24 第二章理性曲视 那年就是伯諾里一族获得巴塞尔公民身分的三百周年。钓翰·伯諾里写过信告新 范里囊(Varignon)山說他巳立出虚位移原理的公式。虽然他研究过材料的彈性， 但他在这方面的貢献却不大。实际上在材料力学上有重大貢献的人还是約瀚· 伯諾里的儿子丹尼尔·伯諾里(Daniel Bernoulli),还有他的学生欧拉(I.uler)。 丹尼尔·伯若里(1700~1782)因其名著“流体动力学”(Hydrodynamica)而极 为出名，但他在彈性曲袭的理論上也是有貢献的。他會怒向欧拉建議，必須用变 量积分来推导彈性曲後的方程式，在他写給欧拉的一封信里写道：“因为沒有旁人 能比得上你这么精通等周法(isoperimetric method)(卸变量积分)，你一定能輕松 地解答下列問题：怎样求出∫的极小值。我們现在知道，这个积分代表了不 計常数項的一根曲杆的应变能。 欧拉根据这一建蔬果然得到成功，关于这点将在 下面再加討論（参看第8节）。 ·丹尼尔·伯諾里是第一个导出棱柱杆側向振动微分方程的人，他应用此式研 究了这种振动的特殊型式。这个方程的积分怒欧拉解出，以后再会新到（参看第8 节)，但丹尼尔·伯諾里却作出一系列的实 驗，他将所得結果写信給欧拉說：“这些都是 自由振动，我已求出各种不同的情况，井且对 于各节点的位置和音調进行过許多精确的实 驗，它們都和理論密切符合鬥。因此，丹尼 尔·伯苦里不仅是-一个数学家而且也是一个 实驗家。他的某些实驗替欧拉提供了許多新 的数学問題。 7.欧拉(1707~1783)51 里奥納德·欧拉出生于巴塞尔附近。他 的父亲是雷中(Riechen,瑞十地名一泽者 图24里奥柄德·欧拉 注)邻寸的牧师。1720年，欧拉进了巴塞尔 大学。这个大学自从約翰·伯諾里的耕課吸引了欧洲各地青年数学家之后，已成 E1]見范里孩￥：新力学”(Ncuvel1 e Mecanique),2卷，174直，1725，巴癸。 [2]在約翰·伯落想普“运动傳递理論”(Discours sur les loix de la Communication du Mouvement,. 1727,巴黎)的前面三章对彈性理論有洋知的时論。 [3]克伏斯(P.IH.Fuss)所著：“数理通趴”(Correspondance Mathématique et physique)卷2， 第26封信，1843，圣彼得堡。 [4)其上注，管2，第30封信。 二5]見负托·斯派司(Otto Spiess)著：“里奥钠德·欧拉”，来比锡。并参看联朵等特Condor9t)的图 阁，刊在欧拉給达倫美尼女王的信”(Lettres de【.Enler在ne Princesse D'Allemague),1842.巴黎
7.级拉 范 为当时数学研究的一个很重要的中心。这位年越洋生的数学天才不久就引人注 意，約瀚·伯諾里在正規新課以外，每周还替他上私髁。欧拉在十六罗上就得到了 碩士学位，而在二十岁以前就参加过法国科学院悬奖的属际竞賽，井且发表了他的 第一篇科学論文。 俄国科学院是1725年在圣彼得堡成立的。钓翰·伯诺里的两个儿子，尼拉 斯·伯鞯里(Nicholas Bernoulli)和丹尼尔·伯諾里(Daniel Bernoulli)都被聘 为这个新学院的会員。他們到俄国以后，替欧拉在那儿找到…个准会員的工作。 1727年夏天，欧拉也搬来圣彼得醒，由于脱离了任何其他职务，他就能将圣部精力 投入数学研究。1730年他成为骸院物理部的一个会員，矿在1733年，当丹尼尔·伯 骷里因其兄去世(1726年)离开圣彼得堡而返回巴塞尔之后，欧拉接替了他的职位 充任数学部主任。 4政拉在圣彼得堡俄国科学院工作期内写成了力学方面的名著山，他在該书里， 介铅了分析法来代替牛顛及其学生例所用的几何法。他說明怎样推导一个质点的 运动做分方程，以及怎祥将这些徽芬方程加以积办来求出物体的运动。这种方法 使問题求屏得到簡化，因此骸书在力学的往后发展上起了很大的作用。·拉格朗日 (Tagrange)在他所著：“力学分析”(M6 canique anslytique)(1788年出版)一书中 說过欧拉的著作是力学中将积分应用到运动物体这們学科上的第一篇論文。 大新在他的著作发表的同时，欧拉热心于彈性曲後的研究。而且，从欧拉与丹 尼尔·伯带里的通信中可以看到丹尼尔·伯諾里含鼓励欧拉去解决琿性杆横向报 动的問题，以及进行相关的微分方程的研宪。 1740年腓特烈二世(Frederick the Great)做了普魯主国王。对于科学和 哲学都很重视，希望普鲁士科学院能够拥有最优秀的科学家。那时，级拉被公认为 最出色的数家，于是新王聘他为柏林科学院的会員。因为那时俄国的政局不稳， 欧拉便接受.了这一聘杓，在1741年夏天搬到柏林。但他仍与糖国科学院保持联 系，并继镀在彼得堡移学院夺流(i0 MMORTAPE雕ARae五10pOt0BaH)四上.发 表新多研究报告。.在柏林，政拉继積作他的数学研究，而德的静文也径常在普魯士 和俄国科学院的年刊上发表出来。 1744年出版了他的“曲钱的变分法”(Methodus inveniendi lineas curvas.)。 t1)“力学或科学分析方法解我”(Mechanica sive motus8ci0 ntia analytico exposita)两卷第， 176,圣被得堡；其后由沃尔欣斯（灯.P.Woer)深成等文，牙别于1848及80年在格莱斯瓦德(Gei Ward)出版。 [)俄国科学院的研究报聋
26 第二章绿性曲殺 这是变芬学中的第一本书，书中也包括了彈性曲钱方面第一灰具有系就性的龄文。 这将留在后面再作討验。 欧拉在柏林期間写出了他的“微积分导論”(Introduction to Calcul)(1748 年)，“微芬学”(Differential Calculus)(两卷集，1755年)以及“积分学”(Integral Calculus))(三卷集)等书。“积分学”是在圣彼得堡出版的(1768~1770年)。以.h 这些书在数学界起过許多年的指导作用，可以轮，所有生活在十入世紀未叶和十九 世杞初期的一些著名的数学家全是欧拉的学生田。 自从毛渡求斯([aupert扣i)去世(1759年)之后，欧拉就主持該科学院，因此， 他担任了許多行政工作。在七年战争(176~1763年普俄战争—譯者注)的一段 困难时期内，他四处筹款来支持这个科学院。170年，柏林为俄軍使占，欧拉的住 宅遭到拾劫。但当俄軍司合塔特列本(T0re)将軍知道了这件事以后，立郎向 欧拉致款，井负黄赔偿他的損失。俄皇伊丽沙白(iz6bth)也另致送了比所賠 偿数字更大的一笔款子耠这位数学家。 1762年，边塞林二世(Catherine工)做了俄国皇帝。她也重魂研究和发展料 学，希望将俄国科学院加以改进。不久她和欧拉商量要他仍回圣彼得堡。迦塞林 二世校之排特烈二世更善于拉捕人才，因此在1766年当欧拉在柏林工作了二十五 年以后仍回到圣彼得堡。在皇宫里他受到热烈的接待，而且迦塞林“世还賜耠他 一所住宅。他再一卖不愁轻济困难了，因此叉全心全意进行科学研究。那时他已 年近六十，視力很差。他从1785年超，一只眼晴已经失明，而另一只父开始生翳， 后来他已接近于全瞎的地步了。但这井沒有阻碍他的积极性，在他晚年中每年所 写的输文反被以前更多。饮拉有一些助手給他完成胎文工作，他把新問题的全部 資料以及所用到的解法提示助手。有了这些脊料，助手們就能进行工作，再經过和 欧拉深人討韵之后，将尉治钻果写成静文，耠欧拉最后校正。四百多篇验文就这样 由这位老人在他的晚年(1766~1783年)中陆绩写出，他死了四十多年之后，俄国 科学院的年刊上还一直在刊裁他的盖交。· 4 8.欧拉在材料力学上的成就 作为一个数学家的欧拉，他对于彈性曲较的儿何形状最有兴趣。他毫无异曦地 接受了璀可普·伯諾里的理論：即一根彈性梁上任一点的曲车与該点处的弯矩成 正比。根据这个假定，他研究了一根細长的彈性杆在不同截荷情况下所得曲筏的 I]兼朵霉特(Condoree)在他的领割中找过：“月前所有成名的数学家都是他的学生；他的成就不是 完全由論女衫式及映出来的”(Tos1 es mathematicie泊hsc1èbres qal existent aujor2 rdhui8 ort sea 6leves:il nen est aucun qui ne se soit form.par la lecture de see ouvrages...)
8.卧拉在材料力学上的成就 分 形状。欧拉在这方面的主要果可从上述“曲钱的变分法”]一书中看到。他从变 分学的观点研绕这个問题，他已将这方面的主題列人骸书内。在介紹此法时，欧 拉覌察到“由于宇宙的构造是最完美的，……，字宙阳任何事物从来沒有不出现极 大和极小的一一些关系。因此貂对不用怀疑字宙閻所有的效应都能借助于极大与极 小法从最秘原因加以充分說明，正象由一些有效原因（现实原因）本身所得出的一 样…因此，摆在我們面前有两种研究自然界效应的方法：其一是根据有效原因， 即通常所称的直接法，另一是根据最終原因…人們应該特别努力于了解这两种 求解問題的門徑的共通性；这样，不独一种解答会被另一种解答給以有力的証实， 而且，更重要的是由于两种獬的秸果一致后，我們会得到最大的满足”。欧拉提出 一个悬鏈後的問題来解释这两种方 法。如果有一一条鍵挂在A及B两点上 (图25)，我們可用“直接法”得出平衡 曲餐。然后我們考察曲镘上某一微分 元素m处所作用的力，井写下这些 力的平衡方程。从这些方程中得出所 图25 求悬鍵接的微分方程。但为了同一目的，我們也可用“最秘原因法”(met山odof final oauses)考察重力的位能来解决这个問题。从所有那些几何学上可能表示的 許多曲纔中凡能給出位能为最小值的便是所求的一根曲镘，换句話說，不衡曲镜 也就是键的重心处于最低位脸的琳条曲越。这样，周题便到求积分。W的极 大值，其中曲钱长度$为已知，w为单位长度的重量。应用变分法則，郎得出与上 递样的微芬方程。 就一根彈性杆来說，欧拉指出建立璀性曲钱方程的“直接法”(direct method) 已經被雅可普·伯諾里用过了（参着第6节）。至于应用“最終原因法”，欧拉需要 一个表示应变能的式子，这里他宋用了丹尼尔·伯諾里向他所提出的建羲。他說： “研究自然最精湛、最显著、最聪明的丹尼尔·伯諾里，冒向我指出他能用一个簿 单的公式表出一根弯曲的瑾性板条里面所储有的全部的力，这个力他称之为位力 (potential force),这个表示式在强性曲疑中一定是个最小值”，他还說（根据伯諾 里的就法)：“如果这根板条是等薇面和富于罪性，而且能够拉直到原来位置时，曲 徒的特征将是这样的，卸在这种情见下，儿架式子将为一格对极小值”。吸拉立 [1]这本书的附录，包括有彈性曲慈的研究，或英浮本是由类尔得化則(V.A.O进ather),艾里斯 (C.&.E1is)布朗(D.M.Bown)深出的。見Is8,2)卷，1質，193，布叠治(Brge)重以本。并盎 容德率本，“东方的链典”1O8 twald':K1a9ixor)175直
28 第二章潭性曲规 用他的变分法，得出图23所示情况的彈性曲楼的雅可普·伯諾里做分方程为 Cy" =Px (a) (1+)交 由于欧拉井沒有将他的討韵局限于只考虑小撓度方面，在分母中的y2项是不能将 它略去不卧的，因此这个方程式是一个复杂的方程。欧拉用极数来积分，并指出如 果撓度f很小（参看图23），公式(a)将耠出 0=P(2-3f) 6f (b) 如果我销略去芬子中3于这一项，便可得出悬臂梁自由端撓度的一般公式，即 fP阳、 30 (c) 由于撓曲的关系，长度！总是校骸杆的原长略徽小些，基于这一事实，略去3f这一 项是可以容許的。 欧拉沒有尉脸到常数C的物理意义，此常数他称之为“絕对罪性”(absolute elasticity),仅說明它与材料的彈性有关，以及在矩形梁的情况下，它与梁寬成正比 井与梁高五的卒方成正比。我们看到欧拉的婚諛在于假定C与成正此，面不是 与3成正比。他建曦通过实驗来决定O值时必须宋用公式(b),这个建藏母为許 多实驗家所信奉”。 欧拉考察了图26W中所示的各种弯曲情况，根据力P的作用友向与截荷作 用点的切棱之固的夹角大小，将相应的强性曲钱分为几种类型。当此角极小时，就 能得出柱在軸向压力作用下压屈的重要情兄。欧拉指出（参看图26中的柱AB)在 这种情洗下很容易解出谭性曲钱方程，而且在发生压屈时的截荷也可由下述公式 求得： P=On2 47 (d) 他配“因此，除排截荷P大于C知 4口，絕对用不着担心弯曲发生；反之，如果P的重 盘大于此值，柱子就不能抵抗弯曲。当柱子的彈性保特不变且其厚度也同样保持 不变时，它能安全承载的重量P将与柱子高度的吓方成反比；而柱子高度增加一 倍时却只能担負载荷的四分之一”。从这里我們看到，两百年以前欧拉已壑建立了 柱的压屈公式，这个公式在日前分析工程转构物的彈性稳定上得到了泛的应用。 工]例如，見吉拉德(.S.Girard)著“图体抗力分析验”(Irai6 Analytique de la re6 sistance des Solidea),1798,巴黎。 [2]此图由政拉源璃中指来