推论若对任意x∈(-RR)内如果存在一个正常数K, 使得/(x)≤k(n=12…,则f(在(RR内可展为 x的幂级数 证|R(x) f+(5) k (n+1)! (n+1)! 而 收敛,其收敛半径为+ nd(n+1)! n+1 →Iim n(n+1) 0(x<∞)→ lim r(x)=0 n→c 注1若f(x)在x=她能展成幂级数则其幂级数展开 式必为泰勒级数;若f(x)在x=0处能展成幂级数则其幂 级数展开式必为马克劳林级数
6 则ƒ(x)在(-R, R)内可展为 1 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n n n f x R x x k n n + + + = + + 1 0 ( 1)! n n x n + = + 而 1 lim 0 ( ) ( 1)! n n x x n + → = + + lim ( ) 0 n n R x → = ( ) ( ) n f x k 证 收敛, 其收敛半径为+∞ 注1 若ƒ(x)在 x x = 处能展成幂级数 0 , 则其幂级数展开 推论 若对任意 x∈(-R, R)内, 如果存在一个正常数K , 使得 (n=1,2,…), x 的幂级数. 式必为泰勒级数; 若ƒ(x)在x = 0处能展成幂级数,则其幂 级数展开式必为马克劳林级数
将初等函数展开成幂级数的方法 因级数∑a(x-xy与∑ax”可相互转化故下面主 H=0 要讨论如何将f(x)展开成x的幂级数∑anx(即马克 劳林级数) 1直接展开法 利用式f(x)=∑ f"( x"直接将f(x)展开成一个 幂级数的方法,称为直接展开法 主让表继主凿
7 三.将初等函数展开成幂级数的方法 0 n n n a x = 0 0 ( )n n n a x x = − 与 要讨论如何将 ƒ(x) 展开成 x 的幂级数 (即马克 劳林级数). 0 n n n a x = 幂级数的方法, 称为直接展开法. ( ) 0 (0) ( ) ! n n n f f x x n = = 1.直接展开法 因级数 可相互转化,故下面主 利用式 直接将ƒ(x)展开成一个