t)= E[Z(t)Z(t +t)]= E[X(t)Y(t)X(t +t)Y(t+ t))=E[X(t)X(t + t)]E[Y(t)Y(t + T)] = Rx(t)R,(t)2-4、若随机过程Z(t)=m(t)cos(wot+の)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函[1+t,-1< t <0数Rm(t)为Rm(t)=31-t,0≤<1[o,其它0是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。(1)证明Z()是宽平稳的：(2)绘出自相关函数Rz(t）的波形：(3)求功率谱密度Pz(w)及功率S。解：（1)Z(t)是宽平稳的E[Z(t))为常数；Rz(,t2)=Rz(-t2)E[(Z(t)] = E[m(t)cos(wot +)] = E[m(t)]E[cos(wot +0)[cos(wot + 0)d0]E[Z(t)] = 02元0Rz(t,t2) = E[Z(t,)Z(t,)] = E[m(t,)cos(wot +)m(t,)cos(wot2 +))=E[m(t,)m(t,)]E[cos(Wot, +)cos(Wot, +)]E[m(t,)m(t,)]=Rm(t-t)只与1z-t,=T有关;
= E[ cos( ) cos( ) sin( )sin( )] 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 2 1 X w t w t + X w t w t =σ σ 0τ 令 2 0 1 2 2 cosw (t − t ) = cosw = +τ 1 2 t t 2-3、求乘积 的自相关函数。已知 与Y 是统计独立的平稳随机 过程，且它们的自相关函数分别为 Z(t) = X (t)Y(t) X (t) (t) (τ ) Rx 、 (τ ) Ry 。 解：因 X (t) 与Y(t)是统计独立，故 E[XY] = E[X ]E[Y] R (τ ) = E[Z(t)Z(t +τ )] = E[X (t)Y(t)X (t +τ )Y(t +τ )] Z = [ ( ) ( τ )] [ ( ) ( τ )] (τ ) (τ ) RX RY E X t X t + E Y t Y t + = 2-4、若随机过程 ( ) ( ) cos( ) Z t = m t w0t +θ ，其中 是宽平稳随机过程，且自相关函 数 m(t) (τ ) Rm 为 − + = 0, 1 1 (τ ) R m ≤ < < τ − τ < 其它 ,0 1 , 1 0 τ τ θ 是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t) 彼此统计独立。 （1） 证明 Z(t) 是宽平稳的； （2） 绘出自相关函数 (τ ) RZ 的波形； （3） 求功率谱密度 PZ (w) 及功率 S 。 解：（1） Z(t) 是宽平稳的⇔ E[Z(t)] 为常数； ( , ) ( ) 1 2 1 2 R t t R t t Z = Z − [( ( )] [ ( ) cos( )] [ ( )] [cos( )] E Z t = E m t w0t +θ = E m t E w0t +θ cos( ) ] [ ( )] 0 2 1 [ 2 0 = 0 + = ∫ w t d E Z t π θ θ π ( , ) [ ( ) ( )] [ ( ) cos( ) ( ) cos( )] RZ t1 t2 = E Z t1 Z t2 = E m t1 w0t1 +θ m t2 w0t2 +θ [ ( ) ( )] [cos( ) cos( )] 1 2 0 1 0 2 = E m t m t E w t +θ w t +θ [ ( ) ( )]= 1 2 E m t m t ( ) 2 1 R t t m − 只与 − = τ 2 1 t t 有关；
令t2=ti+tE(cos(wot +)cos[w.(t +t)+])=E(cos(wot, +0)[cos(wot, +)coswot-sin(wot, +0)sinwot])=coswot ·E[cos?(wot, +)]-sin wot-E[cos(wot, +0)sin(wot, +0)]=cos(Wot) ·E(_[1+ cos2(wot, +0)]) -01cos(wot)2所以Rz(t,t2)=cos(wot）·Rt)只与t有关，证毕。2（2）波形略；-(1+t)cos(wot),-1<t<02-(1-t)cos(WoT),0≤t<1(3) R(t)-cos(wot) -R.(t)=:2n0,其它Pz(w)≤ Rz(t)而 Rz(t)的波形为R.(t)-1可以对R，（t）求两次导数，再利用付氏变换的性质求出R（t）的付氏变换。) = P.(w) = sin(w/2)Sa'wR (t) =S(t +1)-2(t) +S(t-1)0w/21{Sa ("+w)+ Sa ("-wo)- P,(w)= -22功率S：S=R(O)=1/2
令 = +τ 2 1 t t {cos( ) cos[ ( ) ]} E w0t1 +θ w0 t1 +τ +θ = {cos( )[cos( ) cos sin( )sin ]} 0 1 0 1 0 0 1 0 E w t +θ w t +θ w τ − w t +θ w τ = cos [cos ( )] sin [cos( )sin( )] 0 1 0 0 1 0 1 2 w0τ ⋅ E w t +θ − w τ ⋅ E w t +θ w t +θ = [1 cos 2( )]} 0 2 1 cos( ) { w0τ ⋅ E + w0t1 +θ − = cos( ) 2 1 0 w τ 所以 ( , ) 1 2 R t t Z = cos( ) 2 1 0 w τ (τ ) Rm ⋅ 只与τ 有关，证毕。 （2）波形略； （3） (τ ) RZ = cos( ) 2 1 0 w τ (τ ) Rm ⋅ = − ≤ < + − < < 0,其它 (1 ) cos( ),0 1 2 1 (1 ) cos( ), 1 0 2 1 0 0 τ τ τ τ τ τ w w PZ (w) ⇔ (τ ) RZ 而 (τ ) RZ 的波形为 (τ ) Rm t -1 1 可以对 (τ ) Rm 求两次导数，再利用付氏变换的性质求出 (τ ) Rm 的付氏变换。 ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) '' Rm τ = δ τ + − δ τ + δ τ − ) 2 ( 2 sin( 2) ( ) 2 w Sa w w ⇒ Pm w = = )] 2 ) ( 2 [ ( 4 1 ( ) 2 0 2 w w0 Sa w w w Sa Z − P + + ⇒ = 功率 S ： S = (0) =12 RZ
O2-5、已知噪生n(t)的自相关函数R,(t)=-exp(-at)，a为常数：2(1)求P(w)和S：(2)绘出R,(t)与P,(w)的波形。2a解：（1）因为exp(-atb=w?+a?α?所以 R,(t)=exp(-alt) P,(w) :w?+a?2aS = R(0)= 2(3）略2-6、(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2S的周期函数。在区间(-1，1）上，该自相关函数R(t)=1-。试求(t)的功率谱密度P,(w)。R(t)=1-l≤ Sa?(解：见第4题n因为§,(0)= Z6(t-2n) 所以 5()=R(t)*8;(0)n=-0据付氏变换的性质可得P(w)=Pr(w)F(w)Z8(t-2n) 元8(w=n元)而8(t)=te.a故P(w)= P,(w)F,(w)=Sa () ~ Zo(w-nn)=~Z o(w- nn)Sa ("=nz)22n=1=-02-7、将一个均值为0，功率谱密度为no/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为w。、带宽为B的理想带通滤波器上，如图2 元B-WewWe（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数
2-5、已知噪生 n(t) 的自相关函数 exp( ) 2 (τ ) aτ a Rn = − ， a 为常数： （1） 求 Pn (w) 和 S ； （2） 绘出 (τ ) Rn 与 Pn (w) 的波形。 解：（1）因为 2 2 2 ) w a a exp( a t + − ⇔ 所以 exp( ) 2 (τ ) aτ a Rn = − 2 2 2 ( ) w a a Pn w + ⇔ = 2 (0) a S = R = （3） 略 2-6、ξ (t) 是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间 （-1，1）上，该自相关函数 R(τ ) = 1− τ 。试求ξ (t)的功率谱密度 Pξ (w) 。 解：见第 4 题 R(τ ) = 1− τ ) 2 ( 2 w ⇔ Sa 因为 ∑ 所以 ∞ =−∞ = − n δ T (t) δ (t 2n) (t) R( ) (t) δ T ξ = τ ∗ 据付氏变换的性质可得 P (w) P (w)F (w) ξ = R δ 而 ∑ ∞ =−∞ = − n δ T (t) δ (t 2n) ∑ ∞ =−∞ ⇔ − n π δ (w nπ ) 故 P (w) P (w)F (w) = ξ = R δ ) 2 ( 2 w Sa ∑ ∞ =−∞ ⋅ − n π δ (w nπ ) = ) 2 ( ) ( 2 ∑ ∞ =−∞ − − n w n w n Sa π π δ π 2-7、将一个均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 、带宽 为 B 的理想带通滤波器上，如图 wc 2πB -wc wc w （1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数
解: (1) Po(w)=[H(w) P(w)=H(w)2因为二G2m (w) Sa(Wot),故G2Bx(w) BSa(B元t)Wo又H(w)=G2B(w)*[8(w+W)+(w-W.))1S(w+w.)+8(w-w.)-=cos(w,t)元-F(w)*F(w)由付氏变换的性质fi(t)·f()2元nH(w)="" G2B (w)*[6(w+ W.)+ (w-w.)]可得P。(w)=22- R(t) = n.BSa(Bπt)cos(w,t)(2) E[5。(t)]= 0; R(0) =E[5(t)]= Bno: R(0)= E"[5。(t)]=0所以α2= R(0)-R()=Bno又因为输出噪声分布为高斯分布f1可得输出噪声分布函数为[5。(t)=expo2BnJ2元Bng2-8、设RC低通滤波器如图所示，求当输入均值为0，功率谱密度为no/2的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。y.1Ziwc解：H(w)=R+ YjWRC+1wc1(1) Po(w)= P,(w)H(w)" =- " .21+(wRC)22a（2）因为为exp(-alt) w? +a?1T所以 Po(w)= non. Ro(t) =exp(2 1+(wRC)24RCRC2-9、将均值为0，功率谱密度为n/2的高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，(1)求输出噪声的自相关函数；(2)求输出噪声的方差
解：（1） ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 H w n PO w = H w Pi w = 因为 ( ) ( ) 2 0 0 0 τ π G w Sa w w w ⇔ ，故 ( ) ( ) 2 πτ G Bπ w ⇔ BSa B 又 ( ) ( ) [ ( ) ( )] H w = G2Bπ w ∗ δ w + wc + δ w − wc cos( ) 1 ( ) ( ) τ π δ w + wc + δ w − wc ⇔ wc 由 付氏变换的性质 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) f1 t ⋅ f 2 t ⇔ F1 w ∗ F2 w π 可得 ( ) 2 ( ) 0 H w n PO w = ( ) [ ( ) ( )] 2 2 0 G B w w wc w wc n = π ∗ δ + + δ − ( ) ( ) cos( ) 0 τ πτ τ ⇔ R = n BSa B wc （2） E[ξ O (t)] = 0 ； 0 ； 2 R(0) = E[ξ O (t)] = Bn ( ) [ ( )] 0 2 R ∞ = E ξ O t = 所以 0 2 σ = R(0) − R(∞) = Bn 又因为输出噪声分布为高斯分布 可得输出噪声分布函数为 ) 2 exp( 2 1 [ ( )] 0 2 0 Bn t Bn f t o = − π ξ 。 2-8、设 RC 低通滤波器如图所示，求当输入均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的白噪声时，输 出过程的功率谱密度和自相关函数。 解： 1 1 1 1 ( ) + = + = jwRC jwC R jwC H w （1） 2 0 2 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) wRC n PO w Pi w H w + = = ⋅ （2）因为 exp(−aτ ) 2 2 2 w a a + ⇔ 所以 exp( ) 4 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 0 2 0 RC RC n R wRC n PO w O τ ⇔ τ = − + = ⋅ 2-9、将均值为 0，功率谱密度为 n0 2 的高斯白噪声加到低通滤波器的输入端， （1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差