O.+.O os 2a in 2a sin 2a +t cos 2a 符号规定:1)“aa”正负号同“o”; 2)“a”正负号同“x”; 3)“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角,逆时针为正,顺时针 为负。注意:用公式计算时代入相应的正负号。 讨论:1)σa+Oat90=0x+oy 单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数 d 2)an的极值、主应力以及主平面方位 0 da do 即r=0 C 2Sin, cos 2a=0=-2t c
符号规定： 1 )“ ”正负号同“ ”； 2 ) “ ”正负号同“ ” ； 3 ) “ ”为斜面的外法线与x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。 cos 2 sin 2 2 2 x y x y x + − = + − sin 2 cos 2 2 x y x − = + 0 d 0, d = = 0 0 即 = 0 0 0 0 d sin 2 cos 2 0 2 d 2 x y x = − = − − = = − 讨论： + 900 = x + y 1 ) 2 ) 的极值、主应力以及主平面方位 单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数
d sin 2a -t cos 20=0=-2 da la=do 2T 可以确定出两个相互垂直的平面—主平面,分 tan 2ao 别为最大正应力和最小正应力所在平面 主平面的方位(a0;a0=a0±90) 若a>a,则a<45(ax在±90范围内取值) 若a<a,则(>45(a在士90范围内取值) 45(zx>0 若σ 则a +45(2<0) T mIn 2 2 主应力的大小
0 0 0 0 d sin 2 cos 2 0 2 d 2 x y x = − = − − = = − 0 2 tan 2 x x y − = − 主平面的方位 ( ; 90 ) 0 0 0 =0 2 2 max min ( ) 2 2 x y x y x + − = + ——主应力的大小 可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分 别为最大正应力和最小正应力所在平面。 0 0 , 45 ( 90 ) 若 x y 则 在 范围内取值 0 0 , 45 ( 90 ) 若 x y 则 在 范围内取值 ( ) ( ) 0 45 0 , 45 0 x x y x − = = + 若 则
3)切应力ra的极值及所在截面 2Sin2a+r、cos2a, dt an 2a a=at 2T (a1;a1=a1±90°) 最大切应力所在的位置 )2+x2 xy面内的最大切应力 mIn tan 2a tan 2a,=-1 (a1=a0+45)
3 ) 切应力 的极值及所在截面 sin 2 cos 2 , 2 x y x − = + 1 tan 2 2 x y x − = ——最大切应力所在的位置 2 2 max min ( ) 2 x y x − = + ——xy 面内的最大切应力 1 d 0 d = 令 = ( ; 90 ) 0 1 1 =1 tan 20 tan 21 = −1 1 0 ( 45 ) = +
将max与Gmx、m画在原单元体上 tan200x-6§ —主平面的位置( C0±90) 最大切应力 tan 2a, a ±90 2 所在的位置 a1=a0+450
0 2 tan 2 x x y − = − ——主平面的位置 ( ; 90 ) 0 0 0 =0 1 tan 2 2 x y x − = ——最大切应力 所在的位置 ( ; 90 ) 0 1 1 =1 将 max与 max、min画在原单元体上 0 1 0 = + 45 x y y x max min min max 0 max min
例7-1图示单元体,求c斜面的应力及主应力、主平面并画出主应力单元。 解:1、求斜面的应力 60 0+0.O.-0 20 sin 2a 2 2 300 40+60-40-60 2 (单位:MPa) (-50)sin(-60)=-583(MPa) sin 2a+r cos 2a 2 40-60 sin(-60°)+(-50)c0(-60 =18.3(MPa)
例7-1 图示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面并画出主应力单元。 （单位：MPa） 300 40 50 60 解：1、求斜面的应力 cos 2 sin 2 2 2 x y x y x + − = + − sin 2 cos 2 2 x y x − = + 0 0 40 60 40 60 cos( 60 ) 2 2 ( 50)sin( 60 ) 58.3(MPa) − + − − = + − − − − = − 40 60 0 0 sin( 60 ) ( 50)cos( 60 ) 2 18.3(MPa) − − = − + − − = x = −40, y = 60, x = −50, = −30