博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 如果S,=0,说明第i条约束不等式对目标函数无影响。我们希望S,≤0，因为增大4，可以 放松第ⅰ条约束不等式，从而降低优化的目标值。而T的符号表示可以增大或者减小约束等 式g,(x)=”的右端值，来增加或者减小优化的目标值。因此，敏感度说明了约束不等式是 否对目标函数有影响，指导我们如何来调整约束来达到好的优化结果。 6
博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 6 如果 Si = 0，说明第 i 条约束不等式对目标函数无影响。我们希望 Si ≤ 0，因为增大ui 可以 放松第 i 条约束不等式，从而降低优化的目标值。而Ti 的符号表示可以增大或者减小约束等 式 ( ) i v gx e i = 的右端值，来增加或者减小优化的目标值。因此，敏感度说明了约束不等式是 否对目标函数有影响，指导我们如何来调整约束来达到好的优化结果
博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 三、两级运算放大器 我们根据运算放大器设计要求（单位增益带宽、相位裕量、输入等效噪声、面积、功耗 等)，通过CMOS运算放大器设计一般步骤得到所有设计约束条件不等式、等式和目标函数。 1.直流增益Adm 图1.CMOS运算放大器存在两级：(1)、差分放大器(M1&M2&M3&M4):(2)、共源 放大器(M6&M7) 第一级增益 A=-Gm1R1=-8m1(2∥r4）, 第二级增益 A2=-Gm2R2=-8m6（61∥07）， 值得注意的是差分放大器（图2）的增益定义为： V D I Aim You Vin 这里，'n=a-'2,当管子M1和M2相同，MB和 M4相同时，输出开路的增益为： om1(o)=8ml-282 82+8o48o2+8o4 =8m(h-2） 8o2+8o4 A(o)='aum(@-81 1-V28o2+go4 图2、差分放大器 整个运算放大器的增益： Aoverall=A1·A3= 8m18m6 (1) (8o2+8o4)(86+8o7） 2.转换速率 转换速率(Slew Rate)是大信号输入时，电流 输出的最大驱动能力。 在该运算放大器中（图3），偏置电流IDs5通过管 子M2或者M1,M3,M4,对电容Cc进行充电或者放 电。当V>V2时，电流Ds通过管子M2对电容Cc 充电：当V1<v2时，电流IDs通过管子M1和M3, 电流镜M3&M4使得M4对电容Cc放电。另外，偏 置电流IDs?通过管子M7或者偏置电流IDs6通过管子 M6,对电容Cc+CL进行充电或者放电。运算放大 器的转换率定义为两者中的最小一个。 图3、转换速率
博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 7 三、两级运算放大器 我们根据运算放大器设计要求（单位增益带宽、相位裕量、输入等效噪声、面积、功耗 等），通过 CMOS 运算放大器设计一般步骤得到所有设计约束条件不等式、等式和目标函数。 1. 直流增益 Adm 图 1. CMOS 运算放大器存在两级：（1）、差分放大器（M1&M2&M3&M4）；（2）、共源 放大器 (M6&M7) 第一级增益 A GR g r r 1 1 1 1 02 04 =− =− mo m ( // ) , 第二级增益 A GR g r r 2 2 2 6 06 07 =− =− mo m ( // ) ， 值得注意的是差分放大器（图 2）的增益定义为： out dm in v A v = 这里， in i i 1 2 v vv = − ，当管子 M1 和 M2 相同，M3 和 M4 相同时，输出开路的增益为： 11 2 2 1 24 24 ( ) im i m out oo oo vg v g v o gg gg = − + + 11 2 2 4 ( ) mi i o o gv v g g − = + 1 1 12 2 4 ( ) ( ) out m dm ii o o vo g A o vv g g = = − + 整个运算放大器的增益： 1 6 1 2 2 46 7 ( )( ) m m overall o oo o g g A AA g gg g =⋅= + + （1） 2. 转换速率 转换速率（Slew Rate）是大信号输入时，电流 输出的最大驱动能力。 在该运算放大器中(图 3)，偏置电流 IDS5 通过管 子 M2 或者 M1,M3,M4，对电容 CC进行充电或者放 电。当 vi1>vi2 时，电流 ID5 通过管子 M2 对电容 CC 充电；当 vi1<vi2 时，电流 ID5通过管子 M1 和 M3， 电流镜 M3&M4 使得 M4 对电容 CC放电。另外，偏 置电流IDS7通过管子M7或者偏置电流IDS6通过管子 M6，对电容 CC＋CL 进行充电或者放电。运算放大 器的转换率定义为两者中的最小一个。 图 2、差分放大器 图 3、转换速率
博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 定义转换速率为SR: Icc lmx Ipss dt 根据电荷方程q=CV,I=dg/dt=C(dW/dl) IDss =2IDsI .SR= 21pst Ce 从后面推倒的式子(5)单位增益带宽可以得到Cc=gm1/O. SR=21sO」 21psi@ 2Ipst 8ml anc-m 0=Vom@ Vu.C.h 其中V1=|Vcs-Ψh= 21pst W 因此，提高两级运算放大器转换速率的一种方法是尽可能增大管子M1的有效电压Vm。其 实这也是为什么选用PMOS管作为输入管的原因之一。 ●SR= dt 该个运算放大器的转换率SR=min 21s1ns1} Cc 'Ce+CL. 3.静态功耗 运算放大器的静态功耗： Psamc =(Vad-Vs(Ipss+Ips+Ipss +IDsT) 静态功耗确定了整个电路的静态电流最大值为（假定静态功耗≤5mW,电源电压 3.3V): 5mw -≈1.5m4 (2) Va-'.3.3V-0 我们将该电流分配到电路的不同的地方去。例如，100μA给偏置电路，1400μA给两级 放大电路。这里完全是根据设计人员的经验来确定，有可能电流的分配并不能使整个电路达 到全局最优。 4.输入失调电压 当'1=V2=(Va-Vs)/2时， Ins1=ls2’所以，'s3='s4,'Gs6='cs3='cs4 8
博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 8 定义转换速率为 SR: z max 5 max | | out DS CC C C dv I I SR dt C C ≡ == 根据电荷方程 q CV = ， I = = dq dt C dV dt ( / ) Q IDS DS 5 1 = 2I ∴ 2 DS1 C I SR C = 从后面推倒的式子（5）单位增益带宽可以得到C g C mu = 1 ω ∴ 11 1 1 1 1 1 1 22 2 2 () ( ) DS u DS u DS u eff u m p ox p ox DS II I SR V g W W C I C L L ω ω ω ω µ µ == = = 其中 1 1 1 2 ( ) DS eff GS th p ox I V VV W C L µ = −= 因此，提高两级运算放大器转换速率的一种方法是尽可能增大管子 M1 的有效电压 Veff1。其 实这也是为什么选用 PMOS 管作为输入管的原因之一。 z max 7 max | | out DS CC C CL dv I I SR dt C C C ≡ == + 该个运算放大器的转换率 min{ , } 2 DS DS 1 7 C CL I I SR C CC = + 3. 静态功耗 运算放大器的静态功耗： 8957 ( )( ) P V VI I I I static dd ss DS DS DS DS =− +++ 静态功耗确定了整个电路的静态电流最大值为（假定静态功耗 ≤ 5mW， 电源电压 3.3V）： 5 1.5 3.3 0 Static DC dd ss P mw I mA VV VV == ≈ − − （2） 我们将该电流分配到电路的不同的地方去。例如，100mA 给偏置电路，1400mA 给两级 放大电路。这里完全是根据设计人员的经验来确定，有可能电流的分配并不能使整个电路达 到全局最优。 4. 输入失调电压 当 1 2 VV V V i i dd ss == − ( )/2时， DS DS 1 2 I = I ，所以，V V DS DS 3 4 = ，VVV GS GS GS 634 = =
博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 如果电源电压是3.3V,输出的动态幅度是3.3V,直流电压增益是104倍，则最大输入电 压幅度是3.3P/A,oa=3.3V/104=0.33mV,而如果输入失调电压为0.5mV。这就意味者 0.5mv的输入失调电压足以使得M6或M7进入线性区。 1s1=1ns2’1ns6=1s7,'cs6='cs3='Gs4 W 1 W 1as=2.CaZ,as-'w月 为了使M3、M4和M6完全匹配，选择L=L4=L6 所以， W,=W=(2x1s 1Ds5-)×Wg (3) M3,M4和M6的尺寸取决于两级放大器之间的电流的分配。 为了减小负载电容对噪声的贡献，我们也许希望L3和L4取最小值。然而，为了得到更 高的gm6,我们也许希望L6保持最小值。这里，我们牺牲一下输入失调电压等待后面单位 增益带宽来进一步考虑。 5.等效输入噪声 图4、NMOS管噪声电流源 图5、等效输入噪声 我们知道每一个晶体管都存在噪声电流源（图4），其功率谱密度为 2 ,Krg品 S2=4KT(58m)+ fWLCos 热噪声1/f噪声
博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 9 如果电源电压是 3.3V，输出的动态幅度是 3.3V，直流电压增益是 104 倍，则最大输入电 压幅度是 4 3.3 / 3.3 /10 0.33 V A V mV total = = ，而如果输入失调电压为 0.5mV。这就意味者 0.5mv 的输入失调电压足以使得 M6 或 M7 进入线性区。 Q DS DS 1 2 I = I ， DS DS 6 7 I = I ，VVV GS GS GS 634 = = ∴ 2 6 66 1 ( )( ) 2 DS n ox GS th W I C VV L = − µ 2 3 33 1 ( )( ) 2 DS n ox GS th W I C VV L = − µ 故， 3 5 34 6 6 6 7 () () () () 2 DS DS DS DS WW W W I I L LI L I L = =× = × × 为了使 M3、M4 和 M6 完全匹配，选择 LLL 346 = = 所以， 5 34 6 7 ( ) 2 DS DS I WW W I == × × （3） M3, M4 和 M6 的尺寸取决于两级放大器之间的电流的分配。 为了减小负载电容对噪声的贡献，我们也许希望 L3 和 L4 取最小值。然而，为了得到更 高的 gm6 ，我们也许希望 L6 保持最小值。这里，我们牺牲一下输入失调电压等待后面单位 增益带宽来进一步考虑。 5. 等效输入噪声 我们知道每一个晶体管都存在噪声电流源（图 4），其功率谱密度为 2 2 2 4( ) 3 DS f m i m ox K g S KT g fWLC = + 热噪声 1/f 噪声 图 4、NMOS 管噪声电流源 图 5、等效输入噪声
博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 我们忽略第二级的等效输入噪声，因为第二级的输入噪声要除以第一级的增益。 如图5是输入级的等效输入噪声示意图。 Vn.ou =(in in3 +in2+in)go2 +8o4) 输出噪声功率谱密度为 Sam=(S2+S:+S,+S2,g2+8o4)尸 等效输入噪声功率谱密度为 (+S+S+SX82+8 8m1(8o2+84)月 -S2+S+S+S Sml K 4KT2g+8a+86+8k 8m2+ K一 C.wLf 8m3+ 8 CW Lf 等效输入噪声功率谱密度S品n=+B (4) f W 其中a= 2K 16KT 1+ B= CWL 324,c. 因此，等效输入噪声只是L1,L3,W1,和IDs1的函数，假定L1,L3都选定最小值。则 它只是W的函数。增加W,值，可以降低输入噪声，但同时也会增大寄生电容。 等效输入噪声功率谱密度要求S兄n≤S品 在频率范围[f6,f]下，RMS噪声电压Voic是等效输入噪声功率谱密度在该频率范围内 进行积分， e=∫6snf)d=a1ogf/i)+BUf-f)≤a 6.单位增益带宽和相位裕量 假设运放只有两个极点（图6）。（实际上，会有两个以上的极点，同时还会在右半平面 或者左半平面的零点)。 由于密勒补偿电容C。的存在，P1和p2将会分开得很远（在密勒电容补偿中将详细论述）。 假定o<O,这样在单位增益带宽频率0，处第一极点引入-90°相移，整个相位裕量 0
博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 10 我们忽略第二级的等效输入噪声，因为第二级的输入噪声要除以第一级的增益。 如图 5 是输入级的等效输入噪声示意图。 , 1324 2 4 ( )( ) n out n n n n o o v iiiig g = +++ + 输出噪声功率谱密度为 1234 2 22 22 2 , 24 ( )( ) DS DS DS DS n out i i i i o o S S S S S gg = +++ + 等效输入噪声功率谱密度为 1234 22 22 2 2 2 4 , 2 2 12 4 ( )( ) ( ) DS DS DS DS i i i i oo n in mo o S S S S gg S gg g +++ + = + 1234 22 22 2 1 DS DS DS DS iiii m SSSS g +++ = 2222 1234 1 2 3 4 11 2 2 33 4 4 2 1 2 4( ) 3 fp fp fn fn mm mm m m m m ox ox ox ox m KK KK KT g g g g g g g g C WL f C WL f C WL f C WL f g +++ + + + + 等效输入噪声功率谱密度 2 Sn in, f α = + β (4) ( 1 2 11 2 () m m p ox DS W gg C I L = = µ ， 3 4 33 2 () m m n ox DS W gg C I L = = µ ， D1 3 D I = I ) 其中 2 1 2 11 3 2 1 fp fn n ox fp p K KL C WL K L µ α µ = + ， 3 1 1 1 ( ) 16 1 32 ( ) ( ) n p p ox DS W KT L W W C I L L µ β µ µ = + 因此，等效输入噪声只是 L1，L3，W1，和 IDS1的函数，假定 L1，L3 都选定最小值。则 它只是 W1 的函数。增加 W1 值，可以降低输入噪声，但同时也会增大寄生电容。 等效输入噪声功率谱密度要求 2 2 n in, max S S ≤ 在频率范围[f0,f1]下，RMS 噪声电压 Vnoise 是等效输入噪声功率谱密度在该频率范围内 进行积分， 1 0 22 2 , 1 0 1 0 max ( ) log( ) ( ) f noise n in f V S f df f f f f V = = + −≤ α β ∫ 6. 单位增益带宽和相位裕量 假设运放只有两个极点（图 6）。（实际上，会有两个以上的极点，同时还会在右半平面 或者左半平面的零点）。 由于密勒补偿电容 Cc的存在，p1 和 p2将会分开得很远（在密勒电容补偿中将详细论述）。 假定 p1 ω << p2 ω ，这样在单位增益带宽频率ωu 处第一极点引入 −90° 相移，整个相位裕量