静滴法测表面张力的计算机处理

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1986.03.010 1986年9月 北京钢铁学院学报 No.3 第3期 Journal of Beijing University Sept,1986 of Iron and Steel Technology 静滴法测表面张力的计算机处理 王碧燕 毛裕文 (治物化教研室) 摘要 本文提出了根据由Ctel法所测出水平垫片上液滴的投影尺寸，通过计算机 求算裘面张力.液滴体积和润湿角的数学方法。编制了适用于单板机(2X-48型) 的BAS1C语言程序，用此程序计算H6,Cu.Cu(40%)-Sb和Sb的表面张力，验证 了它的可行性和可靠性。 关键词：表面张力，静滴法，Chatel法，单板机. Computer Approach of Surface Tension by the Sessile Drop Method Wang Biyan,Mao yuwen Abstract A math method calculating the surface tension,the volume of liquid drop and the contact angle of a liquid drop on a level substrate is worked out in this paper.The method is carried out by computer according to the projection sizes of the liquid drop which was measured by the Chatel/s me- thod.The BASIC program fitting in single board computer type ZX-48 is Compiled.The surface tensions of Hg,Cu,Cu (40%)-Sb,Sb have been calculated with this program and the feasibility and the reliability of this method have been proved. Key words:surface tension,Resaile drop method,Chatol's method,Single board Computer. 1985-10-07收到 76

年 。 月 第 北 京 钢 铁 学 院 学 报 录 。 。 静滴法测表面张力的计算机处理 王 碧燕 毛裕 文 冶 金 ’物化教研室 摘 要 本文提出了根据 由 法所测 出水平垫 片上液滴 的投影尺寸 ，通过计算机 求算表面张力 液滴体积和 润湿 角的数学方法 。 编制了适用于单板机 一 型 的 语言程 序 。 用此程序计算 终 一 和 卜的表面张力 ，验证 了 它的可行性和可靠性 。 关键词 表面 张力 ， 静淌法 ， “ ，日法 ， 单板机 ‘ ， ， 产 一 ， ， 一 ， 。 。 。 。 。 。 ， ， 。 ‘ 一。 二 。 、 ， 。 一， ， 、 。 ， 。 、 。 。 。 。 一 一 收到 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1986．03．010

前 言 当液滴放置在与它不润湿的水平垫.上，在表面张力和重力作用下，其投影图如图1 所示。通常采用的方法是测定出最大半径X,最大半径位置到顶点O的距离Y,液滴与 垫片接触面的半径X。以及液滴的重量，再根据Ba shforthi和Adamst制定的表格1)（简 称B~A表)，通过七次内插可以计算出密度、润湿角和表面张力。B-A表在我国较难找 。 到，同时计算中要七次内插，运算繁琐，很易出错而且费时。另外，最大半径处的位置 和Y值很难测准，造成表面张力测量误差较大。 为了解决Y值不易测准这一问题，Chatel 〔2)用已知夹角(2α)的两根交线去切液滴 (见图1)。这样，就可通过几何关系用测量两 线交点到液滴顶点的距离h来取代Y值，然后仍 来 可用B-A表求算表面张力。显然，在运算上它 仍旧是繁琐而费时的。 中南矿旷院李晶3)曾根据B-A表的制定思 -2Xo- 路，设计了适用于苹果机的扩展BASIC语 y 言程序。我们在此基础上，一方面用Chatel法 图1静滴的几何图形 由测量h取代Y,使测量结果更为准确，另一 Figl Goometry of a sosile drop 方面进一步改进了程序，使之适用于单板机， 以便有更大的推广价值。 1数学方法 如图1所示，当表面张力和重力达到平衡时，曲线上各点应满足下式： b/R,+bsinφ/x=2+By/b (1) 其中，b一一坐标原点（即液滴顶点）曲率半径(cm), R!一曲线上任一点的曲率半径(cm),R1=dsd中，S一曲线弧长， 中曲率半径与y座标的夹角 B—一形状因子，B=△Pgb2/a (2) 式中△p一液滴与环境物质的密度差(g/cm3),△p=p一p.≈p, g一重力加速度，g=980cm/s2, σ一液体的表面张力(dyn/c血)。 要由式2求得o,则应知β、b和p。 为了书写方便，下面我们用R、x、y表示式1中的R:/b、x/b、y/b,式2化 为1 1/R:+sinφ/x=2+By (3) 77

前 ‘ 口曰曰 门 七， 当液滴放置在与它 不润湿 的水平垫 上 ， 在表面张力和 重力 作 用下 ， 其投影 图如 图 所示 。 卜 通常采用的方法 是 测定 出最大半径 ， 最大半径位置到顶 点 的距离 ， 液滴 与 垫片接触 面的半径 。 以及液滴的重量 ， 再根据 五 和 制定 的表格〔 〕 简 称 一 表 ， 通过七次 内擂 可 以计算 出密度 、 润湿 角和 表面张力 。 一 表在我国 较 难 找 到 ， 同时计算 中要七次 内插 ， 运算繁琐 ， 很易 出错而且费时 。 另外 ， 最大半径处的位置 和 值很难 测准 ， 造 成表面张力 测量误差较大 。 为 了解决 值不 易测准这 一 问题 ， 〔 用已知夹 角 的两根交线 去 切 液 滴 见 图 。 这样 ， 就可通 过几 何关 系用 测量 两 线 交点到液滴顶 点的距离 来取 代 值 ，然后仍 可用 一 表求算表面张 力 。 显然 ， 在运算 上它 仍 旧是繁琐而费时 的 。 中南矿 院李 晶〔 〕 曾根据 一 人表的 制 定 思 路 ， 设计 了适用 于 苹果机 的 扩 展 语 言程序 。 我们在此基础上 ， 一方面 用 法 由测量 取代 ， 使测量 结果更 为准 确 ， 另一 方面进一步改进 了程序 ， 使之适用于单板机 ， 以便 有更大的推广价值 。 广 尹 几丛‘ 二 沪火 一 丫 准 图 静滴 的几何图形 了 二 二 数学方法 如图 所示 ， 当表面张 力和重 力达到 平衡时 ， 曲线上 各点应满 足下式 小 其 中 ， 一 一坐标原 点 ， 即液滴顶 点 曲率半径 ， ， － 曲线上 任 一点的 曲率 半径 ， 二 ’ 小 ， 一一 曲线弧长 ， 中－ 曲率 半径与 座标 的夹 角 日一 形状因子 ， △ ’ 式 中△ － 液滴与环境物质的密度差 “ ， △ 一 、 ，， － 重 力加速度 ， 二 ’ ， － 液体的表面张 力 了 二 。 要 由式 求 得。 ， 则应知日 、 和 。 为 了书写方便 ， 下面我们 用 卜 、 了表示式 中的 、 、 ， 式 化 为 ‘ 小 日

而 h=x//tga-Y/=X/tgo-Y/ (4) 可以通过计算机解式8，求得各B值下X'、Y'、X,从而得到B~h/x的关系一chatelz表。 反之，可根据实验测定值/x,由此关系内插求得β值。若精度不够，可对β进行优化。 比较式2和式8，显然b=x:/x=y:/y(下标t表示实测值)，所以有 b=(x:/x+ht/h)/2 要求P,除对液滴预先称重，尚需知液滴体积V。V值可由下式1)近似给出： V=xb2X3(2/b-2sin0/xo+BYo/b2)/B 若0、Xo、Yo已知，则由上式可求得V和p。 1.1。制表 给定一个B值，以中为自变量，用数值法解常微分方程8以便得到B~/x的关系。 下面以x为例说明求解过程。由式3得： 1/ds/dφ+sinφ/x=2+y .ds=do/(2+By-sin/x) 而由x:=x1+△x球得的xi+1较粗糙，改用x;}=xi+（△xi+△xi+1)/2 (见图2)。其中 △x=cosφ·△s=△中·cosφ/(2+By-sinφ/x) 显然，不能直接求出△x+1,故采用予测校正法。此时，令： 41=x+△x1 X error 碧细ire X1-1 (true)Xi- 1-1 中1+1 6前24前2 图2改进x递进式前后误差比较 图3改进子测公式对误差的补偿 Fig.2 To compare the error of the recursion Fig.3 To make compensation for error by formula of x before improvement with after that improving forecast formula 由x求得△x;41来代替△x+1。更合适的预测公式为： x(2)=xi-1+2Ax: i+1 由图3可见，后者较前者有d值的补偿，x?更接近于x+1。 给出初始条件中、x0、yo及自变量增量△中后，则可根据以下各式逐步得到微分方 程数值解。由此，可知B下的h/x值（选取a=45°），即可以求得Chatel表。 78

而 ， 一 ， ， 小一 ， 可以 通过计算机解式 ， 求 得各日值下 ‘ 、 ‘ 、 ， 从而 得到 日一 的关 系一 表 。 反 之 ， 可 根据 实 验 测定 值 ， 由此关 系内擂求 得日值 。 若精 度 不够 ， 可 对日进行优化 。 比较式 和式 ， 显然 二 ， 下 标 表示实 测值 ， 所 以 有 十 要求 ， 除对液滴预先称重 ， 尚需知液滴体积 。 值可 由下式 近似给 出 二 言 一 。 一卜 。 “ 日 若 、 。 、 。 已 知 ， 则 由上式可求 得 和 。 。 。 制表 给定一个日值 ， 以小为 自变量 ， 用 数值法解常微分方程 以便 得到 日 的关 系 。 下 面 以 为例说明求解过程 。 由式 得 小 小 小 日 一 小 而 由‘ 、竿 “ “ △ ‘求 得的 汗‘ 较粗糙 ， 改用 ‘ ，乳 “ “ △‘ 、 △‘ ‘ “ 见 图 。 其 中 △二 小 · △ 二 小 · 小 一 小 显 然 ， 不 能直 接求 出△ ， 故采 用予 测校正法 。 此时 ， 令 ， 劣 ‘ △‘ 曰 咨， ‘ 加 一 ，」 匕 人 游 ，曰 日 互才了… 冈厂 ‘ 剑 译土， 一 爪 一 图 改进 递进 式 前后误差 比较 。 皿 吧 七 已 图 改进予测 公式对误差的补偿 由二 渭求得△二 二 ，来代替△二 ，。 更合适的预 测公式为 半 二 卜‘ “ △‘ ， 由图 可 见 ， 后者较前者 有 值的补 偿 ， 忿 更 接近 于 十 。 ‘ ， 给 出初始 条件小 。 、 。 、 。 及 自变量 增量 △小后 ， 则可 根据 以下 各式逐步 得到 微分方 程数值解 。 由此 ， 可 知日下的 值 选取 二 “ ， 即可 以求 得 表

f△xi=△φcos中：/(2+y:~sin中：/x:) t△y:=△中sin中：/(2+By:-sin中：/x:) 0i+1=Φ：+△中 fx”i+1=Xi-1+2△x: y°i+1=y-1+2△yi f△x*i+1=△φc0sφ1+1/(2+By°：+1-sinφ：+1/xi+1) Ay1+1=A中sin中：+：/(2+y'i+:-sin中i+i/x'i+,) x+1=x:+(公X:+小x:+1)/2 y:+1=y:+（△y:+△y+1)/2 1,2.0、Xo、Yo的求解 当中：<0<中：+1时，若知Xo或Yo,则可由中、中i+对应的x、x1+:或y1、y+1 内插求得9，考虑到测量误差，故只测量Yo,Xo可由夹Yo的y1、y:+1内插求得。 2程 序 因单板机运算较慢，枚先制表后检索求算，而且采取数据一次金部送人的方式送数 求算，使程序最简单，使用方便。 程序包括：(1)求算程序；(2)制表程广，(3)解微分方程的子程序。程序 命名为“TENSION”。 2.1文字框图 程序1 的范围很大，为了提高检索效率，将其划分成几个段。首先判断β所属的段，然 后再检索。见K.s、K,4,并用M表示Chatel表中的h/x值。 程序2： B初值给定为~△B,则求算从B=O开始，△B=0.1,求解主要是靠子程序逐步完成 的。 2.2程序说明 程序1 程序中首先定义数组X(a)、h(a)、YO()、W(a)、F(ū)以贮存输入 的数据，a为大于数据组数的任何整数。YO一YosF一物像比，反映了实物尺小与像片 测量值的关系。送入数据组数G,然后数据（长度数据单位采用mm)以循环语句（从 1到G和1NPUT语句全部输入内存，同时打印各值以便明了偷入数据是否正确。 送入自变量的增量A中-一dQ和B的增量△B-dB。B在10以内时选取A中=(1/2) 较合适，易达到误差要求，运算次数少故效率高。在制表时主要要保证表的精确度，速 度成为次要因素，取A·=(1/8)·。B更大时△中应适当减小，这是因为公中制表<△中 求算，所以B~M线与B~M'线（△P求荐下的卵~M线）不重合，其位置如图4。A中制表与 △中求算不能相差太远，否则内插值实际值显负缩差，则M'对N的：和相对误差越小，B 79

△ △小 小 日 ， 一 小 △ 孟 二 △小 小 ‘ 十 日 滋 一 小 宜 小 小 △小 二 一 △ 一 △ △ ’ ‘ 十 ， △小 小 十 日 ‘ 、 ， 一 小 ，， ， ， △ ， ， 二 △小 小 十 日 、 、 ， 一 小 十 ， 、 ， ，十 △ 八 ， △ △ 、 、 。 、 。 的求解 当小 小 十 ，时 ， 若知 。 或 。 ， 则 可由小 、 乡 对 应 的 ‘ 、 ， 或 、 十 内插求 得 。 考虑到 测量误 差 ， 故 只 测量 。 ， 。 可 由夹 。 的 ，、 、 ， ， 内插求 得 。 程 序 因单板机运算较慢 ， 玫先制 表后 检索求 算 ， 而 且 ‘ 采取 数据一次 全部送 人 的方式送 数 求 算 ， 使程 序最简单 ， 使用方便 。 程序包括 求算程序 制表 程 序 解微分 方程 的子程 序 。 程序 命 名为 “ ” 。 文 字框 图 程 序 日的范 围很大 ， 为 了提 高检索 效率 ， 将其划分 成几个 段 。 首先 判断日所 属 的 段 ， 然 后再检索 。 见 。 、 ， 并用 表示 表 中的 值 。 程序 日初值给 定 为 一 △日 ， 则求算从 日 开始 ， △日 ， 求解 主要 是 靠子 程 序 逐 步完成 的 。 程序说明 程 一 犷 程 序 中首先 定 义数组 、 、 、 、 、 以贮 存 输 人 的数据 ， 为大 于 数 据组 数的任 何整 数 。 一 。 ， 一 物像 比 ， 反映 了实 物尺 寸与 像 片 测量 值的关 系 。 送 入数据组 数 ， 然后 数据 长 度 数据单位采 用 以 循环 语 句 从 到 和州 语 句全 部输入 内存 ， 同时打 印各值以便 明 了输 入数据 是 否正确 。 送 入 自变量 的增量 小一 和 日的增量 △日一 。 日在功 以 内时选取 八巾二 “ 较合 适 ， 易达到误 差要求 ， 运算次数少 故效率 高 。 在 制表时主要要 保证表 的精 确度 ， 速 度 成为次要 因素 ， 取△小 。 。 日更大时 △小应适 当减小 ， 这 是 因 为八小制表 △小 求算 ， 所 以日一 线 与日一 ‘ 线 △甲求算下 的日一 线 不 重合 ， 其 位置 如 图 。 小制表与 △小求 算不 能相差太 远 ， 否则 内插值对实际值呈 负偏差 ， 则 ‘ 对 的 农你寸误 差 越小

反而越远离真值。而在避免上面的情况时，在一定的M'柑对误差下，二者相差越远，B 越精确。 kal kbi begin (begin ka2 kb2 /to put1nho1gdat。 to put in initial and fingl B,AB,△点 to compare N(=h/￥）w1thH,thwn to decide the range of B kb 3=B1A8 in this range,Lk to find out H:M, end B:corresponding to MiMawhic 【oPut1 n the ta1tie】 N is in,then to calculate B conditionof the differential kb5 to seloct the prime B to solue the differeatial equatio0) ka6 toca1 culote b,0、V、p、c to caleulete h/x,to record B,h/x ir the date ka? kb7 have been taken up end 了f月ha5 reached its final value kb8 end end ChertI Calculetion progres Chert 2 Tabulation progras. 下面以循环语句逐组进行表面张力的求 算，先求出每组的N值(N=h(i)/×(i),i 一循环变量即组的序号)，然后以N值逐段与 B-M∠ M的各段的边值比较，判别出N所处的范围 B-M' 段，并给C赋值，使之等于N所在段的段首B值 中Lab吵 的序号。程序中分段方式为：B=0~2, △中cBl, 2.18,8.120,20.1~40,40.1100 (分段方式可根据实际情况而定)。采用循环语 h/x 句，以C为界限，以READ语句读入B、M作 图4制表和求算的B~h/x曲线比较 为卵一B1、M,一M1,其目的是为了将段前 Fig.4 To compare the 8h/x curve 的数据空读过去。再以READ语句读入B、M of tabulating with calculating 作为卵2一B2、M2一M2。若N>M2,则将B2、M2送人B1、M1而重新读人B2、M2, 直到N≤M2,则N处于M1、M2之间了。此时，M1、M2也是最近邻的B分界点对应的 M值。内插求得B初值一B,B=B1+dB·(N-M1)/(M2-M1)。 然后进行B的优化。以k表示B优化的次数，先置之为零。赋初值U(即x1-:)=0, V(即y1)=0，本=冬-a时即45°时的值A=45/(dQ/P1180),P1-,中 =90时的j值B=90/(dQ/PI180)。转入微分方程的初始条件，Q(即中)=dQ(即 80

反而越 远离 真值 。 而 在避免上面的情况时 ， 在一定 的 ‘ 相对误 差下 ， 二者相差越远 ， 日 越 精 确 。 ” 二 钊 口 乙 日 名 ， 认 一 。 协 日 ” ，” ， 生 卜 。 ， 。 日 吐工。 、 、 、 、 。 ‘ “ ‘ 几 币二 ’ 己 七一 日 ， 口二 少 已 口 下面以 循环语 句逐组进行表面张 力 的 求 算 。 先求 出每组 的 值 火 ， ‘ 一循环变量 即组 的序号 ， 然 后以 值逐 段与 的各 段的边 值 比 较 ， 判 别 出 所 处 的 范 围 段 ， 并给 赋值 ， 使之等于 所在 段 的 段首日值 的 序 号 。 程序 中分 段方 式 为 日 ， 汤 一 ， 一 ， ， 一 分 段方式可 根据实际情况 而定 。 采 用 循环语 二 句 ， 以 为界 限 ， 以 语 句读 入日 、 作 图 制表和 求算的。 一 曲线比 较 为 日一 、 ，一 ， 其 目 的是 为 了将 段 前 “ ‘ · ‘ 。 一 一 、 · 月一 。 · 。 的数据 空读过去 。 再 以 语 句读人日 、 ，·“ · · 。 ‘ · 。 比 二 。 · · 。 作为日 一 、 一 。 若 ， 则将 、 送 人 、 而 重新读 人 、 ， 直 到 《 ， 则 处 于 、 之 间 了 。 此时 ， 、 也 是 最近 邻 的日分界点对 应 的 值 。 内插求 得日初 值一 ， 二 十 · 一 一 。 然 后进行日的优化 。 以 表示 优 化 的次 数 ， 先 置 之 为零 。 赋初 值 即 二 ， 即 。时的 值 ‘ 于 一 时 即‘ 。 时 的，倩 ‘ ，· 。 ， ‘一 二 ， 小 。 转 入微分方程 的初 始 条 件 ， 即中 即