基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析

工程科学学报，第38卷，第6期：841846,2016年6月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.6:841-846,June 2016 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2016.06.014:http://journals.ustb.edu.cn 基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 侯 越”，葛智)四，周健”，孙凤艳”，孙文娟》 1)北京科技大学国家材料服役安全科学中心，北京1000832)山东大学土建与水利学院，济南250061 3)弗吉尼亚理工大学工学院土木与环境工程系，黑堡24061，美国 ☒通信作者，E-mail:justdance(@outlook.com 摘要提出一种新的基于相场法的砂浆断裂力学分析方法，对裂纹相互作用导致的砂浆试件失效行为进行模拟分析.采 用非保守Allen-Cahn方程作为控制方程，借助COMSOL有限元分析软件，将线弹性力场和相场整合为统一的有限元模型，对 砂浆中裂纹发展和相互作用进行模拟分析.通过砂浆三点弯曲试验和直拉试验，测试砂浆裂纹扩展过程.模拟结果与试验结 果的对比分析表明，砂浆试件裂纹相互作用临界荷载的模拟计算结果与试验结果非常吻合·研究结果表明，Ⅱ型试件断裂破 坏会产生更长的裂缝路径 关键词砂浆：断裂力学：失效分析：相场法 分类号TU528:U414 Analysis on the fracture failure in crack interaction of mortar using the phase-field method HOU Yue,GE Zhi,ZHOU Jian,SUN Feng-yan,SUN Wen-juan 1)National Center for Materials Service Safety,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Civil and Environmental Engineering,Shandong University,Jinan 250061,China 3)Department of Civil and Environmental Engineering,College of Engineering,Virginia Polytechnic Institute and State University,Blacksburg 24061, USA Corresponding author,E-mail:justdance@outlook.com ABSTRACT This article introduces a new mortar fracture analysis method based on the phase-field method,which is used to analyze the fracture failure in crack interaction of mortar.The non-conserved Allen-Cahn equation was adopted as the system governing equa- tion to study the crack development and interaction in mortar.Both the linear elasticity and phase-field equations were solved in a uni- fied finite element frame work,which was implemented in the commercial software COMSOL.Direct tension test and three-point ben- ding test were performed for validation.It is discovered that the critical load of crack interaction by the phase-field method agrees very well with the experimental results.Research results show that Mode II specimen tends to have a longer crack path. KEY WORDS mortar:fracture mechanics:failure analysis;phase-field method 砂浆是混凝土的重要组成成分，砂浆断裂特性对究者通常基于非延展性统计模型回、有限元模型切、内 混凝土的使用寿命有着非常重要的影响。研究者对砂聚力模型圆等方法开展理论研究.研究过程中存在两 浆断裂特性进行大量的试验研究，如砂浆的断裂韧 方面问题：现在的研究主要着眼于单一断裂模式，对于 性四、砂浆的裂纹延展四、水泥砂浆的微裂纹产生及 裂纹间相互作用的研究非常少，事实上后者更加合理 发展日和裂纹偏转日.在砂浆断裂机理研究方面，研 并具有实际意义：现在的大多数砂浆断裂分析基于 收稿日期：201603-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51308042,41372320)：山东省自然科学基金资助项目(ZR2015EQ009)

工程科学学报，第 38 卷，第 6 期: 841--846，2016 年 6 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 6: 841--846，June 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 06． 014; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 侯 越1) ，葛 智2) ，周 健2) ，孙凤艳1) ，孙文娟3) 1) 北京科技大学国家材料服役安全科学中心，北京 100083 2) 山东大学土建与水利学院，济南 250061 3) 弗吉尼亚理工大学工学院土木与环境工程系，黑堡 24061，美国  通信作者，E-mail: justdance@ outlook． com 摘 要 提出一种新的基于相场法的砂浆断裂力学分析方法，对裂纹相互作用导致的砂浆试件失效行为进行模拟分析． 采 用非保守 Allen--Cahn 方程作为控制方程，借助 COMSOL 有限元分析软件，将线弹性力场和相场整合为统一的有限元模型，对 砂浆中裂纹发展和相互作用进行模拟分析． 通过砂浆三点弯曲试验和直拉试验，测试砂浆裂纹扩展过程． 模拟结果与试验结 果的对比分析表明，砂浆试件裂纹相互作用临界荷载的模拟计算结果与试验结果非常吻合． 研究结果表明，Ⅱ型试件断裂破 坏会产生更长的裂缝路径． 关键词 砂浆; 断裂力学; 失效分析; 相场法 分类号 TU528; U414 Analysis on the fracture failure in crack interaction of mortar using the phase-field method HOU Yue1) ，GE Zhi2)  ，ZHOU Jian2) ，SUN Feng-yan1) ，SUN Wen-juan3) 1) National Center for Materials Service Safety，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Civil and Environmental Engineering，Shandong University，Jinan 250061，China 3) Department of Civil and Environmental Engineering，College of Engineering，Virginia Polytechnic Institute and State University，Blacksburg 24061， USA  Corresponding author，E-mail: justdance@ outlook． com ABSTＲACT This article introduces a new mortar fracture analysis method based on the phase-field method，which is used to analyze the fracture failure in crack interaction of mortar． The non-conserved Allen--Cahn equation was adopted as the system governing equa￾tion to study the crack development and interaction in mortar． Both the linear elasticity and phase-field equations were solved in a uni￾fied finite element frame work，which was implemented in the commercial software COMSOL． Direct tension test and three-point ben￾ding test were performed for validation． It is discovered that the critical load of crack interaction by the phase-field method agrees very well with the experimental results． Ｒesearch results show that Mode Ⅱ specimen tends to have a longer crack path． KEY WOＲDS mortar; fracture mechanics; failure analysis; phase-field method 收稿日期: 2016--03--15 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51308042，41372320) ; 山东省自然科学基金资助项目( ZＲ2015EQ009) 砂浆是混凝土的重要组成成分，砂浆断裂特性对 混凝土的使用寿命有着非常重要的影响． 研究者对砂 浆断裂特性进行大量的试验研究，如砂浆的断裂韧 性［1--2］、砂浆的裂纹延展［3］、水泥砂浆的微裂纹产生及 发展［4］和裂纹偏转［5］． 在砂浆断裂机理研究方面，研 究者通常基于非延展性统计模型［6］、有限元模型［7］、内 聚力模型［8］等方法开展理论研究． 研究过程中存在两 方面问题: 现在的研究主要着眼于单一断裂模式，对于 裂纹间相互作用的研究非常少，事实上后者更加合理 并具有实际意义; 现在的大多数砂浆断裂分析基于

·842… 工程科学学报，第38卷，第6期 Gi山的经典断裂力学网，但是这一理论存在研究多 通过与相场变量耦合，可以获得如式(5)所示的 重断裂标准@、复杂拓扑相变四、和奇点☒等局限 弹性能量密度∫·方程(5)采用爱因斯坦求和约定. 性，计算过程非常繁复. (5) 近年来，一种基于能量的相场法被用于进行材料 E()[,”,(8)2+eaea小 fa=2(1+[1-2v 性能分析.该方法由Cahn和Hilliard国首先提出用于 E()=E。+(E-E)h(). (6) 研究相场转换，目前已经被验证为可用于材料性能分 式中，E和E。分别为完整材料和裂纹部分的弹性模 析的一种高效数学工具，如-Si合金枝晶生长、晶 量，v为泊松比，i,k=1,2,3. 体预熔及熔化和微观组织演化.相场法完全基 式(7)是插值函数，满足 h(-1)=0, 于能量最小化原理研究材料性能，可以将裂纹发展转 化为能量流的流动，因此将其应用于砂浆断裂力学分 h(1)=1, 析，可以简化计算过程，从而有效克服经典断裂力学的 h(-1)=h(1)=0, 局限性. h(0)=-0+0+2 (7) 本文基于相场法，对裂纹相互作用导致的砂浆断 考虑到裂纹相的弹性模量为零，为了避免在计算 裂失效进行模拟分析.数值模拟中以Ginzburg-Landau 中产生数值错误，在整个计算域统一假定E。= 理论为基础闭，采用非保守的Alen-Cahn方程作为相 0.000001E,v=0.22. 场控制式阅.通过给相场变量赋予不同数值，来表征 通过式(8)计算应变ε为 砂浆结构中断裂相和完整相，并用储存在断裂相和完 (8) 整相之间的表面自由能表征砂浆的抗裂性能.采用 e=2(u+(. COMSOL有限元软件对相场式进行统一求解，从而获 在拉格朗日系统里，表示位移场 得砂浆裂纹延展过程.通过砂浆三点弯曲试验和直拉 大量试验研究表明，砂浆在快速拉伸时表现出线 试验，测试砂浆裂纹扩展过程.将模拟结果与试验结 弹性和各向同性，根据Hooke定律，采用式(9)计算弹 果进行对比，发现相场法能够很好地模拟砂浆裂纹相 性应力为 互作用导致试件失效的整个过程. (9) 1理论模型 式中，i,k=1,2.对于i=k,δ4=1：对于i≠k,δ=0. 在相场模型中，需要对整个系统的总自由能F进 通过式(10)所示的平衡条件计算应力 行计算，因为它是衡量在一个特定的热力学过程中，系 V.o=0 (10) 统可对外输出的有用能量.总自由能通常基于 采用式(1l)所示的非保守Allen-Cahn方程模拟 Ginzburg--Landau理论加以计算，表征为相场变量的函 裂纹扩展. 数.进行砂浆裂纹分析时，相场法使用一个统一的相 映=-M, (11) O 场变量中描述砂浆的微观结构.对于断裂相，设置为 中=-1：对于完整相，设置为中=1.整个系统的总自 少s证=-7a7本+会（φ-）+ (12) ad 由能可由式(1)进行计算网： 式中，M为砂浆裂纹扩展速率，山为系统化学势. F=nn+人e+fa)dw, (1) 采用有限元软件COMSOL对式(11)进行计算，需 要获得该式的弱解形式，如下式： f=2A1V13, (2) an= 「 人-安1-o0+o2 (3) A=3 lvavz.( (4) (13) 式中∫为梯度能量密度：为局部自由能密度，局部 式中，6是用于有限元计算的试函数. 自由能函数在两相中=-1和中=1存在最小值：f。为 由外部荷载产生的弹性能量密度：V为积分体；入为混 2断裂力学相场模拟 合能密度，5为界面厚度：y为表面能，用于定量表 在相场模型中，J积分用来表征弹性能释放的速 征裂纹扩展过程中产生两个新的断裂面所需要的 率.通过计算裂纹相互作用过程中的J积分变化，对 能量. 断裂过程中的能量释放及裂纹扩展方向进行研究

工程科学学报，第 38 卷，第 6 期 Griffith 的经典断裂力学［9］，但是这一理论存在研究多 重断裂标准［10］、复杂拓扑相变［11］、和奇点［12］ 等局限 性，计算过程非常繁复． 近年来，一种基于能量的相场法被用于进行材料 性能分析． 该方法由 Cahn 和 Hilliard［13］首先提出用于 研究相场转换，目前已经被验证为可用于材料性能分 析的一种高效数学工具，如 Al--Si 合金枝晶生长［14］、晶 体预熔及熔化［15］和微观组织演化［16］． 相场法完全基 于能量最小化原理研究材料性能，可以将裂纹发展转 化为能量流的流动，因此将其应用于砂浆断裂力学分 析，可以简化计算过程，从而有效克服经典断裂力学的 局限性． 本文基于相场法，对裂纹相互作用导致的砂浆断 裂失效进行模拟分析． 数值模拟中以 Ginzburg--Landau 理论为基础［17］，采用非保守的 Allen--Cahn 方程作为相 场控制式［18］． 通过给相场变量赋予不同数值，来表征 砂浆结构中断裂相和完整相，并用储存在断裂相和完 整相之间的表面自由能表征砂浆的抗裂性能． 采用 COMSOL 有限元软件对相场式进行统一求解，从而获 得砂浆裂纹延展过程． 通过砂浆三点弯曲试验和直拉 试验，测试砂浆裂纹扩展过程． 将模拟结果与试验结 果进行对比，发现相场法能够很好地模拟砂浆裂纹相 互作用导致试件失效的整个过程． 1 理论模型 在相场模型中，需要对整个系统的总自由能 F 进 行计算，因为它是衡量在一个特定的热力学过程中，系 统可对外输出的有用能量． 总 自 由 能 通 常 基 于 Ginzburg--Landau 理论加以计算，表征为相场变量的函 数． 进行砂浆裂纹分析时，相场法使用一个统一的相 场变量  描述砂浆的微观结构． 对于断裂相，设置为  = － 1; 对于完整相，设置为  = 1． 整个系统的总自 由能可由式( 1) 进行计算［19］: F = ∫Ω ( fgr + floc + fel ) dV， ( 1) fgr = 1 2 λ | Δ | 2 ， ( 2) floc = λ 4ζ 2 ( 1 － ) 2 ( 1 + ) 2 ， ( 3) λ = 3γζ 槡8 ． ( 4) 式中: fgr为梯度能量密度; floc为局部自由能密度，局部 自由能函数在两相  = － 1 和  = 1 存在最小值; fel为 由外部荷载产生的弹性能量密度; V 为积分体; λ 为混 合能密度，ζ 为界面厚度［17］; γ 为表面能，用于定量表 征裂纹扩展过程中产生两个新的断裂面所需要的 能量． 通过与相场变量耦合，可以获得如式( 5) 所示的 弹性能量密度 fel ． 方程( 5) 采用爱因斯坦求和约定． fel = E( ) 2( 1 + ν [ ) ν 1 － 2ν ( εii ) 2 + εikεik ] ， ( 5) E( ) = E0 + ( E － E0 ) h( ) ． ( 6) 式中，E 和 E0 分别为完整材料和裂纹部分的弹性模 量，ν 为泊松比，i，k = 1，2，3． 式( 7) 是插值函数，满足 h( － 1) = 0， h( 1) = 1， h'( － 1) = h'( 1) = 0， h( ) = － 1 4 3 + 3 4  + 1 2 ． ( 7) 考虑到裂纹相的弹性模量为零，为了避免在计算 中产 生 数 值 错 误，在整个计算域统一假定 E0 = 0. 000001E，ν = 0. 22． 通过式( 8) 计算应变 ε 为 ε = 1 2 ( Δ u + ( Δ u) T ) ． ( 8) 在拉格朗日系统里，u 表示位移场． 大量试验研究表明，砂浆在快速拉伸时表现出线 弹性和各向同性，根据 Hooke 定律，采用式( 9) 计算弹 性应力为 σik = E( ) 1 + ( ν εik + 1 1 － 2ν δikεii ) ． ( 9) 式中，i，k = 1，2． 对于 i = k，δik = 1; 对于 i≠k，δik = 0． 通过式( 10) 所示的平衡条件计算应力 Δ ·σ = 0 ( 10) 采用式( 11) 所示的非保守 Allen--Cahn 方程模拟 裂纹扩展．  t = － Mψ， ( 11) ψ = F  = － Δ ·λ Δ  + λ ε2 ( 2 － 1)  + fel ． ( 12) 式中，M 为砂浆裂纹扩展速率，ψ 为系统化学势． 采用有限元软件 COMSOL 对式( 11) 进行计算，需 要获得该式的弱解形式，如下式: ∫Ω  t  槇dΩ = － ∫Ω λχ [ ε2 Δ · Δ 槇 + ( 2 － 1)  槇 + ε2 λ fel  槇 ] dΩ． ( 13) 式中， 槇 是用于有限元计算的试函数． 2 断裂力学相场模拟 在相场模型中，J 积分用来表征弹性能释放的速 率． 通过计算裂纹相互作用过程中的 J 积分变化，对 断裂过程中的能量释放及裂纹扩展方向进行研究． · 248 ·

侯越等：基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 ·843 2.1J积分 缝扩展情况.其中表面能y=219J小·m2,弹性模量E= 假定存在如图1所示的一个宏观裂纹厂和一个 26.4GPa.由图3所示，裂缝传播和相互作用是沿着水 任意的非常接近的裂纹「2：根据J积分守恒定律，可 平方向，并且裂缝相和固体相之间存在有一个扩散界 得到 面.同时，长裂缝扩展速率明显快于短裂缝，这是由于 -J(T=）+J(HG)+J(T)+J(FE)+J(T2)+ 长裂缝J积分能量释放速率较大. J(DC)+J(BA)=0. (14) 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 0.020.040.060.080.10 x/m 图1裂纹相互作用的积分路径图 图2裂纹相互作用的有限元网格划分图 Fig.I Integration contour in crack interaction Fig.2 Finite element mesh of the crack interaction model 注意到积分路径FE和DC相互抵消，考虑到断裂 3试验结果及模拟结果对比分析 面表面牵引力为零，可认为J(HG)=J(B4)=0,基于 式(14)可以进一步推导出式(15)为 为了对相场法的模拟结果进行可靠性验证，在山 J(T.)=J(T)+J(T2) (15) 东大学压力实验室内进行了两种砂浆断裂试验，包括 式中，J(T)是远端应力场的J积分，J(厂，)是宏观裂 三点弯曲试验和直接拉伸试验，如图4所示.砂浆试 纹厂，尖端的J积分，J(T2)是微观裂纹厂，尖端的J 件根据ASTM C348(ASTM,2014)的规定浇筑和养 积分.对于局部坐标系x‘y, 护.添加了巴斯夫（中国）生产的聚羧酸高效减水剂以 J(T2）=Jcosa-J2sina. (16) 提高砂浆工作性.所有砂浆试件的水泥/砂质量比统 式中， 一采用1：2.水灰质量比选取0.4.表1所示为制作砂 浆所用波特兰水泥的性能.试验采用非常细的细砂作 了=乐nd山-w d, (17) 为骨料，图5给出细集料的级配曲线.因此可以假定 方=乐n（-fad山-T u d), (18) 制作的砂浆试件为各向同性的均质体.通过无缺口砂 浆拉伸试验获得砂浆的弹性模量E=26.4GPa和抗拉 是在局部坐标系xy中的牵引力投影 强度o。=9.35MPa.如图4(a)所示，在三点弯曲试验 2.2断裂力学二维模拟 中，砂浆试件采用的尺寸是40mm×40mm×160mm, 对于三维脆性断裂模拟计算，一般采用二维简化， 其中试验段长度为l30mm.采用五种不同的初始裂缝 即仅考虑平面应力或者平面应变以提升计算效率.在 长度，分别为10、12.5、15、17.5和20mm.砂浆试件采 C0MS0L中建立如图2所示的二维有限元模型，模拟 用20mm和40mm两种不同厚度.对于每种尺寸的试 砂浆在拉伸荷载作用下裂缝的相互作用.计算区域是 件，各做三组试验并取平均值以减少试验误差.在三 一个边长L=0.1m的正方形，界面厚度为(=0.0001 点弯曲试验中，试验力F逐渐增加，最大值记为P.根 m,两个初始裂缝长度分别为0.05m和0.025m,初始 据标准断裂试验规范ASTM E399-12m,可通过式 裂纹宽度甲=0.005m,网格尺寸设为△=六，在初 (19)计算断裂韧度K为 步网格划分中总共使用31768个三角形单元，在上边 ) (19) 界和下边界施加拉荷载o(t)=a,其中k=2.5×10 Nm2s.图3分别展示0.0.08、0.55和0.60s时裂 其中几何系数（品）用下式计算：

侯 越等: 基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 2. 1 J 积分 假定存在如图 1 所示的一个宏观裂纹 Γ1 和一个 任意的非常接近的裂纹 Γ2 ． 根据 J 积分守恒定律，可 得到 － J( Γ∞ ) + J( HG) + J( Γ1 ) + J( FE) + J( Γ2 ) + J( DC) + J( BA) = 0． ( 14) 图 1 裂纹相互作用的积分路径图 Fig． 1 Integration contour in crack interaction 注意到积分路径 FE 和 DC 相互抵消，考虑到断裂 面表面牵引力为零，可认为 J( HG) = J( BA) = 0，基于 式( 14) 可以进一步推导出式( 15) 为 J( Γ∞ ) = J( Γ1 ) + J( Γ2 ) ． ( 15) 式中，J( Γ∞ ) 是远端应力场的 J 积分，J( Γ1 ) 是宏观裂 纹 Γ1 尖端的 J 积分，J( Γ2 ) 是微观裂纹 Γ2 尖端的 J 积分． 对于局部坐标系 x* y* ， J( Γ2 ) = J* 1 cosα － J* 2 sinα． ( 16) 式中， J* 1 = ∮Γ2 ( fel dy* － T* i u* ( i，1) dx) ， ( 17) J* 2 = ∮Γ2 ( － fel dy* － T* i u* ( i，2) dx) ， ( 18) T* i 是在局部坐标系 x* y* 中的牵引力投影． 2. 2 断裂力学二维模拟 对于三维脆性断裂模拟计算，一般采用二维简化， 即仅考虑平面应力或者平面应变以提升计算效率． 在 COMSOL 中建立如图 2 所示的二维有限元模型，模拟 砂浆在拉伸荷载作用下裂缝的相互作用． 计算区域是 一个边长 L = 0. 1 m 的正方形，界面厚度为 ζ = 0. 0001 m，两个初始裂缝长度分别为 0. 05 m 和 0. 025 m，初始 裂纹宽度 W = 0. 005 m，网格尺寸设为 Δx = 1 20W，在初 步网格划分中总共使用 31768 个三角形单元，在上边 界和下边界施加拉荷载 σ( t) = kt，其中 k = 2. 5 × 105 N·m － 2·s － 1 ． 图 3 分别展示 0、0. 08、0. 55 和 0. 60 s 时裂 缝扩展情况． 其中表面能 γ = 219 J·m － 2，弹性模量 E = 26. 4 GPa． 由图 3 所示，裂缝传播和相互作用是沿着水 平方向，并且裂缝相和固体相之间存在有一个扩散界 面． 同时，长裂缝扩展速率明显快于短裂缝，这是由于 长裂缝 J 积分能量释放速率较大． 图 2 裂纹相互作用的有限元网格划分图 Fig． 2 Finite element mesh of the crack interaction model 3 试验结果及模拟结果对比分析 为了对相场法的模拟结果进行可靠性验证，在山 东大学压力实验室内进行了两种砂浆断裂试验，包括 三点弯曲试验和直接拉伸试验，如图 4 所示． 砂浆试 件根据 ASTM C348 ( ASTM，2014) 的规定浇筑和养 护． 添加了巴斯夫( 中国) 生产的聚羧酸高效减水剂以 提高砂浆工作性． 所有砂浆试件的水泥/砂质量比统 一采用 1∶ 2． 水灰质量比选取 0. 4． 表 1 所示为制作砂 浆所用波特兰水泥的性能． 试验采用非常细的细砂作 为骨料，图 5 给出细集料的级配曲线． 因此可以假定 制作的砂浆试件为各向同性的均质体． 通过无缺口砂 浆拉伸试验获得砂浆的弹性模量 E = 26. 4 GPa 和抗拉 强度 σ0 = 9. 35 MPa． 如图 4( a) 所示，在三点弯曲试验 中，砂浆试件采用的尺寸是 40 mm × 40 mm × 160 mm， 其中试验段长度为 130 mm． 采用五种不同的初始裂缝 长度，分别为 10、12. 5、15、17. 5 和 20 mm． 砂浆试件采 用 20 mm 和 40 mm 两种不同厚度． 对于每种尺寸的试 件，各做三组试验并取平均值以减少试验误差． 在三 点弯曲试验中，试验力 F 逐渐增加，最大值记为 P． 根 据标准断裂试验规范 ASTM E399--12［20］，可通 过 式 ( 19) 计算断裂韧度 KC 为 KC = ( f a W ) PS BW3 /2 ． ( 19) 其中几何系数 ( f a W ) 用下式计算: · 348 ·

·844 工程科学学报，第38卷，第6期 0.10(a) 1 0.10- 1中 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0 0.05 0 0.04 0.03 -0.2 0.04 -02 0.03 0.02 -04 0.02 0.01 -0.6 0.8 0.01 0 -0.8 -0.010.010.030.050.070.090.11 -0.010.010.030.050.070.090.11 x/m m 0.10(c) 1.0 0.10 d 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.07 0.06 0.06 0.05 0.04 0 0.05 0 -0.2 0.04 0.03 0.2 0.03 0.02 -0.4 -0.4 0.01 -0.6 0.02 0.01 -0.6 -0.8 o -0.8 -0.010.010.030.050.070.090.11 -0.010.010.030.050.070.090.11 x/m x/m 图3裂纹相互作用过程.(a)0s:(b)0.08s:(c)0.55s:(d)0.60s Fig.3 Crack interaction process at different time instants:(a)0s:(b)0.08s:(c)0.55s:(d)0.60s (b) 图4砂浆断裂试验.(a)三点弯曲试验：(b)直接拉伸试验 Fig.4 Mortar cracking tests:(a)three-point bending test:(b)direct tension test () 采用相场法对三点弯曲试验中砂浆试件临界破坏 荷载进行模拟并与记录的临界破坏力P进行对比.在 3(a/m[L9-(a/m1-a/m(215-3e+27a/m 模拟中，考虑临界荷载为瞬时，即裂纹尖端的中达到 -1时试件发生破坏.对比结果如表2所示.对比模 21+2a/m(1-a/m3n 拟和试验数据可以看到相场法在砂浆三点弯曲断裂试 (20) 验中的模拟具有很高的精度. 在相场里，表面能Y由下式计算： 在直接拉伸试验中，设计两种不同裂纹形态的砂 K(1-2) y= 2E (21) 浆试件：I型试件，在中间横截面上开两条在同一直线

工程科学学报，第 38 卷，第 6 期 图 3 裂纹相互作用过程． ( a) 0 s; ( b) 0. 08 s; ( c) 0. 55 s; ( d) 0. 60 s Fig． 3 Crack interaction process at different time instants: ( a) 0 s; ( b) 0. 08 s; ( c) 0. 55 s; ( d) 0. 60 s 图 4 砂浆断裂试验． ( a) 三点弯曲试验; ( b) 直接拉伸试验 Fig． 4 Mortar cracking tests: ( a) three-point bending test; ( b) direct tension test (f a ) W = 3 ( a/W) 1/ [ 2 1. 99 － ( a/W) ( 1 － a/W ( ) 2. 15 －3. 93a W + 2. 7a2 /W ) ] 2 2( 1 + 2a/W) ( 1 － a/W) 3/2 ． ( 20) 在相场里，表面能 γ 由下式计算: γ = K2 C ( 1 － ν 2 ) 2E ． ( 21) 采用相场法对三点弯曲试验中砂浆试件临界破坏 荷载进行模拟并与记录的临界破坏力 P 进行对比． 在 模拟中，考虑临界荷载为瞬时，即裂纹尖端的  达到 － 1 时试件发生破坏． 对比结果如表 2 所示． 对比模 拟和试验数据可以看到相场法在砂浆三点弯曲断裂试 验中的模拟具有很高的精度． 在直接拉伸试验中，设计两种不同裂纹形态的砂 浆试件: Ⅰ型试件，在中间横截面上开两条在同一直线 · 448 ·

侯越等：基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 ·845· 表1制作砂浆所用波特兰水泥的性能 表2三点弯曲试验和相场法模拟结果的对比 Table 1 Properties of Portland cement used for mortar specimen Table 2 Comparison between three-point bending test and PFM simula- 密度/比表面积/ 标准稠 安定 凝结时间/min tion of mortar specimens (g'cm-3)(m2.kg-1) 度/% 性/mm 初凝终凝 试样厚度/ 初始裂纹 破坏荷载，PN 3.14 350 25.0 0.5 172 222 mm 长度/mm 试验 相场法模拟 40 10.0 1373.8 1398.0 100r 名 12.5 1127.2 1156.2 90 40 15.0 996.8 1002.3 0 40 17.5 766.0 785.1 60 40 20.0 628.5 654.7 40 20 10.0 632.8 636.9 20 20 12.5 530.5 541.3 10 20 15.0 463.5 471.7 0.16 0.5 1.6 2 20 17.5 386.1 366.4 粒径mm 20 20.0 298.5 287.3 图5集料级配曲线 Fig.5 Grain size distribution 离为10mm,初始裂纹长度均为10mm,如图7所示 上的初始裂纹，其长度均为5mm,如图6所示：Ⅱ型试 试件厚度均为40mm.对于两种不同类型的砂浆试件， 件，开两条不在同一直线上的初始裂纹，其错开水平距 各做五组试验取平均值以减少试验误差 回 图6I型试件.(a)断裂前：(b)断裂后 Fig.6 Mode I specimen:(a)before failure:(b)after failure (a) (b) 图7Ⅱ型试件.(a)断裂前：(b)断裂后 Fig.7 Mode II specimen:(a)before failure:(b)after failure 图8展示了直接拉伸试验中I型和Ⅱ型砂浆试件 始裂缝笔直相对，Ⅱ型试件中两初始裂缝存在初始角 荷载一位移关系的试验曲线和相场法模拟结果.可以 度，Ⅱ型试件断裂破坏会产生更长的裂缝路径. 看到，无论是I型还是Ⅱ型试验，试验结果和相场数值 砂浆试件荷载和位移之间几乎呈线性关系，这意 模拟结果都具有高度一致性，说明用相场模型描述砂 味着砂浆断裂行为满足式(9)所需的脆性假设.荷载 浆试件在纯拉伸作用下裂纹相互作用行为具有很高的 达到峰值以后，下降得很快，这就符合相场模拟的临界 精度 荷载是瞬时的这一假定.基于下式，进一步计算开裂 进一步观察到I型试件和Ⅱ型试件的荷载一位移 过程区尺寸r。 曲线均几乎为线性.这是由于在试验温度（室温）下， (22) 砂浆试件表现为线弹性，试件在外部荷载下发生线弹 性脆性断裂破坏.比较图8中I型和Ⅱ型试件的荷 计算得r,=0.000689m.相比于砂浆试件尺寸，开裂过 载一位移关系，可以看到对于相同的荷载，Ⅱ型试件比 程区非常小.这说明计算得到的开裂过程区尺寸"。不 I型试件有着更大的位移.这是由于【型试件中两初 会影响砂浆在直拉试验中的线弹性性能

侯 越等: 基于相场法的砂浆裂纹相互作用失效分析 表 1 制作砂浆所用波特兰水泥的性能 Table 1 Properties of Portland cement used for mortar specimen 密度/ ( g·cm － 3 ) 比表面积/ ( m2 ·kg － 1 ) 标准稠 度/% 安定 性/mm 凝结时间/min 初凝 终凝 3. 14 350 25. 0 0. 5 172 222 图 5 集料级配曲线 Fig． 5 Grain size distribution 上的初始裂纹，其长度均为 5 mm，如图 6 所示; Ⅱ型试 件，开两条不在同一直线上的初始裂纹，其错开水平距 表 2 三点弯曲试验和相场法模拟结果的对比 Table 2 Comparison between three-point bending test and PFM simula￾tion of mortar specimens 试样厚度/ mm 初始裂纹 长度/mm 破坏荷载，P /N 试验 相场法模拟 40 10. 0 1373. 8 1398. 0 40 12. 5 1127. 2 1156. 2 40 15. 0 996. 8 1002. 3 40 17. 5 766. 0 785. 1 40 20. 0 628. 5 654. 7 20 10. 0 632. 8 636. 9 20 12. 5 530. 5 541. 3 20 15. 0 463. 5 471. 7 20 17. 5 386. 1 366. 4 20 20. 0 298. 5 287. 3 离为 10 mm，初始裂纹长度均为 10 mm，如图 7 所示． 试件厚度均为 40 mm． 对于两种不同类型的砂浆试件， 各做五组试验取平均值以减少试验误差． 图 6 Ⅰ型试件． ( a) 断裂前; ( b) 断裂后 Fig． 6 Mode Ⅰ specimen: ( a) before failure; ( b) after failure 图 7 Ⅱ型试件． ( a) 断裂前; ( b) 断裂后 Fig． 7 Mode Ⅱ specimen: ( a) before failure; ( b) after failure 图 8 展示了直接拉伸试验中Ⅰ型和Ⅱ型砂浆试件 荷载--位移关系的试验曲线和相场法模拟结果． 可以 看到，无论是Ⅰ型还是Ⅱ型试验，试验结果和相场数值 模拟结果都具有高度一致性，说明用相场模型描述砂 浆试件在纯拉伸作用下裂纹相互作用行为具有很高的 精度． 进一步观察到Ⅰ型试件和Ⅱ型试件的荷载--位移 曲线均几乎为线性． 这是由于在试验温度( 室温) 下， 砂浆试件表现为线弹性，试件在外部荷载下发生线弹 性脆性断裂破坏． 比较图 8 中Ⅰ型和Ⅱ型试件的荷 载--位移关系，可以看到对于相同的荷载，Ⅱ型试件比 Ⅰ型试件有着更大的位移． 这是由于Ⅰ型试件中两初 始裂缝笔直相对，Ⅱ型试件中两初始裂缝存在初始角 度，Ⅱ型试件断裂破坏会产生更长的裂缝路径． 砂浆试件荷载和位移之间几乎呈线性关系，这意 味着砂浆断裂行为满足式( 9) 所需的脆性假设． 荷载 达到峰值以后，下降得很快，这就符合相场模拟的临界 荷载是瞬时的这一假定． 基于下式，进一步计算开裂 过程区尺寸 rp : rp = 1 2 ( π KC σ ) 0 2 ． ( 22) 计算得 rp = 0. 000689 m． 相比于砂浆试件尺寸，开裂过 程区非常小． 这说明计算得到的开裂过程区尺寸 rp 不 会影响砂浆在直拉试验中的线弹性性能． · 548 ·