3.1.13.1.73.1.23.1.33.1.43.1.53.1.6定义2设函数f(α)在点αo的右边近旁有定义,如果Aα>0.且f(co + △α) - f(co)limAaAa-0+存在,则称它为 f(α)在 ao 的右导数,记成 f'(αo),并称 f(α)在 ao右可导类似可定义 y= f(α)在 o 的左可导和它的左导数 f(co).显然，f(a）在ao可导的充分必要条件是f(α）在ao左、右可导，并有f'(αo)= f=(co).定义 3如果y=f(a)在区间 I的每一点都可导,则称f(α)在I上可导f'(c）是I上一个函数称为f(α）的导函数.如果区间I包含有端点，则在该端点处，f(α）只需有相应的单侧可导性y=f(c）的导函数，也可记成y,等返回全屏关闭退出6/41
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ½Â 2 ¼ê f(x) 3: x0 m>C k½Â, XJ ∆x > 0, lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x 3, K¡§ f(x) 3 x0 mê, P¤ f 0 + (x0), ¿¡ f(x) 3 x0 m. aq½Â y = f(x) 3 x0 Ú§ê f 0 −(x0). w, f(x) 3 x0 ¿©7^´ f(x) 3 x0 !m, ¿k f 0 + (x0) = f 0 −(x0). ½Â 3 XJ y = f(x) 3«m I z:Ñ, K¡ f(x) 3 I þ, f 0 (x) ´ I þ¼ê¡ f(x) ¼ê. XJ«m I ¹kà:, K3 Tà:?, f(x) IkAüý5. y = f(x) ¼ê, P¤ y 0 , dy dx . 6/41 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.1.63.1.73.1.13.1.23.1.33.1.43.1.5例1设y=c（常数）求y解y=lim=lim六=0Aa-0AAa-0Aa例2设y=an，aE（-o+),其中n是自然数求y解对于任意实数，由二项式定理得n(n-1)-an-2(Aa) +... + (Aa)nAy= (α + A)n-a" = nan-iA +2!故Ayn(n- 1)nan-1 +-an-2Aα +...+(Ar)n-1=nan-1limy=lim2!Ar-0AAT0即y=an的导函数是y=nan-l,导函数的定义域也是（-oo,+o).特别当n=1时，函数y=c的导函数为常值函数y=1,即y=在每一点的切线的斜率都是1.返回全屏关闭退出7/41
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 1 y = c (~ê), ¦ y 0 . ) y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 0 ∆x = 0. ~ 2 y = x n, x ∈ (−∞, +∞), Ù¥ n ´g,ê. ¦ y 0 . ) éu?¿¢ê x, dª½n ∆y = (x + ∆x) n − x n = nxn−1∆x + n(n − 1) 2! x n−2 (∆x) 2 + · · · + (∆x) n y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 nxn−1 + n(n − 1) 2! x n−2∆x + · · · + (∆x) n−1 = nxn−1 . = y = x n ¼ê´ y 0 = nxn−1 , ¼ê½Â´ (−∞, +∞). AO, n = 1 , ¼ê y = x ¼ê~¼ê y = 1, = y = x 3z: ÇÑ´ 1. 7/41 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.1.53.1.63.1.73.1.13.1.23.1.33.1.4例 3 求函数 f(α)= ea 的导函数解因为er+AaalimezlimAaAaAc-→0Ar-→0e2=所以(e")"= e".返回全屏关闭退出II8/41
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 3 ¦¼ê f(x) = e x ¼ê. ) Ï lim ∆x→0 e x+∆x − e x ∆x = e x lim ∆x→0 e ∆x − 1 ∆x = e x ¤± (e x ) 0 = e x . 8/41 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.1.13.1.43.1.53.1.63.1.73.1.23.1.3例 4 求对数函数 y = logaα, E (o, +oo) 的导函数,这里 a > 0, 且a 1.Ina且解对于任意的α>0,有 logaa =naAc(1 +loga1InAy1cInaAcArAa利用极限ln(1 + α)lim= 1c→0a得110clna特别当a三e时，上面的结果为1Im& E (0.+)a由此可见，对于以e为底的自然对数的导数特别简单I返回全屏关闭退出9/41
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 4 ¦éê¼ê y = loga x, x ∈ (0, +∞) ¼ê, ùp a > 0, a 6= 1. ) éu?¿ x > 0, k loga x = ln x ln a , ∆y ∆x = loga 1 + ∆x x ∆x = 1 ln a ln 1 + ∆x x ∆x |^4 lim x→0 ln(1 + x) x = 1 (loga x) 0 = 1 x ln a . AO a = e , þ¡(J (ln x) 0 = 1 x , x ∈ (0, +∞) dd, éu± e .g,éêêAO{ü. 9/41 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.1.23.1.33.1.43.1.53.1.63.1.73.1.1例5求正弦函数和余弦函数的导函数解记 y= sin a，α E（一,+o).则对任意一点 a,ArAa&+sinAy=sin(a+Aa)-sin=2cos22由cos&的连续性以及基本极限sin&lim1-1-0得AasinAyAr2limlimlim十COSr二cOsAa2Aar-0Ar→0Ar-02即 (sin ) = cos .类似可得（cosa）=一sinac.返回退出全屏关闭10/41
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 5 ¦u¼êÚ{u¼ê¼ê. ) P y = sin x, x ∈ (−∞, +∞). Ké?¿: x, ∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 cos x + ∆x 2 sin ∆x 2 d cos x ëY5±9Ä 4 lim x→0 sin x x = 1 lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 cos x + ∆x 2 lim ∆x→0 sin ∆x 2 ∆x 2 = cos x = (sin x) 0 = cos x. aq (cos x) 0 = − sin x. 10/41 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ