28土质边坡稳定分析一原理·方法程序 Gn(F, P(r)s(x)dx=0 (231) M,(F,A)=p(x)s(x)r(x)dx-Me=0 先假定一组F1和入,代入式(231)、式(2.32)。下一个更为接近其解F、λ*的数值F2、 入2通过下式求得(=1) aM aG. aM aG. aM (2.33) an aFaF a7 -G C1t △M=△x-△A1=aG.a0,.a. 重复上述步骤,直至下列收敛标准得到满足 △F<E 在STAB程序中,E值设为10-。本程序开发以来的实际使用情况证明,程序对绝大多 数问题均能迅速地收敛到这一精度(参见[例2.1]) 在文献中经常可以看到将式(2.33和式(234)的二维迭代过程转化为一维的作法( Spencer 1973; Fredlund,1984),如图23所示。 图2.3 Spencer法求解示意图 固定某一值,给出F=FG(4)和F=FM4)曲线,再采用数值分析的方法寻找该两条曲线 的交点,解得F和。FG(4)和FM4)分别是在该值时通过解式(233)和式(234)获得的F。需 要对式(231)和式(232)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得F(A)和FM4)
28 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 (2.31) ∫ = = b a n G (F,λ) p(x)s(x)dx 0 (2.32) ∫ = − = b a n Me M (F,λ) p(x)s(x)t(x)dx 0 先假定一组 F1和λ1 代入式(2.31) 式(2.32) 下一个更为接近其解 F* λ*的数值 F2 λ2通过下式求得( i=1) λ λ λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = + − = n n n n n n n n i i i M F G F G M G M M G F F 1 F (2.33) λ λ λ λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = + − = n n n n n n n n i i i M F G F G M F G M F M G 1 (2.34) 重复上述步骤 直至下列收敛标准得到满足 < ε (2.35) ∆Fi λ < ε (2.36) ∆ i 在 STAB 程序中 ε 值设为 10−4 本程序开发以来的实际使用情况证明 程序对绝大多 数问题均能迅速地收敛到这一精度 参见[例 2.1] 在文献中经常可以看到将式(2.33)和式(2.34)的二维迭代过程转化为一维的作法(Spencer, 1973; Fredlund, 1984), 如图 2.3 所示 图 2. 3 Spencer 法求解示意图 固定某一λ值 给出 F=FG(λ)和 F=FM(λ)曲线 再采用数值分析的方法寻找该两条曲线 的交点 解得 F 和λ FG(λ)和 FM(λ)分别是在该λ值时通过解式(2.33)和式(2.34)获得的 F 需 要对式(2.31)和式(2.32)分别使用仅包含一个自变量进行迭代获得 FG(λ)和 FM(λ)
2拿边坡穗定分析的通用条分法29 采用上述作法,反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理。事 实上,作者使用这一算法的二十余年的经验表明,使用二维 Newton- Raphson迭代,其收敛 速度极快。这一点将在后面[例21]和[例22]的迭代过程中看到。使用如图23所示的迭代 方法,非但使计算过程变得繁琐,而且降低了计算精度。可以想像,这样的作法,使计算精 度保持在103水平将是十分困难的。对于一个滑裂面的安全系数问题,工程实际也许并不在 乎小数点第三位的精度,但是,当问题进入第4章所论述搜索最小安全系数领域时,小数点 第二位的精度就远远不够了。因此,可以说,本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数 值计算收敛特性方面具有其突出的优点。 23.2计算导数的公式 用式(225、式(2.26)求解,需要确定∂MnaA、OMn1DF,OGn1aA,GnOF的数值,计算 这些导数的公式见式(237)式(240),推导过程可参见本章附录(第262节) P(x)s(r)k(x)- sec"(ce-a+B (237) 0Mn=p(x)s(x)(xy(x)-J,se(-a+B) (2.38) ap p(x)-s(x))- sec(ce-a+B) dB (239) aa p(x)3-s(x-J/ -sec(2-a+BdB aaA+ aM, 240) ∫a+DEma+p21 吗 D,= tan(se-a+B) tan(er-a+B).dp D L, tan(oe 其中D和D是考虑到滑面上a和φ可能出现的突变点而增加的附加值。符号[表示在该 点相应数值在突变点右侧和左侧的差值。k(x)的定义见第262节式(2.140)。 2.3.3数值分析的步骤 选择一个接近最终解λ*,F的迭代初值A和F1,对于保证数值计算收敛有着十分重要 的意义,这里建议的方法,经过大量实践计算的检验,证明十分有效。 1.初值F1的估算 对F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第3章介绍的稳定分析简化方法确定一个 安全系数的初值,再代入式(231)和式(2.32)进行迭代求解。在STAB程序中,采用了以下步
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 29 采用上述作法 反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理 事 实上 作者使用这一算法的二十余年的经验表明 使用二维 Newton−Raphson 迭代 其收敛 速度极快 这一点将在后面[例 2.1]和[例 2.2]的迭代过程中看到 使用如图 2.3 所示的迭代 方法 非但使计算过程变得繁琐 而且降低了计算精度 可以想像 这样的作法 使计算精 度保持在 10−3水平将是十分困难的 对于一个滑裂面的安全系数问题 工程实际也许并不在 乎小数点第三位的精度 但是 当问题进入第 4 章所论述搜索最小安全系数领域时 小数点 第二位的精度就远远不够了 因此 可以说 本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数 值计算收敛特性方面具有其突出的优点 2. 3. 2 计算导数的公式 用式(2.25) 式(2.26)求解 需要确定∂M n / ∂λ ∂M n / ∂F, ∂Gn / ∂λ, ∂Gn / ∂F 的数值 计算 这些导数的公式见式(2.37)∼式(2.40) 推导过程可参见本章附录(第 2.6.2 节) x F p x s x k x F G b a x a e e n d d d d d d ( ) ( ) ( ) sec ( ) 2 ∫ ∫ ⋅ ′ = ⋅ − ′ − + ∂ ∂ ξ ξ φ β φ α β (2.37) ∫ ∫ ⋅ ′ = ⋅ − ⋅ ′ − + ∂ ∂ x a e e b a n x F p x s x k x t x t F M 2 d ]d d d d d ( ) ( )[ ( ) ( ) sec ( ) ξ ξ φ β φ α β (2.38) p x s x D x G b a i x a e n d d d d d d ( ) ( ) sec ( ) 2 ∫ ∫ = ⋅ − ′ − + ⋅ + ∂ ∂ ξ ξ α λ β φ α β λ (2.39) x p x s x t D M x a e e a e b a ti x a e n d d d d d d d cos sec sec( ) exp tan( ) d d d d d ( ) ( ) sec ( ) 2 ′ ′ − + ∫ ′ − + + = ⋅ − ⋅ ′ − + ⋅ + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ξ λ β ζ ζ β φ α φ α β φ α β ξ ξ α λ β φ α β λ ξ (2.40) r l s i ei i x a Di e ∑= = − ′ − + = ′ − + 1 d d tan( ) d d tan( ) λ β φ α β λ β φ α β (2.41) r l s i ti i ei i D ∑ t = = − ′ − + 1 d d tan( ) λ β φ α β (2.42) 其中 Di和 Dti是考虑到滑面上α和φ′e可能出现的突变点而增加的附加值 符号[ 表示在该 点相应数值在突变点右侧和左侧的差值 r l ] k(x)的定义见第 2.6.2 节式(2.140) 2. 3. 3 数值分析的步骤 选择一个接近最终解λ* F*的迭代初值λ1 和 F1 对于保证数值计算收敛有着十分重要 的意义 这里建议的方法 经过大量实践计算的检验 证明十分有效 1. 初值 F1的估算 对 F1的估算的基本指导思想是首先使用将在第 3 章介绍的稳定分析简化方法确定一个 安全系数的初值 再代入式(2.31)和式(2.32)进行迭代求解 在 STAB 程序中 采用了以下步
30 土质边坡穗定分析一原理,方法·程序 骤: (1)首先使用将在第3章362节介绍的“简化法1”计算安全系数,这个方法适用于任 意形状滑裂面,并不需迭代求解。因此,是一个比较理想的计算安全系数初值的方法 (2)计算陆军工程师团法的安全系数(这一步骤也可以省略) (3)使用上述步骤获得的安全系数作为初值F1进行通用条分法的计算 2.初值λ1的估算 假定tan的平均值和tana的平均值相同,即 tan Bdx= tan ada 将式(228)或式(230)代入式(243),即可得到一个值作为初值A1 本节介绍计算式(231)、式(2.32)和相应的导数公式式(237)-式(242)的过程比较繁复 但是如果编制成计算机程序,则可快速求得解答。在本书11章中,我们将详细介绍实现这 计算过程的源程序。这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验。有了这一程序, 使用通用条分法将不再是一个困难的事情。新加坡Low(1998)曾使用 Micro Soft Excell电子 表格进行上述计算。 例21]紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析。 紫坪铺水库左岸距坝618m处存在一个顺坡长300-870m的不稳定堆积体。初步估计方 量为2500~300m3。经钻孔分析,堆积体与基岩接触面存在有厚0.5~15cm的连接平直的软 滑带,即图24中的 ABCDEF。使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动,并从围堰 G点滑出。堆积体的强度指标为c'=20kPa,φ'=31°;软滑带的指标为c=10kPa,φ'=16°。 使用将在第3章介绍的简化法1所得安全系数为1,239,随后采用工程师团法所得安全系数 为125,应用式(243)解得的A为0293,计算迭代过程如表21 1704(m) 浸润线 图2.4紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
30 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 骤 (1) 首先使用将在第 3 章 3.6.2 节介绍的 简化法 1 计算安全系数 这个方法适用于任 意形状滑裂面 并不需迭代求解 因此 是一个比较理想的计算安全系数初值的方法 (2) 计算陆军工程师团法的安全系数 这一步骤也可以省略 (3) 使用上述步骤获得的安全系数作为初值 F1进行通用条分法的计算 2. 初值λ1的估算 假定 tanβ的平均值和 tanα 的平均值相同 即 (2.43) ∫ ∫ = b a b a tan βdx tanαdx 将式(2.28)或式(2.30)代入式(2.43) 即可得到一个λ值作为初值λ1 本节介绍计算式(2.31) 式(2.32)和相应的导数公式式(2.37)∼式(2.42)的过程比较繁复 但是如果编制成计算机程序 则可快速求得解答 在本书 11 章中 我们将详细介绍实现这 一计算过程的源程序 这一程序在过去的二十余年中通过无数工程实例检验 有了这一程序 使用通用条分法将不再是一个困难的事情 新加坡 Low (1998)曾使用 MicroSoft Excell 电子 表格进行上述计算 [例 2.1] 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析 紫坪铺水库左岸距坝 618m 处存在一个顺坡长 300∼870m 的不稳定堆积体 初步估计方 量为 2500∼3000m3 经钻孔分析 堆积体与基岩接触面存在有厚 0.5∼15cm 的连接平直的软 滑带 即图 2.4 中的 ABCDEF 使用本文的通用条分法计算堆积体沿此滑面滑动 并从围堰 G 点滑出 堆积体的强度指标为 c′=20 kPa φ ′=31° 软滑带的指标为 c′=10 kPa φ ′=16° 使用将在第 3 章介绍的简化法 1 所得安全系数为 1.239 随后采用工程师团法所得安全系数 为 1.225 应用式(2.43) 解得的λ1为 0.293 计算迭代过程如表 2.1 图 2. 4 紫坪铺库区左岸堆积体的稳定分析
第2章边坡穗定分析的通用条分法 表2.1例21数值选代过程 Mn (9. 8 m) 0.57010E+030.341694E 0.293377E+00 1234 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+0l 0.254412E+0 0.1936l5E-01 0.103906E+01 0.119594E+0l 0.254435E+00 最终得λ=0.254435,F=1.195939。从表21可见应用通用条分法,迭代过程非常迅速 稳定。通过四次迭代,不平衡的力和力矩Gn和Mn分别从-0.570101×103×98kN和0.341694 ×105×98kNm收敛到-0.193615×101×98kN和0.103906×103×9.8kNm 例22]澳大利亚ACAD公布的标准考题EX1。 图2.5示所示一个典型的土坡稳定分析例题。在以后的章节中,还将多次引用(详见114 节)。光滑曲线滑裂面由A、B、C、D、E五个点用样条函数联成,事实上这是一个近似圆 弧的曲线。计算迭代过程见表22。 表22例22数值迭代过程 迭代步G9.8kN M,(9.8kN-m) 0243723E+030.101975E+04024000E+010464641E+00 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.l17622E+0l 0.178628E+030.171667E+04 0.127896E+01 0.93053lE+00 4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+0l 0.618465E+00 0.85718lE+02 0.138486E+01 0.420363E+00 6 0.221638E+01 0.138273E+01 0.39583lE-03 -.315285E-02 0.138264E+01 0.376847E+00 (-34,9,-474,-242) 图2.5溴大利亚ACAD考核题 在本例中,故意将F的初值(F1=240)设得远离其真值(F=1.382),从表22所示的迭代 过程可以看到,安全系数的初值为240,此时不平衡的力和力矩分别为24×102和1.02×10, 迭代至第7步,即减少为396×10-和-3.5×10-3。安全系数解答为F=1.383
第 2 章 边坡稳定分析的通用条分法 31 表 2. 1 例 2.1 数值迭代过程 迭代步 Gn (kN) Mn (9.8 kN⋅m) F λ 1 -0.570101E+03 0.341694E+06 0.122454E+01 0.293377E+00 2 0.549303E+02 -0.212623E+05 0.119380E+01 0.252562E+00 3 -0.161491E+01 0.751152E+02 0.119598E+01 0.254412E+00 4 -0.193615E-01 0.103906E+01 0.119594E+01 0.254435E+00 最终得λ = 0.254435 F =1.195939 从表 2.1 可见应用通用条分法 迭代过程非常迅速 稳定 通过四次迭代 不平衡的力和力矩 Gn和 Mn分别从 −0.570101×103 ×9.8 kN 和 0.341694 ×106 ×9.8 kN•m 收敛到 −0.193615×10−1 ×9.8 kN 和 0.103906×101 ×9.8 kN•m [例 2.2] 澳大利亚 ACAD 公布的标准考题 EX1 图 2.5 示所示一个典型的土坡稳定分析例题 在以后的章节中 还将多次引用 详见 11.4 节 光滑曲线滑裂面由 A B C D E 五个点用样条函数联成 事实上这是一个近似圆 弧的曲线 计算迭代过程见表 2.2 表 2. 2 例 2.2 数值迭代过程 迭代步 Gn(9.8kN) Mn(9.8kN⋅m) F λ 1 −0.243723E+03 0.101975E+04 0.240000E+01 0.464641E+00 2 0.507991E+03 0.429016E+04 0.110318E+01 0.117622E+01 3 0.178628E+03 0.171667E+04 0.127896E+01 0.930531E+00 4 0.440980E+02 0.525262E+03 0.136979E+01 0.618465E+00 5 0.515473E+01 0.857181E+02 0.138486E+01 0.420363E+00 6 0.120580E+00 0.221638E+01 0.138273E+01 0.377980E+00 7 0.395831E−03 −.315285E−02 0.138264E+01 0.376847E+00 图 2. 5 澳大利亚 ACAD 考核题 在本例中 故意将 F 的初值(F1 = 2.40)设得远离其真值(F = 1.382) 从表 2.2 所示的迭代 过程可以看到 安全系数的初值为 2.40 此时不平衡的力和力矩分别为−2.44×102和 1.02×103 迭代至第 7 步 即减少为 3.96×10−4和−3.15×10−3 安全系数解答为 F=1.383
32土质边坡穗定分析一原理,方法·程序 2.4与条分法有关的一些基本问题的讨论 24.1作用在徽小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论 在本章建立力矩平衡方程式(214)的推导中,我们曾假定土条底法向应力的合力的作用 点处于条底的中点。在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量。这 节,我们将说明,将作用点位置放在中点导致的误差,相对力矩平衡公式中的其它量是一个 高阶小量。在土条的宽度Δx足够小的时候,这一作法引入的误差可以忽略不计。也就是说, 在这一问题上,通用条分法的理论基础是严格的。 图2.6作用在微小长度上的垂直应力 作用在一个微小长度Ax上连续分布的垂直应力x)的合力P由下式决定(参见图26) (244) P的作用点距原点位置为 g(x). xdx (245) o(x)d 定义N的作用点的相对距离为 (246) 将ox)在oO)处按泰勒级数展开,将式(245)代入式(246)后可得 ss2o(0)x2+o(0)x3+(0x o(0)Ax2+o0)tr32+ (247)
32 土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序 2. 4 与条分法有关的一些基本问题的讨论 2. 4. 1 作用在微小长度上垂直应力合力作用点位置的讨论 在本章建立力矩平衡方程式(2.14)的推导中 我们曾假定土条底法向应力的合力的作用 点处于条底的中点 在一些文献中曾经把这一合力的作用点的位置也作为一个未知量 这一 节 我们将说明 将作用点位置放在中点导致的误差 相对力矩平衡公式中的其它量是一个 高阶小量 在土条的宽度∆x 足够小的时候 这一作法引入的误差可以忽略不计 也就是说 在这一问题上 通用条分法的理论基础是严格的 图 2. 6 作用在微小长度上的垂直应力 作用在一个微小长度∆x 上连续分布的垂直应力σ (x)的合力 P 由下式决定 参见图 2.6 ∫ = x P x x 0 σ ( )d (2.44) P 的作用点距原点位置为 ∫ ∫ ⋅ = x x x x x x x a 0 0 ( )d ( ) d σ σ (2.45) 定义 N 的作用点的相对距离为 x a ∆ ζ = (2.46) 将σ(x)在σ(0)处按泰勒级数展开 将式(2.45)代入式(2.46)后可得 L L + + + + + + = 2 3 4 2 3 4 (0) 6 1 (0) 2 1 (0) (0) 8 1 (0) 3 1 (0) 2 1 x ' x '' x x ' x '' x σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ σ ∆ ζ (2.47)